Le rang - unicefr
D´efinition Le rang d’une matrice A est le nombre de lignes non nulles dans sa forme ´echelonn´ee en lignes On le note rgA Par exemple la matrice suivante A se r´eduit en sa forme ´echelonn´ee en lignes par les pivotages A = 1 −3 6 2 2 −5 10 3 3 −8 17 4 −−−−−−−−→L 2← −2 1 L 3←L −3L 1 1 −3 6 2
Rang dune matrice Cours et exercices - SiteWcom
2 PCSI Année 2014-2015 Rang d'une matrice: cours et exercices 1er juin 2015 II Matrices échelonnées Définition 2 Soit A 2 Mnp (K) La matrice A est chelonnéé e (en lignes) si : toute ligne non nulle de A ommencce avec strictement plus de zéros que la ligne prdenteécé ; en-dessous d'une ligne nulle, on ne eutp trouver qu'une ligne nulle
Rang dune matrice - maquisdoc
MPSI-Éléments de cours Rang d'une matrice 28 février 2020 Proposition Soit A2M p;q(K) et Q2GL q(K) : rg(AQ) = rg(A) Preuve La démonstration est assez di érente de la précédente, car la multiplication à droite par Qn'opère pas
D´edou Octobre 2010 - unicefr
Rang d’une matrice Par d´efinition le rang d’une matrice est celui du syst`eme homog`ene associ´e Exemple La matrice suivante a pour rang 3 (le syst`eme correspondant est facile) : 8 2 4 6 0 0 2 4 0 3 5 7 Exo 3 Quel est le rang de la matrice suivante : 4 0 2 2 2 3 4 1 6 0 3 3
II Noyau, image et rang d’une matrice
2 2 Rang d’une matrice On a déjà défini le rang d’un système linéaire, le rang d’une famille de vecteurs et le rang d’une application linéaire On définit maintenant le rang d’une matrice Soit A 2Mn,p(K) On appelle rang de A le rang de la famille (C1, ,Cp) des colonnes de A On note : rg A ˘rg(C1, ,Cp) ˘dim(Vect(C1
Rang d’une matrice, retour aux systµemes lin¶eaires
1 1 RANG D’UNE MATRICE RANG D’UN SYSTEME LINµ EAIRE ¶ 3 Lemme 1 1 7 Le rang des lignes du systµeme homogµene AX = 0 est ¶egal au nombre de lignes non nulles du systµeme ¶echelonn¶e ¶equivalent EX = 0 obtenu par la m¶ethode du pivot de Gauss
Matrices et applications linéaires
Le rang d’une matrice échelonnée est très simple à calculer Proposition 2 Le rang d’une matrice échelonnée par colonnes est égal au nombre de colonnes non nulles Par exemple, dans la matrice échelonnée donnée en exemple ci-dessus, 4 colonnes sur 6 sont non nulles, donc le rang de cette matrice est 4
I Théorie du rang COMPLEMENTS SUR LES MATRICESI 1 Image et
Théorème 3 : Lien avec le rang d’une application linéaire ••Le rang de A est aussi le rang de : Théorème 4 : Rang de la transposée (Admis provisoirement) 3Rang et matrices extraites Une matrice extraite de A est une matrice obtenue en supprimant certaines lignes et certaines colonnes de A Définition 2 Exemple 1 — La matrice 1 8
[PDF] cours moment d'une force
[PDF] exercice physique moment d'une force
[PDF] exercice moment d'une force bac pro
[PDF] calcul moment force
[PDF] exercices sur le moment d'une force pdf
[PDF] exercice corrigé bras de levier
[PDF] exercices moment d'une force cap
[PDF] initiation volley ball+exercices
[PDF] rang d'une matrice 2x2
[PDF] moment de force formule
[PDF] fiche de situation familiale crous rattachement fiscal comment remplir
[PDF] modele fiche situation familiale
[PDF] fiche de situation familiale exemple
[PDF] couple moment
II Noyau, image et rang d"une matrice
2.1 DéfinitionsSoitA2Mn,p(K).
²On appelle noyau deAet on noteKer Ale sous-ensemble deMp,1(K) défini par :KerAAE{X2Mp,1(K) ,AXAE0}
²On appelle image deAen note ImAle sous-ensemble deMn,1(K) défini par :ImAAE{Y2Mn,1(K) ,9X2Mp,1(K),YAEAX}
AE{AX,X2Mp,1(K)}Définition 5
Remarque :
²KerAet ImAs"interprète en termes de systèmes linéaires :-KerAcorrespond à l"ensemble des solutions du système linéaire homogène associé àA.
²En notantul"application canoniquement associée àA. On a : (x1,...,xp)2Keru()0 B @x 1 x p1 CA2KerA,
(y1,...,yn)2Imu()0 B @y 1 y n1 CA2ImA.
.On passe des vecteurs aux matrices colonne et réciproquement.SoitA2Mn,p(K).²KerAest un sous-espace vectoriel deMp,1(K).
²ImAest un sous-espace vectoriel deMn,1(K).Proposition 10Preuve.P osonsv:Mp,1(K)!Mn,1(K)
X7!AX.
vest clairement linéaire et on a : KervAEKerAet ImvAEImA. Ainsi KerAest un sous-espace vectoriel deMp,1(K) et ImAest un sous-
espace vectoriel deMn,1(K).SoitA2Mn,p(K).En notantC1, ...,Cples colonnes deA, on a :
ImAAEVect(C1,...,Cp)Proposition 11
Preuve.P osonsv:Mp,1(K)!Mn,1(K)
X7!AXvest linéaire et ImvAEImA.
De plus,
0 B BBB@0 B BBB@1 0 01 CCCCA,0
B BBB@0 1 01 CCCCA,...,0
B BBB@0 0 11 C CCCA1 C CCCAest une famille génératrice deMp,1(K) DoncImAAEImvAEVect0
BBBB@A0
B BBB@1 0 01 CCCCA,A0
B BBB@0 1 01 CCCCA,...,A0
B BBB@0 0 11 C CCCA1 CCCCAAEVect(C1,...,Cp)+Exercice 16
12.2 Rang d"une matrice
.On a déjà défini le rang d"un système linéaire, le rang d"une famille de vecteurs et le rang d"une application linéaire. On
définit maintenant le rang d"une matrice.SoitA2Mn,p(K). On appelle rang deAle rang de la famille (C1,...,Cp) des colonnes deA. On note :
rgAAErg(C1,...,Cp)AEdim(Vect(C1,...,Cp)).Définition 6.On a donc rgAAEdim(Vect(C1,...,Cp))AEdim(ImA)ce qui permet de faire le lien avec la définition du rang pour les ap-
plications linéaires.SoientEetFdeuxK-espace vectoriels de dimensions finies.SoientBetCdes bases respectives deEetF.
Soitu2L(E,F). NotonsAAEMatB,C(u). On a :
rgAAErg(u).Proposition 12.En particulier, le rang d"une matrice est égal au rang de l"application linéaire qui lui est canoniquement associée.
Preuve.N otonsBAE(e1,...,ep),CAE(f1,...,fn) etC1,...,Cples colonnes deA.On sait que
':F!Mn,1(K) x!MatC(x)AE0 B B@x 1 x n1 C CA est un isomorphisme deK-espaces vectoriels.Ainsi,
rg(u)AErg('±u) car'est un isomorphisme Or, (e1,...ep) est une base deEdonc une famille génératrice deE. Ainsi, Im('±u)AEVect('(u(e1)),...,'(u(ep))). Ainsi :AErg(MatC(u(e1)),...,MatC(u(ep)))
AErg(C1,...,Cp)
AErgASoitA2Mn,p(K).
rg(A)·min(n,p).Proposition 13 Preuve.²On a rgAAErg(C1,...,Cp), donc rgAest le rang d"une famille depvecteurs, ainsi rgA·p. ²De plus : Vect(C1,...,Cp)½Mn,1(K) donc rgA·dimMn,1(K)AEn.SoitA2Mn,p(K). pAEdim(KerA)Årg(A).Proposition 14 : Théorème du rangPreuve.S oitu2L(Kp,Kn) l"application linéaire canoniquement associée àA. D"après le théorème du rang, on a :
dimKpAEdimKeruÅrgu.