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Mathématiques Cours, exercices et problèmes Terminale S

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Terminale S2 − 2019 / 2020 A7 – cours Page 1 Le principe du calcul intégral est de calculer des aires C’est même sa raison d’être Il va donc falloir faire plusieurs choses : • définir correctement la notion d’unité d’aire (le cm 2? l’are ? l’hectare ? en maths, on s’en

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Terminale S2 - 2019 / 2020 A7 - cours

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Le principe du calcul intégral est de calculer des aires.

C'est même sa raison d'être !

Il va donc falloir faire plusieurs choses :

• définir correctement la notion d'unité d'aire (le cm

2 ? l'are ? l'hectare ? en maths, on s'en

fiche un peu : c'est pourquoi on se contentera dans l'immense majorité des cas de ce qu'on

va appeler l'unité d'aire, et que seulement en cas de nécessité on convertira cette grandeur

" passe-partout » en une autre unité ; • rappeler quelques formules simples qui datent de l'école primaire ;

• approcher des aires " non évidentes » c'est-à-dire ne correspondant pas aux formules

habituelles (celles du primaire, justement !) et donc se donner un moyen de les calculer.

0) Préliminaires : unité d'aire et conversion

• Unité d'aire et conversion

On considère un repère (O ;

Åi , Åj) du plan.

On appelle unité d'aire (ua) l'aire du parallélogramme (rectangle si le repère est orthogonal) défini

par les vecteurs unitaires du repère.

Page 2

Si par exemple dans un repère orthogonal, ║ ║Åi = 2 cm et ║ ║Åj = 3 cm alors 1 ua = 6 cm2.

Dans un repère orthonormé d'unité

║ ║Åi = 4 cm, alors 1 ua = 16 cm2. • Formules d'aires classiques 1 ua

Page 3

B A • Construction de la courbe (droite) d'une fonction affine Le rappel date de troisième, revu en seconde puis en première puis en terminale, mais on n'est jamais trop prudent.

Une fonction affine f(x) = ax

+b (a est le coefficient directeur et b l'ordonnées à l'origine) est

représentée graphiquement par une droite. Il suffit donc d'en connaitre deux points pour pouvoir la

tracer, et, donc, il suffit pour cela de calculer deux images. Evidemment, l'obtention de la droite ne dépend pas des nombres choisis (ici 1 et -2).

1) Intégrale d'une fonction continue sur un intervalle [a ; b]

a) Cas d'une fonction positive a b

Notons

situé sur Ainsi

Page 4

Définition

? dans un repère (O ;

Åi , Åj).

b a dxxf)(, l'aire ? du domaine situé entre l'axe des abscisses et ?, et entre les droites d'équation x = a et x = b.

Remarque

L'aire est exprimée en unités d'aire mais l'intégral n'a pas d'unité.

Exemples

Pour le moment, pour calculer une intégrale, on respecte donc le protocole suivant :

• tracer la courbe de la fonction f dans un repère, entre les abscisses a et b (bornes de l'intégrale)

• visualiser (en hachurant par exemple) l'aire correspondant à l'intégrale

• reconnaitre la " forme » géométrique et appliquer la formule qui convient pour calculer l'aire

-1 5 2

Calculons Ð

-5 1 2dx.

L'aire

? est celle d'un rectangle de longueur 6 et de hauteur 2 donc ? = 6×2 = 12 ua. Ainsi -5 1

2dx = 12.

Calculons Ð-

5 2 )42(dxx.

L'aire

? est celle d'un triangle de longueur 3 et de hauteur 6 donc ? = 263× = 9 ua. Ainsi 5 2 )42(dxx = 9. 2 5 6

Page 5

En effet si on note

M(x , y) ? ?

? y = 21x-et -1  x  1 ? y2 = 1 - x2 et -1  x  1 et y à 0 ? x2 + y2 = 1 et -1  x  1 et y à 0 ? x2+y2 = 1 et -1  x  1 et y à 0 ? OM = 1 et -1  x  1 et y à 0

? M(x , y) est sur le demi-cercle de centre O et de rayon 1 situé au-dessus de l'axe des abscisses.

Calculons Ð+

3 0 )1(dxx.

L'aire

? est celle d'un trapèze de petite base 1, de grande base 4 et de hauteur 3 donc ? = 32

41×+

2

15 ua.

Ainsi 3 0 )1(dxx = 2 15. 3 4 1

Calculons Ð

1 1 2 1dxx.

L'aire

? est celle d'un demi disque de centre O et de rayon 1, donc ? = 2

1π×12 = 2

π ua.

Ainsi 1 1 2

1dxx = 2

1 -1

Page 6

Quelques règles simples

Si a = b, alors Ð b a dxxf)( = 0

En effet, dans ce cas, car le domaine d'aire

?, de largeur nulle (aucune distance entre a et ... a), est réduit à un segment.

Il a donc une aire nulle.

Concrètement,

ÓÑ5 5 ( )x2-3x+7 dx = 0 sans avoir besoin de faire un calcul. Pour m > 0, ÓÑa b mdx = m(b - a)

Si la fonction

f(x) = m est constante, le domaine est un rectangle de hauteur m et de largeur b - a.

Par exemple,

5 1

2dx = 2(5-(-1)) = 2×6 = 12 (c'est bien ce qu'on avait trouvé !)

Ou encore

ÓÑ1 2020 πdx = π(2020-1) = 2019π.

Pour tous réels

a, b et c, on a : Ð c a dxxf)( = Ð b a dxxf)( + Ð c b dxxf)(

Il suffit d'un schéma pour comprendre cette règle qui s'appelle la relation de Chasles pour les

intégrales. m a b m b-a

Page 7

c a dxxf)( = ? ; Ð b a dxxf)( = ?1 et Ð c b dxxf)( = ?2. Or ? = ?1 + ?2.

Donc Ð

c a dxxf)( = Ð b a dxxf)( + Ð c b dxxf)(. b) Cas d'une fonction négative

La définition de l'intégrale d'une fonction positive amène un constat : puisqu'il s'agit d'une aire,

alors l'intégrale d'une fonction positive est positive. L'aire est en effet une donnée physique positive !

Mais interrogeons-nous sur ce que cela implique.

Une fonction positive a une courbe située au-dessus de l'axe des abscisses (en rouge ci-dessous).

Son intégrale a donc été définie comme étant égale à l'aire du domaine situé entre l'axe des

abscisses et la courbe de la fonction.

Si une fonction est négative, sa courbe est située en-dessous de l'axe des abscisses (en vert), mais il

est tout à fait aisé de définir de façon complètement analogue le domaine situé entre la courbe de la

fonction et l'axe des abscisses : la seule différence c'est que ce domaine est sous l'axe en question.

Par contre son aire reste une donnée physique positive. a a b c c ?1 ?2

Page 8

La question de l'intégrale d'une fonction négative amène donc une question, sous la forme d'une

" décision » à prendre : souhaite-t-on que l'intégrale reste une aire et soit donc positive dans ce cas

de figure aussi ? ou bien veut-on que le signe de l'intégrale " suive » celui de la fonction qu'on

intègre et devienne donc négative quand la fonction l'est ?

Cette question du signe en soulève une autre : pour qu'il y ait un " signe », il faut une orientation,

afin de définir ce qui sera positif, de ce qui ne le sera pas.

Dans un repère (

O ; Åi , Åj) du plan, ce sont les vecteurs qui orientent les axes : sur l'axe des abscisses, les abscisses positives sont à droite de l'origine parce que le vecteur

Åi est orienté vers la

droite et de même, sur l'axe des ordonnées, les ordonnées positives sont au-dessus de l'origine

parce que le vecteur

Åj est orienté vers le haut.

Interrogeons-nous sur l'axe des abscisses.

Nous avons défini l'intégrale d'une fonction f sur un intervalle [a ;b] ce qui suppose que a < b. Autrement dit, on intègre dans le sens positif que l'axe des abscisses.

Que se passerait-il si au lieu d'intégrer de 1 à 4 par exemple, on intégrait de 4 à 1, c'est-à-dire à

" rebrousse-poil », dans le sens négatif ?

La réponse est dans cette " propriété » qui est en fait une façon de compléter la définition d'une

intégrale :

ÓÑb a f(x)dx = -ÓÑ

a b f(x)dx Ainsi l'intégrale est un objet orienté par le sens de l'axe des abscisses :

Pour une fonction positive, si

a < b alors : ÓÑa b f(x)dx à 0 et ÓÑb a f(x)dx  0.

Concrètement on a vu dans les exemples que

ÓÑ2 5 (2x-4)dx = 9.

On en déduit alors dans calcul que

ÓÑ5 2 (2x-4)dx = -9.

Il est donc naturel de prolonger cette orientation à l'axe des ordonnées, en " décidant » (c'est ça, el

sens d'une définition : construire un objet mathématique pour qu'il ait les propriétés que l'on

souhaite) qu'à fonction positive, intégrale positive, et qu'à fonction négative, intégrale négative.

• • a b Åi Åj

Page 9

Définition

a ; b], de courbe représentative ? dans un repère (O ;

Åi , Åj).

Dans ces conditions on pose

b a dxxf)( = -?, où est ? l'aire du domaine situé entre l'axe des abscisses et ?, et entre les droites d'équation x = a et x = b.

Remarque

Il résulte de cette définition que l'intégrale d'une fonction négative est négative, puisque l'aire

sera toujours positive, quel que soit le signe de la fonction.

On a tout fait pour en arriver là !

Exemples

? a b -3 -3

Calculons Ð

-0 3 xdx.

L'aire

? est celle d'un triangle de base 3 et de hauteur

3 donc

? = 233× = 29 ua. Ainsi -0 3 xdx = -29.

Page 10

c) Cas d'une fonction changeant de signe

L'idée est en fait très simple :

une fonction positive a une intégrale positive (paragraphe 1a) une fonction négative a une intégrale négative (paragraphe 1b). Ainsi, pour une fonction qui change de signe sur l'intervalle [ a;b], il faut simplement tenir compte du fait, qu'en allant de a à b : quand f est positive, elle apporte une contribution positive à son intégrale ; quand f est négative, elle apporte une contribution négative à son intégrale.

Définition

a ; b], changeant au moins une fois de signe sur cet intervalle, de courbe représentative ? dans un repère (O ; Åi , Åj).

On découpe l'intervalle [

Calculons ()Ð

1 1 2 1dxx.

On a déjà vu que

? = 2

π ua.

Ainsi 1 1 2

1dxx = -2

-1 1 a b ?1 ?2 ?3 b a dxxf)( = ?1 - ?2 + ?3

Page 11

Exemple

C'est en fait la relation de Chasles qu'on applique : à partir du moment où on a déterminé que

f(x) s'annule en -1, on coupe en -1 et Chasles donne : ÓÑ-33(-x-1)dx = ÓÑ-3-1(-x-1)dx + ÓÑ-13(-x-1)dx = 2+(-8) = -6.

Remarques

L'intégrale d'une fonction qui change de signe peut aussi bien être négative, que nulle ou positive.

Tout dépend de la façon dont les contributions positives de l'aire sous la courbe (quand la fonction

est positive) et négatives (quand la fonction est négative) se compensent. Dans l'exemple précédent, le triangle d'aire ?1 est plus petit que celui d'aire ?2. C'est pourquoi le résultat est négatif. Sans calcul, on peut constater que si on avait intégré non pas de -3 à 3 mais de -5 à 1, l'intégrale aurait été exactement opposée : ÓÑ-51(-x-1)dx = 6 (faire un schéma pour visualiser le changement sans avoir besoin de refaire de calcul). De même si on intègre sur un intervalle centré sur -1 l'intégrale y sera nulle (ça marche parce qu'on intègre une fonction affine, ne généralisons pas exagérément).

Par exemple

ÓÑ-31(-x-1)dx = 0 ou encore ÓÑ-20202018(-x-1)dx = 0...

Par conséquent, on remarque qu'une intégrale peut être nulle même si la fonction qu'on intègre n'est

pas nulle !

Allons un peu plus loin.

Si une fonction est impaire, sa courbe est symétrique par rapport à l'origine. 3 -3

Calculons Ð

3 3 )1(dxx.

L'aire

?1 est celle d'un triangle de base 2 et de hauteur 2 donc ?1 = 222× = 2 ua.

L'aire

?2 est celle d'un triangle de base 4 et de hauteur 4 donc ?2 = 244× = 8 ua. Ainsi 3 3 )1(dxx = ?1 - ?2 = 2 - 8 = -6. ?1 -4 2 ?2 -1

Page 12

Donc si on intègre sur un intervalle symétrique par rapport à 0, de type [-a;a], les aires situées

sous l'axe des abscisses (là où la fonction est négative) et au-dessus (là où la fonction est positive)

sont exactement les mêmes par symétrie. Donc les contributions positives et négatives se compensent et ainsi : Si f est impaire et continue sur [-a;a] alors ÓÑ-aaf(x)dx = 0.

Sans calcul, on peut voir par exemple que

ÓÑ-2 2 xdx = 0 ou de même ÓÑ-4 4 x3dx = 0 car ces fonctions sont impaires.

De même

2

2 sin(x)dx = 0 ou encore ÓÑ-20202020x2019dx = 0.

On remarque que pour le moment on n'a aucune idée de la façon de calculer ces intégrales, vu que

les aires sous les courbes ne sont pas des formes géométriques connues... ce qui nécessitera donc

d'autres techniques dans les paragraphes qui vont suivre.

Enfin, la calculatrice permet de calculer des intégrales : menu " math », onglet " MATH », choix

n°9 " intégrFonct( » et soit on remplit l'intégrale qui s'affiche à l'aide des flèches, soit on tape dans

l'ordre la fonction f(X),X,a,b

Faire l'essai sur les intégrales traitées en exemple dans ces différents paragraphes, et celles décrites

sans calcul dans la remarque précédente.

Bien que f(x) = 1

x soit une fonction impaire, il est faux d'écrire que par exemple

ÓÑ-11

1 x dx = 0.

En effet

1 x n'existe pas en 0 donc la courbe n'est pas définie sur tout l'intervalle (et donc pas continue non plus !)

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2) Primitive d'une fonction continue sur un intervalle

On cherche ici à " inverser » le processus de dérivation, en déterminant, étant donné une fonction,

de qui elle est la dérivée.

Par exemple, si on considère la fonction

f définie sur ? par f(x) = 2x, on sait d'après les formules de dérivation que 2 x est la dérivée de x2.

Donc une fonction dont la dérivée est

f(x) est la fonction x ?? x2.quotesdbs_dbs8.pdfusesText_14