Le rang - unicefr
D´efinition Le rang d’une matrice A est le nombre de lignes non nulles dans sa forme ´echelonn´ee en lignes On le note rgA Par exemple la matrice suivante A se r´eduit en sa forme ´echelonn´ee en lignes par les pivotages A = 1 −3 6 2 2 −5 10 3 3 −8 17 4 −−−−−−−−→L 2← −2 1 L 3←L −3L 1 1 −3 6 2
Rang dune matrice Cours et exercices - SiteWcom
2 PCSI Année 2014-2015 Rang d'une matrice: cours et exercices 1er juin 2015 II Matrices échelonnées Définition 2 Soit A 2 Mnp (K) La matrice A est chelonnéé e (en lignes) si : toute ligne non nulle de A ommencce avec strictement plus de zéros que la ligne prdenteécé ; en-dessous d'une ligne nulle, on ne eutp trouver qu'une ligne nulle
Rang dune matrice - maquisdoc
MPSI-Éléments de cours Rang d'une matrice 28 février 2020 Proposition Soit A2M p;q(K) et Q2GL q(K) : rg(AQ) = rg(A) Preuve La démonstration est assez di érente de la précédente, car la multiplication à droite par Qn'opère pas
D´edou Octobre 2010 - unicefr
Rang d’une matrice Par d´efinition le rang d’une matrice est celui du syst`eme homog`ene associ´e Exemple La matrice suivante a pour rang 3 (le syst`eme correspondant est facile) : 8 2 4 6 0 0 2 4 0 3 5 7 Exo 3 Quel est le rang de la matrice suivante : 4 0 2 2 2 3 4 1 6 0 3 3
II Noyau, image et rang d’une matrice
2 2 Rang d’une matrice On a déjà défini le rang d’un système linéaire, le rang d’une famille de vecteurs et le rang d’une application linéaire On définit maintenant le rang d’une matrice Soit A 2Mn,p(K) On appelle rang de A le rang de la famille (C1, ,Cp) des colonnes de A On note : rg A ˘rg(C1, ,Cp) ˘dim(Vect(C1
Rang d’une matrice, retour aux systµemes lin¶eaires
1 1 RANG D’UNE MATRICE RANG D’UN SYSTEME LINµ EAIRE ¶ 3 Lemme 1 1 7 Le rang des lignes du systµeme homogµene AX = 0 est ¶egal au nombre de lignes non nulles du systµeme ¶echelonn¶e ¶equivalent EX = 0 obtenu par la m¶ethode du pivot de Gauss
Matrices et applications linéaires
Le rang d’une matrice échelonnée est très simple à calculer Proposition 2 Le rang d’une matrice échelonnée par colonnes est égal au nombre de colonnes non nulles Par exemple, dans la matrice échelonnée donnée en exemple ci-dessus, 4 colonnes sur 6 sont non nulles, donc le rang de cette matrice est 4
I Théorie du rang COMPLEMENTS SUR LES MATRICESI 1 Image et
Théorème 3 : Lien avec le rang d’une application linéaire ••Le rang de A est aussi le rang de : Théorème 4 : Rang de la transposée (Admis provisoirement) 3Rang et matrices extraites Une matrice extraite de A est une matrice obtenue en supprimant certaines lignes et certaines colonnes de A Définition 2 Exemple 1 — La matrice 1 8
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L1 MASS : Alg`ebre Lin´eaireCours 31 janvier 2006
Le rang
On rappelle une d´efinition du cours pr´ec´edent : D´efinition.Une matriceBest dite´echelonn´ee en lignessi - chaque ligne non nulle deBcommence avec strictement plus de 0 que la ligne pr´ec´edente, et - les lignes nulles (ne contenant que des 0) deBviennent en bas apr`es les lignes non nulles.Toute matriceApeut se r´eduire `a une matrice ´echelonn´ee en lignesBpar une suite d"op´erations
´el´ementaires sur les lignes. On appelleBlaforme ´echelonn´ee en lignesdeA. Une des concepts fondamentaux dans l"alg`ebre lin´eaire est lerangd"une matrice. Il admet de plusieurs d´efinitions ´equivalentes. En voici la premi`ere.D´efinition.Lerangd"une matriceAest le nombre de lignes non nulles dans sa forme ´echelonn´ee
en lignes. On le note rgA.Par exemple la matrice suivanteAse r´eduit en sa forme ´echelonn´ee en lignes par les pivotages
A=( (1-3 6 22-5 10 3
3-8 17 4)
L2←L2-2L1--------→L
3←L3-3L1(
(1-3 6 20 1-2-1
0 1-1-2)
L3←L3-L2-------→(
(1-3 6 20 1-2-1
0 0 1-1)
Donc on a rgA= 3. Pour la matrice suivante
C=( (1 3 2 1 4 10 1-1)
L2←L2-L1-------→(
(1 3 2 0 1-10 1-1)
L3←L3-L2-------→(
(1 3 2 0 1-10 0 0)
on a rgC= 2.Th´eor`eme 1.Pour toute matriceAon a
Id´ee de la preuve.En r´eduisant la matriceAen une matrice ´echelonn´ee en lignes similaire `a celle-ci
((13 0 4 5021 3 8
0 0 072
0 0 0 0 0)
lespivots(les premiers coefficients non nuls des lignes non nulles) sont danslignes distincteset dans descolonnes distinctes. Donc on aLe nombre de pivots est aussi le nombre de lignes non nulles de la forme ´echelonn´ee deA, d"o`u
nombre de pivots = rgA.La matrice des coefficients
On peut associer une matrice `a chaque membre d"un syst`eme lin´eaire. Pour le syst`eme ?x-3y+ 6z+ 2w=-1,2x-5y+ 10z+ 3w= 0,
3x-8y+ 17z+ 4w= 1,
on a des matrices A=( (1-3 6 22-5 10 3
3-8 17 4)
,b=( (-1 0 1) avecAlamatrice des coefficientsregroupant les coefficients des variables du membre de gauche du syst`eme, et le vecteur colonnebcontient le membre de droite. Quand on met les deux ensemble, on a lamatrice augment´eequ"on a d´ej`a vueA=?A??b?=(
(1-3 6 22-5 10 3
3-8 17 4?
?????-1 0 1)Le rang et les syst`emes lin´eaires
On va ´etudier les syst`emes lin´eaires en consid´erant le membre de gauche comme fixe, mais
le membre de droite comme ´eventuellement variable. Dans cette optique, il est convenable deconsid´erer le rang d"un syst`eme lin´eaire comme d´ependant uniquement de son membre de gauche.
D"o`u :
D´efinition.Lerangd"un syst`eme lin´eaire est le rang de sa matrice des coefficientsA.Par exemple, le rang du syst`eme (‡) est 3, selon les calculs faits sur la page pr´ec´edente.
Pour r´esoudre un syst`eme lin´eaire on fait des op´erations ´el´ementaires et pivotages soit sur
les ´equations, soit sur la matrice augment´ee?A. A la fin, la forme ´echelonn´ee du syst`eme lin´eaire
correspond `a la forme ´echelonn´ee en lignes de?A, et le membre gauche du syst`eme ´echelonn´e
correspond `a la forme ´echelonn´ee en lignes de la matrice des coeffientsA. On en d´eduit :rg
?A= nombre de lignes du syst`eme ´echelonn´e non de la forme 0 = 0.rgA= nombre de lignes du syst`eme ´echelonn´e non de la forme 0 = 0 ou 0 =caveccnon nul.Ce que nous connaissons sur la solution des syst`emes lin´eaires se traduit par les parties (a) et
(b) du th´eor`eme suivant : Th´eor`eme 2.Consid´erons un syst`eme lin´eaire dem´equationsenninconnuesavec matrice des coefficientsA, membre de droiteb, et matrice augment´ee?A=?A??b?. (a)Pour un membre de droitebparticulier, le syst`eme lin´eaire a une solution si et seulement si on argA= rg?A. (b)Quand elles existent, les solutions d´ependent den-rgAparam`etres ind´ependants. La partie (c) se d´eduit du Th´eor`eme 1 ci-dessus.Quand on r´eduit la matrice augment´ee d"un syst`eme lin´eaire `a sa forme ´echelonn´ee en lignes,
parfois on termine avec une matrice contenant autant de pivots que de lignes dans la partie gauche de la matrice, comme celle-ci :( (13 4 15 024-60 0 01?
2 On peut r´esoudre un tel syst`eme ´echelonn´e quelque soit le membre de droite.Mais parfois on termine avec une matrice augment´ee ´echelonn´ee avec moins de pivots que de
lignes dans la partie gauche, comme celle-ci : (13 4 15 024-60 0 0 0?
La derni`ere ligne correspond `a une ´equation de la forme 0 =?, o`u le?d´epend du membre dedroitebdu syst`eme non ´echelonn´e du d´epart. Pour certainsb, le?prend la valeur 0, et le syst`eme
a des solutions. Pour d"autresb, le?est non nul, et le syst`eme n"a pas de solutions. Or quand on a un syst`eme lin´eaire dem´equationsenninconnuesavec matrice des coeffi-cientsA, le nombre de pivots dans la partie gauche de la matrice ´echelonn´ee est rgA, et le nombre
de lignes estm. Donc les deux situations ci-dessus correspondent `a d"abord rgA=m, et ensuite rgA < m. On a donc le th´eor`eme suivant : Th´eor`eme 3.Consid´erons un syst`eme lin´eaire dem´equationsenninconnuesavec matrice des coefficientsA, membre de droiteb, et matrice augment´ee?A=?A??b?. (a)Quand on argA=m, le syst`eme lin´eaire a des solutions quelque soit le membre de droite b. (b)Quand on argA < m, le syst`eme lin´eaire a des solutions pour certains membres de droite bmais pas pour tout membre de droite. 3quotesdbs_dbs4.pdfusesText_7