ENDOMORPHISMES NILPOTENTS - UMONS
ENDOMORPHISMES NILPOTENTS Soit Eun K-espace vectoriel de dimension nie n 1 De nition 0 1 Un endomorphisme g2End K(E) est nilpotent s’il existe un entier m 1 tel que gm= 0
Endomorphismes nilpotents - LAGA
† Donner, en fonction des invariants de similitude, la dimension du commutant d’un endomorphisme nilpotent † Montrer que tout hyperplan H de M(n;C) contient au moins n2 ¡ n ¡ 1 matrices nilpotentes lin¶eairement ind¶ependantes Exercices corrig¶es Exercice 1 (a) Montrer que si KerA2 = KerA, alors il existe un pseudo-inverse X, i e
Réduction des endomorphismes
Exercice 13 Soient ˙2S n et P ˙ la matrice de permutation associée Déterminer le polynôme caractéristique et le polynôme minimal de P ˙ II Endomorphismes nilpotents Exercice 14 Si u2L(E) est nilpotent alors id + uest inversible Montrer qu'il existe v2L(E) telle que id + u= v2 Exercice 15 Soit u2L(E) un endomorphisme
Planche d’exercices VI - Structure des endomorphismes
oùaestunréelnonnul 2 Danscettepartie,A= 2 4 a a a 1 a a 1 1 a 3 52M 3(C) oùaestunréelnonnul 2 1 MontrerqueA= B3 +B2 +B,oùB= 2 4 0 0 a 1 0 0 0 1 0 3 5 2 2
Endomorphismes diagonalisables Notation : Dans les exercices
Donc un endomorphisme nilpotent f, est diagonalisable ssi f(X) = X Autrement dit f= 0 Exercice 4: Soit m2R et A m2M 3(R) la matrice m 1 1 1 m 1 1 1 m 1 Calculer les valeurs propres de A m et une base de vecteurs propres 2 D eterminer suivant les valeurs de mle rang de A m D eterminer lorsque cela est possible A 1 m 3 Lorsque A
Espaces vectoriels de dimension finie (ou non)
Exercice 11 ***I Soient K un sous-corps de C et E un K-espace vectoriel de dimension finie notée n Soit u un endomorphisme de E On dit que u est nilpotent si et seulement si 9k 2N=uk =0 et on appelle alors indice de nilpotence de u le plus petit de ces entiers k (par exemple, le seul endomorphisme u, nilpotent d’indice 1 est 0)
I MATRICES, ENDOMORPHISMES ET DETERMINANTS
Un endomorphisme de E est une application lin eaire de E dans lui-m^eme On note L(E) l’espace vectoriel de tous les endomorphismes de E Exemples 3 2 1) L’application de K[T] dans K qui a un polynme P associe P(1) est lin eaire En revanche, celle qui a P associe P(1)2 (ou P(0) + 1) ne l’est pas
Feuille d’exercices n 6
Corrigé : 1 Si dimkerA = 0 alors A n’a pas de valeur propre 0, donc ne peut pas etre nilpotent Si dimkerA = 3 alors A = 0 et l’indice de nilpotence et 1 Si dimkerA = 1 alors l’indice de nilpotence est 3 d’après la dernière exercice Donc dimkerA = 2 2 Soit b 3 2R3 un vecteur qui n’est pas dans le noyau de A Alors b 1 = A(b 3
I - Matrices compagnons et endomorphismes cycliques
6 Soit fun endomorphisme cyclique Si χf est scindé sur Kà racines simples, on sait que fest diagonalisable Réciproquement, supposons fdiagonalisable Alors, CQ est diagonalisable puis CT Q est diagonalisable Nécessairement, χf = χCT Q = χC Q = Qest scindé sur K et l’ordre de multiplicité de chaque valeur propre de CT Q est
CORRECTION DU TD 3 - TSE
Finalement, on peut vérifier que l’endomorphisme représenté par dans la base canonique est représenté par la matrice suivante dans la base : Exercice 2 1) Soit En posant : , on a : 2) D’après l’exercice 1 , la matrice est trigonalisable et la décomposition de Jordan de cette matrice est :
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