ENDOMORPHISMES NILPOTENTS - UMONS
ENDOMORPHISMES NILPOTENTS Soit Eun K-espace vectoriel de dimension nie n 1 De nition 0 1 Un endomorphisme g2End K(E) est nilpotent s’il existe un entier m 1 tel que gm= 0
Endomorphismes nilpotents - LAGA
† Donner, en fonction des invariants de similitude, la dimension du commutant d’un endomorphisme nilpotent † Montrer que tout hyperplan H de M(n;C) contient au moins n2 ¡ n ¡ 1 matrices nilpotentes lin¶eairement ind¶ependantes Exercices corrig¶es Exercice 1 (a) Montrer que si KerA2 = KerA, alors il existe un pseudo-inverse X, i e
Réduction des endomorphismes
Exercice 13 Soient ˙2S n et P ˙ la matrice de permutation associée Déterminer le polynôme caractéristique et le polynôme minimal de P ˙ II Endomorphismes nilpotents Exercice 14 Si u2L(E) est nilpotent alors id + uest inversible Montrer qu'il existe v2L(E) telle que id + u= v2 Exercice 15 Soit u2L(E) un endomorphisme
Planche d’exercices VI - Structure des endomorphismes
oùaestunréelnonnul 2 Danscettepartie,A= 2 4 a a a 1 a a 1 1 a 3 52M 3(C) oùaestunréelnonnul 2 1 MontrerqueA= B3 +B2 +B,oùB= 2 4 0 0 a 1 0 0 0 1 0 3 5 2 2
Endomorphismes diagonalisables Notation : Dans les exercices
Donc un endomorphisme nilpotent f, est diagonalisable ssi f(X) = X Autrement dit f= 0 Exercice 4: Soit m2R et A m2M 3(R) la matrice m 1 1 1 m 1 1 1 m 1 Calculer les valeurs propres de A m et une base de vecteurs propres 2 D eterminer suivant les valeurs de mle rang de A m D eterminer lorsque cela est possible A 1 m 3 Lorsque A
Espaces vectoriels de dimension finie (ou non)
Exercice 11 ***I Soient K un sous-corps de C et E un K-espace vectoriel de dimension finie notée n Soit u un endomorphisme de E On dit que u est nilpotent si et seulement si 9k 2N=uk =0 et on appelle alors indice de nilpotence de u le plus petit de ces entiers k (par exemple, le seul endomorphisme u, nilpotent d’indice 1 est 0)
I MATRICES, ENDOMORPHISMES ET DETERMINANTS
Un endomorphisme de E est une application lin eaire de E dans lui-m^eme On note L(E) l’espace vectoriel de tous les endomorphismes de E Exemples 3 2 1) L’application de K[T] dans K qui a un polynme P associe P(1) est lin eaire En revanche, celle qui a P associe P(1)2 (ou P(0) + 1) ne l’est pas
Feuille d’exercices n 6
Corrigé : 1 Si dimkerA = 0 alors A n’a pas de valeur propre 0, donc ne peut pas etre nilpotent Si dimkerA = 3 alors A = 0 et l’indice de nilpotence et 1 Si dimkerA = 1 alors l’indice de nilpotence est 3 d’après la dernière exercice Donc dimkerA = 2 2 Soit b 3 2R3 un vecteur qui n’est pas dans le noyau de A Alors b 1 = A(b 3
I - Matrices compagnons et endomorphismes cycliques
6 Soit fun endomorphisme cyclique Si χf est scindé sur Kà racines simples, on sait que fest diagonalisable Réciproquement, supposons fdiagonalisable Alors, CQ est diagonalisable puis CT Q est diagonalisable Nécessairement, χf = χCT Q = χC Q = Qest scindé sur K et l’ordre de multiplicité de chaque valeur propre de CT Q est
CORRECTION DU TD 3 - TSE
Finalement, on peut vérifier que l’endomorphisme représenté par dans la base canonique est représenté par la matrice suivante dans la base : Exercice 2 1) Soit En posant : , on a : 2) D’après l’exercice 1 , la matrice est trigonalisable et la décomposition de Jordan de cette matrice est :
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Endomorphismes nilpotents
Plan0 est la seule
Trup= 0 pour
tout p). k¸1, lak-iµeme colonne est de longueur dimKerak¡ dimKerak¡1). Siuetvsont nilpotent et commutent alorsu+vest nilpotent. On pourra montrer qu'un sous-espace n(n¡1) 2 O O2: celui-ci correspond µa
l'ordre habituel sur les tableaux de Young.Calcul de la dimension du commutant.
description de l'ordre de ChevalleyJordan
Burnside: un sous-groupe deGLn(C) est ¯ni si et seulement s'il est d'exposant ¯niDunford
Questions
1 Calculer la dimension du commutant d'un endomorphisme nilpotent.Un sous-espace vectoriel maximal dans le c^one nilpotent est semblable au matrice strictement triangulaire
Donner les sous-espaces stables sous l'action d'un endomorphisme dont la matrice dans la base canonique
est un bloc de Jordan de taille maximal.Quels sont les endomorphismes (nilpotents) qui ne possµedent qu'un nombre ¯ni de sous-espaces stables?
Quels sont les endomorphismes (nilpotents)utels que tout sous-espace stable est de la forme KerP(u) ou
ImP(u) pour
Pun polyn^ome.
M.Donner, en fonction des invariants de similitude, la dimension du commutant d'un endomorphisme nilpotent.
Exercice 1.
(a) Montrer que siKerA2= KerA, alors il existe un pseudo-inverseX, i.e. tel queAX=XA,
AXA=AetXAX=X.
(b) A quelle condition sur les invariants de similitude deAa-t-ondimKerA2= 2dimKerA?0, l'hypothµese implique queAy est nulle, on prend doncXquelconque.
1.Exercice 2.
l'espace rle premier indice tel que a r=ar+1. Soit alorsx2Kerar+2de sorte quea(x)2Kerar+1= Keraret donc a r+1(x) = 0 soitx2Kerar+1et a r=ar+kpour toutk¸0. a induit un endomorphisme injectif de Kerak=Kerak¡1dans Kerak¡1=Kerak¡2. d kest de taille le diagramme de Young dont les colonnes sont les d ipouri= 1;¢¢¢;r. Les blocs de Jordan se lisent alors sur les lignes.Exercice 3.
2 et que ce maximum est atteint. 2 sera totalement isotrope. signature de qest (n(n+1) 2 ;n(n¡1) 2 µa n(n¡1) 2Exercice 4.
Soituun endomorphisme nilpotent; pour touti¸0, on noteKi0le noyau deuisoitdi0sa dimension.On suppose que la suite
u. Preuve :On noteV=Knl'espace vectoriel en question, que l'on munit de la structure deA=K[X]-module
est alors a rl'indiceitel queKi¡106=Ki0=Kj0pour toutj¸i. L'entier
a i. On note±i= dimKi0¡dimKi¡10; partant de la forme de Jordan il est rd'invariants de a itel queKi¡106=Ki0= K a i(X) sous la formeai(X) =X®ipour2·i·4 avec®i¸®i+1et
P 4 i=1®i= 10.On introduit comme ci-avant±i0= dimKi0¡dimKi¡10;±i0est le nombre d'invariants de similitude divisibles
par X2= 3 et®3·2. En¯n±20= 3 donne
3= 2 et®4= 1.
Exercice 5.
solutions? x kest J bk 2 cetJdk 2 e.si on groupe les lignes deux par deux en partant du haut (en partant de la convention que l'on a une derniµere
ligne de longueur nulle dans le cas oµu le noyau est de dimension impaire), alors les lignes d'une m^eme paire
di®µerent d'au plus une case.Exercice 6.
Donner, en fonction des invariants de similitude, la dimension du commutant d'un endomorphisme nilpotent. A. On raisonne dans une base de Jordanisation deA. On rappelle que l'on aKerA KerA2 ¢¢¢ KerAr= KerAr+1
On considµere une base
en;¢¢¢;en¡dr+1de KerAr¡KerAr¡1de cardinal la longueurdrde la derniµere colonne du
A. L'image de cette base est totalement libre ce qui donne d r