ENDOMORPHISMES NILPOTENTS - UMONS
ENDOMORPHISMES NILPOTENTS Soit Eun K-espace vectoriel de dimension nie n 1 De nition 0 1 Un endomorphisme g2End K(E) est nilpotent s’il existe un entier m 1 tel que gm= 0
Endomorphismes nilpotents - LAGA
† Donner, en fonction des invariants de similitude, la dimension du commutant d’un endomorphisme nilpotent † Montrer que tout hyperplan H de M(n;C) contient au moins n2 ¡ n ¡ 1 matrices nilpotentes lin¶eairement ind¶ependantes Exercices corrig¶es Exercice 1 (a) Montrer que si KerA2 = KerA, alors il existe un pseudo-inverse X, i e
Réduction des endomorphismes
Exercice 13 Soient ˙2S n et P ˙ la matrice de permutation associée Déterminer le polynôme caractéristique et le polynôme minimal de P ˙ II Endomorphismes nilpotents Exercice 14 Si u2L(E) est nilpotent alors id + uest inversible Montrer qu'il existe v2L(E) telle que id + u= v2 Exercice 15 Soit u2L(E) un endomorphisme
Planche d’exercices VI - Structure des endomorphismes
oùaestunréelnonnul 2 Danscettepartie,A= 2 4 a a a 1 a a 1 1 a 3 52M 3(C) oùaestunréelnonnul 2 1 MontrerqueA= B3 +B2 +B,oùB= 2 4 0 0 a 1 0 0 0 1 0 3 5 2 2
Endomorphismes diagonalisables Notation : Dans les exercices
Donc un endomorphisme nilpotent f, est diagonalisable ssi f(X) = X Autrement dit f= 0 Exercice 4: Soit m2R et A m2M 3(R) la matrice m 1 1 1 m 1 1 1 m 1 Calculer les valeurs propres de A m et une base de vecteurs propres 2 D eterminer suivant les valeurs de mle rang de A m D eterminer lorsque cela est possible A 1 m 3 Lorsque A
Espaces vectoriels de dimension finie (ou non)
Exercice 11 ***I Soient K un sous-corps de C et E un K-espace vectoriel de dimension finie notée n Soit u un endomorphisme de E On dit que u est nilpotent si et seulement si 9k 2N=uk =0 et on appelle alors indice de nilpotence de u le plus petit de ces entiers k (par exemple, le seul endomorphisme u, nilpotent d’indice 1 est 0)
I MATRICES, ENDOMORPHISMES ET DETERMINANTS
Un endomorphisme de E est une application lin eaire de E dans lui-m^eme On note L(E) l’espace vectoriel de tous les endomorphismes de E Exemples 3 2 1) L’application de K[T] dans K qui a un polynme P associe P(1) est lin eaire En revanche, celle qui a P associe P(1)2 (ou P(0) + 1) ne l’est pas
Feuille d’exercices n 6
Corrigé : 1 Si dimkerA = 0 alors A n’a pas de valeur propre 0, donc ne peut pas etre nilpotent Si dimkerA = 3 alors A = 0 et l’indice de nilpotence et 1 Si dimkerA = 1 alors l’indice de nilpotence est 3 d’après la dernière exercice Donc dimkerA = 2 2 Soit b 3 2R3 un vecteur qui n’est pas dans le noyau de A Alors b 1 = A(b 3
I - Matrices compagnons et endomorphismes cycliques
6 Soit fun endomorphisme cyclique Si χf est scindé sur Kà racines simples, on sait que fest diagonalisable Réciproquement, supposons fdiagonalisable Alors, CQ est diagonalisable puis CT Q est diagonalisable Nécessairement, χf = χCT Q = χC Q = Qest scindé sur K et l’ordre de multiplicité de chaque valeur propre de CT Q est
CORRECTION DU TD 3 - TSE
Finalement, on peut vérifier que l’endomorphisme représenté par dans la base canonique est représenté par la matrice suivante dans la base : Exercice 2 1) Soit En posant : , on a : 2) D’après l’exercice 1 , la matrice est trigonalisable et la décomposition de Jordan de cette matrice est :
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Université Claude Bernard Lyon 1 - automne 2009 Licence Sciences, Technologies, Santé - mention mathématiques
UE Math III Algèbre - MAT2002L
Planche d"exercices VI
- Structure des endomorphismes nilpotents - Réduite de Jordan -Exercice 1.
FSoitEunK-espace vectoriel de dimension 2 et soituun endomorphisme non nul deEtel queu2= 0.1. Montrer queKeru= Imu.
2. Construire une baseBdeEdans laquelle la matrice deuest
0 1 0 03. En déduire que les matrices nilpotentes deM2(K)sont les matrices
a b c a de determinant nul.Exercice 2.
FSoitEunK-espace vectoriel de dimensionnmuni d"un endomorphismeunon nul de rangrtel queu2= 0.1. Montrer queImuest un sous-espace deKeru. En déduire qu"il existe une base
(u(e1);:::;u(er);vr+1;:::vnr) deKeruoù(u(e1);:::;u(er))est une base deImu.2. Montrer que la famille
B= (u(e1);e1;u(e2);e2;:::;u(er);er;vr+1;:::;vnr)
forme une base deE.3. Écrire la matrice deudans la baseB.
Exercice 3.
F1. Déterminer toutes les réduites de Jordan possibles pour un endomorphisme nilpotent de
R 4.2. Construire deux matrices non semblables deM4(R)nilpotentes, ayant le même polynôme
minimal.Exercice 4.
FMontrer qu"une matrice sous la forme de Jordan est diagonalisable si et seulement si elle est sous forme diagonale.Exercice 5.
F1. Montrer que deux matrices nilpotentes deM3(R)sont semblables si et seulement si elles
ont le même polynôme minimal.2. SoientAetBdeux matrices deMn(R)qui possèdent le même polynôme caractéristique
P= (X1)h1:::(Xp)hp
et le même polynôme minimal. Montrer que si, pour touti,hi63, alors les matricesAetB sont semblables. 1Exercice 6.
FSoientEunK-espace vectoriel de dimension2etuun endomorphisme deEdont le polynôme caractéristique est scindé.1. Montrer que siun"est pas diagonalisable alors sa réduite de Jordan est formée d"un seul
blocJ() =1
02. On suppose queun"est pas diagonalisable. Montrer que tout couple de vecteurs(e1;e2)
tel quee1= (uidE)(e2)est non nul forme une base de Jordan deu.3. Déterminer une réduite de Jordan ainsi qu"une matrice de passage pour les matrices sui-
vantes A=1a a1 ; B=1a 0 1Exercice 7.
FSoituun endomorphisme d"unK-espace vectorielEde dimensionndont la réduite de Jordan est formée d"un seul blocJ() =0
BBBB@1 0
...1 01 C CCCASoitv=uidE.
Montrer que siB= (e1;:::;en)est une famille de vecteurs deEtels que e n2EnKervn1; en1=v(en); :::;e2=v(e3);e1=v(e2); alorsBest une base deEdans laquelle la matrice deuestJ().Exercice 8.
FDéterminer une réduite de Jordan ainsi qu"une matrice de passage pour les matrices suivantes A=0 @1 1 3 22 23151
A ; B=0 @3 1 2 31 3
5 1 41
A Exercice 9.Déterminer une réduite de Jordan ainsi qu"une matrice de passage pour les matrices suivantes A=0 BB@4 1 2 3
5 7 4 5
6 6 2 6
76661C
CA; B=0
BB@2123
1 0 1 1
3 3332 2151
C CA:Exercice 10.Soit
J k() =0 BBBB@1 0
...1 01 C CCCA un bloc de Jordan deMk(C)d"ordrek>1.1. Montrer queJk()est semblable à sa transposée.
2. SoitAune matrice deMn(C). En considérant la réduite de Jordan deA, montrer queA
est semblable à sa transposée.Exercice 11.(Session 2, juin 2007).
1. Déterminer la réduite de Jordan dansM3(C)de la matrice suivante
24a a a
0a a 0 0a3 5 2 oùaest un réel non nul.2. Dans cette partie,A=2
4a a a
1a a 1 1a3 52 M3(C)oùaest un réel non nul.
2.1. Montrer queA=B3+B2+B, oùB=2
40 0a1 0 0
0 1 03
52.2. Déterminer la réduite de Jordan deBdansM3(C).
2.3. En déduire la réduite de Jordan deAdansM3(C).
3. Déduire de ce qui précéde la réduite de Jordan dansM3(C)de la matrice suivante
24a a a
b a a b b a3 5 oùaetbsont des réels non nul distincts.Exercice 12.(Session 2, janvier 2007)
Dans cet exercice,Edésigne un espace vectoriel réel de dimension3.1. Soituun endomorphisme nilpotent deE, i.e., il existe un entierptel queup= 0.
1.1. Montrer que le polynôme caractéristique deuestPu(X) =X3.
1.2 Donner toutes les réduites de Jordan possibles pouru, à l"ordre des blocs près.
1.3 On suppose que le polynôme minimal deuestmu(X) =X3. Montrer qu"il existe un
vecteur non nulxdeEtel queB= (x;u(x);u2(x))est une base deE.1.4 Écrire la matrice deudans la baseB.
2. Soituun endomorphisme deEdont la réduite de Jordan est formée d"un seul bloc
J() =0
@1 0 01 0 01 A2.1 Montrer que l"endomorphismev=uidEest nilpotent.
2.2 Construire une base deEdans laquelle la matrice deuestJ().
3. Soitul"endomorphisme deR3représenté dans la base canonique par la matrice suivante
A=0 @1 1 3 22 23151
A