démonstration Définition et
à la fois par démonstration et par définition, d'un même point de vue ? Concernant la premièreétape, Averroès, fidèle à Aristote, indique que la ré- ponse est négative : il n'y a pas de définition de tout ce dont il y a démonstra-
LA DÉMONSTRATION UNE APPROCHE HISTORIQUE ET CRITIQUE Stéphane
Et si la démonstration relève bien d’un type de discours particulier, voire d’un genre singulier d’argumentation, elle est un fait culturel Il faut donc la penser dans sa diversité et dans ses multiples inventions et ré-inventions Une origine incertaine C’est par une reconnaissance de dettes que nous commencerons ce développement
Fiche objectifs 1 2 : Logique et ensembles
Rédiger et e ectuer une démonstration par récurrence simple Rédiger et e ectuer une démonstration par récurrence double Rédiger et e ectuer une démonstration par récurrence forte Manipuler les quanti cateurs E ectuer des opérations sur les ensembles (notamment passer au complémentaire) 3 Ré exes à avoir
Preuves pour démontrer linéga- lité entre moyennes
tation suggestive de cette démonstration; p ab a + b 2 a b La deuxième preuve sans mots retenue traduit géo-métriquement un raisonnement algébrique suggéré ci-dessus Elle fait appel à des carrés et rectangles, et est accompagnée par une formule qui conduit à l'IAG Elle peut se présenter comme suit : p b p b p b p b p a p a p a p a
Théorème de Cantor-Bernstein - UMR 5582
Par Mathtous Il s'agit de Félix Bernstein, à ne pas confondre avec Sergeï Natanovitch Bernstein (celui des polynômes) Le nom de Schröder est fréquemment associé à ceux de Cantor et de Bernstein Le but de cet article est de donner une démonstration de ce théorème, des exemples concrets,
Démonstration de la célèbre formule du binôme de Newton
Démonstration de la célèbre formule du binôme de Newton Objectif : montrer par récurrence que "n#$,(a+b)n= n Ck k=0 n a kbn& Notations : (a+b)n= n Ck k=0 n "a kbn# sera noté HR n (hypothèse de récurrence) n Ck= n k(n"k) → n=0 k 0 Ckab0"k= 0 0a0b0=1 k=0 0 # et (a+b)0=1 d’où → HR 0 Soit n"#, n fixé
Ruler: Data Programming by Demonstration for Document Labeling
predictive performances of models created by par-ticipants for two common labeling tasks, sentiment classification and spam detection We also elicit ratings and qualitative feedback from participants on multiple measures, including ease of use, ease of learning, expressivity, and overall satisfaction We find RULER facilitates more
1 Espaces m´etriques 1 Distance, boules, ouverts, ferm´es
Par exemple pour la distance euclidienne dans R2, les boules ouvertes sont des disques usuels Mais la forme des boules d´epend beaucoup de la distance choisie Dessins des boules de d 1, d 2 et d ∞ dans R2 D´efinition 1 2 Soit (E,d) un espace m´etrique et A une partie de E On dit que A est un ouvert de
Chapitre 7 : Matrices et systèmes
Démonstration Pour prouver l’associativité, il faut juste un peu de courage : considérons Aet Bayant les dimensions indiquées dans la définition du produit, et C 2M q;r(R), qu’on peut donc mul-tiplier à droite par B Si on note D= (AB)C, on peut alors écrire d ij = Xq k=1 (AB) ikC kj = Xq k=1 (Xp l=1 a ilb lk)c
Optique géométrique Rappels de cours et exercices
démonstration donnée par le philosophe Fermat s’attaque alors à l’optique et il énonce en 1650 le principe de moindre temps : par-mi toutes les courbes joignant deux points de l’espace, c’est celle qui correspond au temps de parcours minimal qui est effectivement suivie par la lumière Mais Fermat n’est pas
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1.Espaces m´etriques
1 Distance, boules, ouverts, ferm´es...
D´efinition 1.1.SoitEun ensemble (non vide). On appelle distance surEune applicationddeE×E dans[0,+∞[v´erifiant les trois propri´et´es suivantes:1.d(x,y) = 0?x=y?x,y?E,
2.d(x,y) =d(y,x)?x,y?E,
Sidest une distance surEon dit que (E,d) est un espace m´etrique.Exemples
1/Ret la valeur absolue:d(x,y) =|x-y|.
2/Cet le module:d(x,y) =|x-y|.
3/Rn(ouCn) et la distance euclidienned(x,y) =??|xi-yi|2?1/2
5/ Les espaces vectoriels norm´es fournissent des exemples tr`es important d"espaces m´etriques. SoitE
un espace vectoriel surK=RouC. On appelle norme surEune applicationNdeEdans [0,+∞[ telle que:1.N(λx) =|λ|N(x),?x?E,?λ?K,
3.N(x) = 0?x= 0.
On dit alors que (E,N) est un espace vectoriel norm´e (surK). Un espace vectoriel norm´e est un exemple
d"espace m´etrique car l"applicationd(x,y) =N(x-y) est une distance. V´erification. Soit (E,d) un espace m´etrique. Pour touta?EetR >0 on appelle boule ouverte de centreaet de rayonrl"ensembleB(a,r) :={x?E|d(a,x)< r},
et boule ferm´ee de centreaet de rayonrl"ensemble BPar exemple pour la distance euclidienne dansR2, les boules ouvertes sont des disques usuels. Mais la
forme des boules d´epend beaucoup de la distance choisie. Dessins des boules ded1,d2etd∞dansR2.
D´efinition 1.2.Soit(E,d)un espace m´etrique etAune partie deE. On dit queAest un ouvert de (E,d)si pour touta?Ail exister >0tel queB(a,r)?A. On dit queAest un ferm´e de(E,d)si soncompl´ementaireAcest un ouvert de(E,d). En particulier∅est `a la fois un ouvert et un ferm´e de(E,d),
de mˆeme queA.Proposition 1.3.Soit(E,d)un espace m´etrique.
1. Si pour touti?I,Oiest un ouvert, alors?
i?IOiest encore un ouvert.2. SiO1,···,Onsont des ouverts, alors?n
p=1Oiest encore un ouvert. Par passage au compl´ementaire on a de mˆeme 1Proposition 1.4.Soit(E,d)un espace m´etrique.
1. Si pour touti?I,Fiest un ferm´e, alors?
i?IFiest encore un ferm´e.2. SiF1,···,Fnsont des ferm´es, alors?n
p=1Fpest encore un ouvert. Voisinages. On dit qu"un sous-ensembleAdeEest un voisinage dea?Es"il existe un ouvertOde (E,d) tel quea?OetO?A. Proposition 1.5.Une boule ouverteB(a,r)est un ouvert de(E,d). Une boule ferm´eeBf(a,r)est un ferm´e de(E,d).L"ensembleT(ouTd) des sous-ensembles ouverts de (E,d) s"appelle "la topologie" associ´ee `a (E,d),
ou induite pardsurE:T={O?E|O est un ouvert de(E,d)}.
Des distances diff´erentesd1etd2peuvent induire des topologies identiques:d1?=d2maisTd1=Td2. On dit dans ce cas que les distancesd1etd2sont topologiquement ´equivalentes.On dit que deux distances surE,detd?sont m´etriquement ´equivalentes s"il existe deux contantes
0< a,btelles que
Proposition 1.6.Deux distances m´etriquement ´equivalentes sont topologiquement ´equivalentes.
Exercice 1.7.1. Montrez queδd´efinie parδ(x,y) =|arctan(x)-arctan(y)|est une distance surR.Montrez que la topologie induite parδest la topologie usuelle (celle induite par la valeur absolue).
Montrez queδet la distance usuelle ne sont pas m´etriquement ´equivalentes.2. Montrez que deux distancesdetd?surEsont topologiquement ´equivalentes si et seulement si:
?x?E,?ε >0,?r >0t.q. Bd(x,r)?Bd?(x,ε) et ?x?E,?ε >0,?r?>0t.q. Bd?(x,r?)?Bd(x,ε). Distance induite, topologie induite.Si (E,d) est un espace m´etrique etAun sous-ensembledeE, la restriction ded`a l"ensembleA×A, c"est `a direδ=d|A×Aest une distance surA. On dit queδ
est la distance "induite" pardsurA. On dit que (A,δ) est le sous-espace m´etrique induit par (E,d). En
g´en´eral, quand il n"y pas de risques de confusions, on dit simplement que "Aest un sous-espace m´etrique
deE".Consid´erons maintenant les boules deA. NotonsBδ(x,r) les boules ouvertes deApour la distanceδ
etBd(x,r) celles deEpour la distanced. On a: Bδ(x,r) =Bd(x,r)∩A,
c"est `a dire que les boules ouverts deEsont les traces surAdes boules ouvertes deE. La mˆeme chose a
lieu pour les boules ferm´ees. On en d´eduit que Proposition 1.8.Les ouverts de(A,δ)sont exactement les ensemblesO∩Ao`uOest un ouvert de (E,d), c"est `a dire les "traces surA" des ouverts deE. Cette topologie deAs"appelle la "topologieinduite parEsurA", ou plus simplement la "topologie induite". Les ferm´es de(A,δ)sont exactement
les ensemblesF∩Ao`uFest un ferm´e deE, c"est `a dire les "traces surA" des ferm´es deE.Exercice 1.9.1. Montrez que l"intervalle]1,2]est un ferm´e de]1,3[pour la topologie induite (induite
parRsurA=]1,3[).2. L"ensemble{1n
,n?N?}peut-t"il ˆetre une boule ouverte (d"un certain espace m´etrique)? 22 Suites convergentes
D´efinition 2.1.Soit(E,d)un espace m´etrique. Soit(an),n?Nune suite deE. On dit que cette suite
est convergente s"il existe??Etel que:Dans ce cas un tel?est unique et s"appelle la limite de la suiteanet on note?= lim∞an. On dit aussi
queanconverge vers?.On dit qu"une suite (an) deEest born´ee s"il existe une boule ouverte (ou ferm´ee) qui contient tout les
termes de la suite, c"est `a dire s"il existeb?Eetr >0 tels quean?B(b,r),?n?N. Plus g´en´eralement,
on dit qu"un sous-ensembleAdeEest born´e siAest contenu dans une boule deE. Proposition 2.2.Toute suite convergente est born´ee.3 Adh´erence, int´erieur, fronti`ere...
Dans cette section (E,d) est un espace m´etrique. SoitAune partie deE. On appelle adh´erence deA,
le sous-ensemble ferm´e deEform´e par l"intersection de tous les ferm´es deEcontenantA. On le note
adh(A) ouA. C"est aussi le plus petit ferm´e contenantA(au sens de la relation d"inclusion):A?Fet Fferm´e?A?F.On dit qu"un pointa?Eest "adh´erent `aA" sia?A. En particulierAest ferm´e si et seulement siA=A. Proposition 3.1.x?Asi et seulement si pour tout ouvertOdeEtel quex?O:O∩A?=∅. Proposition 3.2.Soit(E,d)un espace m´etrique etA?E. Un ´el´ementx?Eest dansAsi etseulement sixest limite d"une suite d"´el´ements deA. En particulierAest ferm´e si et seulement si toute
suite d"´el´ements deAqui converge dansE, a pour limite un ´el´ement deA.EXEMPLES (dansR)...
On dit queA?Eest dense siA=E. Par exempleQest dense dansR. Exercice.Montrez queCc(R) (fonctions continues `a support born´e) est dense dansC0(R) (fonctions continues qui tendent vers 0 `a l"infini) pour la distance :d(f,g) := sup|f-g|.Int´erieur.SoitAune partie deE. On appelle int´erieur deA, le sous-ensemble ouvert deEform´e par
la r´eunion de tous les ouverts deEcontenus dansA. On le note int(A) ou°A. C"est aussi le plus grand
ouvert contenu dansA(au sens de la relation d"inclusion):O?AetOouvert?O?°A. En particulierAest ouvert si et seulement siA= int(A)
Fronti`ere.SiA?E, on appelle "fronti`ere deA", et on noteFr(A) ou∂Al"ensemble des pointsx?Etels que tout ouvertOdeEcontenantxv´erifie:O∩A?=∅etO∩Ac?=∅. Cela revient `a dire que:
?r >0 :B(x,r)∩A?=∅etB(x,r)∩Ac?=∅. Points d"accumulation.SiA?E, on dit quex?Eest un point d"accumulation deAsi pour tout r >0 la bouleBo(x,r) contient au moins un point deAautre quex. cela revient `a dire quexest dansl"adh´erence deA\ {x}. Cela est ´egalement ´equivalent `a dire que: pour toutr >0B(x,r)∩Acontient
une infinit´e de points.Points isol´es.SiA?E, on dit quea?Aest un point isol´e deAsi il exiter >0 tel queB(x,r)∩A={a},
autrement dit sian"est pas un point d"accumulation deA.EXEMPLES (dansR)...
34 Produits d"espaces m´etriques
Soient (E1,d1) et (E2,d2) deux espaces m´etriques. On munit le produit cart´esienE1×E2d"une distance
δ, qui est l"une des trois distances suivantes, qui sont m´etriquement ´equivalentes:1(x,y) =d1(x1,y1) +d2(x2,y2),
ou d(x,y) =?d1(x1,y1)2+d2(x2,y2)2?1/2, ou ∞(x,y) = sup{d1(x1,y1) +d2(x2,y2)}.lorsquex= (x1,x2) ety= (y1,y2), avecxi,yi?Ei. Il s"agt bien d"une distance (v´erifier). Il n"y a pas de
choix "canonique" de la distance produit (tout comme il n"y a pas de distance canonique surR2=R×R).
En revanche, ces distances sont m´etriquement ´equivalentes et induisent la mˆeme topologie surE1×E2
(et il existe bien une unique "topologie" canonique pour le produit, voir le paragraphe suivant). Plus
g´en´eralement, siE1,···Ensont des espaces m´etriques munis de distancesd1,···,dn, on muni le produit
cart´esienE=E1× ··· ×Ende l"une des "distances produit" correspondantes comme par exemple
2(x,y) =??
i(xi,yi)2?121(x,y) =?
i(xi,yi) ouδ∞(x,y) = sup Par exemple dans le cas o`uEi=Rpour toutiavecdi(x,y) =|x-y|, on retrouve l"espaceRnmuni de ladistance euclidienne si l"on choisit la distance produitd2: l"espaceRnest bien le "produit" desnespaces
m´etriques tous ´egaux `aR. Le r´esultat naturel suivant est utile dans la pratique:Proposition 4.1.Soit(E,d)l"espace m´etrique de(E1,d1),···,(Endn). Soitxν,ν?Nune suite deE.
dansEjvers?j.5 Topologies g´en´erales
SoitEun ensemble. On dit qu"un sous-ensembleTdeP(E) est une "topologie" si les axiomes suivants sont satisfaits parT:1.∅ ? T,E? T,
2. Si?i?I,Oi? T, alors?
i?IOi? T,3. SiO1? T,···On? T, alors?i=n
i=1Oi? T.Alors les ´el´ements deTs"appellent les "ouverts de E" et les "ferm´es deE" sont les compl´ementaires des
ouverts:F?Eest dit "ferm´e" si il existeO? Ttel queF=E\O. Ainsi un espace m´etrique est un cas particulier d"espace topologique.Les d´efinitions qui pr´ec`edent se g´en´eralisent presque toutes (sauf celles qui n´ecessitent la notion de
distance, comme les suites cauchy, la compl´etude ...)6 Limites, continuit´e dans les espaces m´etriques
Soient (E,d) et (F,d?) deux espaces m´etriques et une applicationf:D→F, o`uDest le domaine de
d´efinition def. 4 D´efinition 6.1.SoitA?Deta?A. On dit quefposs`ede une limite quandxtend versaetx?A si il existe??Ftel que: ?ε >0,?r >0tel quex?B(a,r)∩A?f(x)?B(?,ε). (ou?x?A,d(x,a)< r?d?(f(x),?)< ε).Dans ce cas la limite?est unique et on la note
?= limx→a,x?Af(x). Noter quefn"a pas besoin d"ˆetre d´efinie au pointa. Proposition 6.2.?= limx→a,x?Af(x)si et seulement si pour toute suite(an)deAde limitea, on a lim ∞f(an) =?. D´efinition 6.3.Soita?D. On dit quefest continue au pointasilimx→a,x?Df(x) =f(a).On dit quefest continue surDsifest continue en tout point deD.Dans la d´efinition 6.3, on a envisag´e le cas le plus g´en´eral ou le domaine de d´efinitionDserait diff´erent
de l"espace m´etriqueE. Cependant, on pourrait ´egalement consid´erer le sous-espace m´etriqueD(muni
de la m´etrique induite) et s"int´eresser `a la continuit´e defau pointa, lorsque l"espaceEest remplac´e
parD. On v´erifie ais´ement que ces deux notions de continuit´e au pointa, co¨ıncident. De sorte qu"il est
suffisant de condid´erer la continuit´e defdans le cas o`uD=E.Exemples.
1. SiE= Ω ouvert deRnetF=Rmon retrouve les notions usuelles d"application continue de
plusieurs variable deRn`a valeurs dansRm. cas d"une variable : fonctions polynˆomiales, fonctions usuelles: sin,cos,exp etc...2. Si (E,d) est un espace m´etrique eta?E, l"applicationd(a,.) est continue surE. Elle est mˆeme
lipschitzienne de rapport 1 puisqu"elle v´erifie: d"apr`es l"in´egalit´e triangulaire.3. Si (E,d) est un espace m´etrique et siA?E, l"applicationd(.,A) d´efinie par
d(x,A) = infa?Ad(x,a), x?E, est une application continue car Lipschitzienne surE:4. SoientE1,···Ensont des espaces m´etriques munis des distancesd1,···,dn, et notonsEl"espace
produitE1× ··· ×Enmuni de l"une des distances produit. Soitj? {1,···,n}. Notonspj
l"application deEdansEjd´efinie parpj(x) =xjsix= (x1,···,xn)?E. Alorspiest continue. Proposition 6.4.On supposeD=Eet on consid`ere une applicationfdeEdansF. Les 3 propri´et´es suivantes sont ´equivalentes:1.fest continue surE,
2. l"image r´eciproque de tout ouvert deF, est un ouvert deE,
3. l"image r´eciproque de tout ferm´e deF, est un ferm´e deE,
Attention, il faut distinguer le fait quef, d´efinie surE, soit continue en tout point d"un ensemble
A?E(ce qui tient compte du comportement def"en dehors deA"), et le fait quef|Asoit continue (sur Amais pour la distance induite surApard) ce qui ne tient compte que du comportement def"dansA". Par exemple, la fonctionf=1[0,1]d´efinie surR, n"est pas continue sur [0,1]. Maisf|[0,1]qui est la
fonction constante 1, est continue sur [0,1]. 5 Exercice 6.5.1. Montrez que sifest continue en tout point deA, alorsf|Aest continue (pour la m´etrique induite).2. Montrez que l"ensemble des pointsX= (x,y,z)?R3tels quex2< yz+ 1est un ouvert deR3.
3. montrez quefest continue de(E,d)dans(F,d?)si et seulement si pour toutA?F: adh?f-1(A)??
f -1(A). Hom´eomorphismes. SoientEetFdeux espaces m´etriques. On appelle hom´eomorphisme deEsurF toute bijection continue deEdansFdont la r´eciproque est continue surF. On dit alors queEetF sont hom´eomorphes. Exemple:Rest hom´eomorphe `a l"intervalle ]-π2 ,+π2 Proposition 6.6.SoitEetFdeux espaces m´etriques etf,gdeux applications continues deEdansF. Sifetgco¨ıncident sur une partie dense deE, alorsf=g. Exercice 6.7.SoientEetFdeux espaces m´etriques etf,gdeux applications continues deEdansF.Montrez l"ensemble{x?E|f(x) =g(x)}est un ferm´e (deE). En d´eduire une autre d´emonstration de
la proposition pr´ec´edente. Composition d"applicationsConsid´erons des espaces m´etriquesE,FetG(on ne pr´ecise pas les distances). Proposition 6.8.Consid´erons des applicationsf:E→F,g:F→G. On suppose quefest continue au pointa?Eet quegest continue au pointf(a). Alorsg◦fest continue au pointa. Il existe un ´enonc´e analogue avec les limites. par exemple: Proposition 6.9.Consid´eronsa?E,b?Fet des applicationsf:E\ {a} →F,g:F\ {b} →G. On suppose que?x?E\ {a},f(x)?=b. Supposons quelimx→af(x) =betlimy→bg(y) =??F. Alors lim x→ag◦f(x) =?.7 Suites de Cauchy, espaces m´etriques complets
D´efinition 7.1.Soit(E,d)un espace m´etrique et(xn),n?Nune suite deE. On dit que la suite(xn) est une suite de Cauchy si: ?ε >0,?N?Nt.q. p > N et q > N?d(xp,xq)< ε. On dit qu"un espace m´etrique est complet si toute suite de Cauchy est convergente.1. Munis de la distance usuelle,Qn"est pas complet etRest complet (par construction deR).Rn,
C nsont complets (pour la distance usuelle et celles m´etriquement ´equivalentes).2. L"espaceC([0,1],R) est complet pour la norme sup.
Notez bien que la compl´etude d´epend de la m´etrique choisie, et pas seulement de la topologie. Voir
exercice en TD. Autre exemple:Rest complet et ]-π2 ,+π2 [ n"est pas complet, mais ces deux espaces m´etriques sont hom´eomorphes (d´eja vu).Exercice 7.2.1/ Trouvez une m´etriquedsurRqui induise la mˆeme topologie que la topologie usuelle,
mais telle que(R,d)ne soit pas complet. 2/ Trouvez une m´etriquedsurI=]-π2 ,+π2 [qui induise la topologie usuelle, mais pour lequel(I,d)soit complet.L"exercice suivant est un r´esultat pratique qui est juste une reformulation de la notion de suite de
Cauchy. SiA?Eon appelle "diam`etre deA" la quantit´e suivante (qui est infinie siAn"est pas born´ee):
diam(A) := supdx,y?Ad(x,y). 6Exercice 7.3 ("La propri´et´e des ferm´es emboit´es").Soit(E,d)un m´etrique complet etAn,n?N
une suite de d´ecroissante (c"est `a dire queAn+1?An) de ferm´es non vides deEtelle quediam(An)→0
quandn→ ∞. Montrez qu"il existex0?Etel que∩nAn={x0}. Proposition 7.4.Soit(E,d)un espace m´etrique etA?E.1.(A,d)complet?Aferm´e (dansE).
2. SiEest complet:Aferm´e (dansE)?(A,d)complet.
Soit (E,d1) et (F,d2) des espaces m´etriques, on dit qu"une applicationfdeEdansFest born´ee sil"ensemble{f(x),x?E}est born´e, c"est `a dire s"il existe une boule (ouverte pour fixer les id´ees)B=
B(a,r),r >0 telle quef(x)?B,?x?E. NotonsB(E,F) l"ensemble des applications born´ees deEdansF. Il existe une distance naturelle sur cet ensemble d´efinie par:d(f,g) := sup{d2?f(x),g(x)?,x?E}.
C"est une distance (v´erifier). Le r´esultat suivant est tr`es utile.quotesdbs_dbs8.pdfusesText_14