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113: The Integral Test

n3 converges (like 4=n2) Careful with this one{the higher order terms in the numerator cancel out 6 X1 n=1 (n+ 2)2 n2 n2 diverges (like 1=n) 7 X1 n=1 3 + 2sin(n2) n2 converges (like 3=n2) 8 X1 n=1 ln(n)2 n2 converges (we will cover this more on Friday, but since ln2 n< p nfor large n, the series can be compared to p n=n 2= 1=n3=) 9 X1 n=1



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Tests for Convergence of Series 1) Use the comparison test to con rm the statements in the following exercises 1 P 1 n=4 1diverges, so P 1 n=4 3 diverges Answer: Let a n = 1=(n 3), for n 4



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n=0 2n 3n+ n3: Answer: Since 3 n+ n3 >3 for all n 1, it follows that 2n 3n+ n3 < 2n 3n = 2 3 n: Therefore, X1 n=0 2n 3n+ n3 < X1 n=0 2 3 n = 1 1 2 3 = 3: Hence, the given series converges 2 Does the following series converge or diverge? Explain your answer X1 n=1 n 3n: Answer: Use the Ratio Test: lim n1 n+1 3n+1 n 3n = lim n1 n+ 1 3n+1 3n n



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Ce n’est pas le cas du vocabulaire aronien À la différence de Clausewitz, Aron n’a pas cherché à forger ses propres concepts, ni à fonder son propre système conceptuel Si Clausewitz s’appuie sur l’histoire récente pour élaborer une théo-rie générale du phénomène guerrier, Aron pense les relations internationales et



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