TD 9 Ensembles et applications - Mathématiques en ECS1

BIJECTIVEPROOF PROBLEMS

BIJECTIVEPROOF PROBLEMS August 18,2009 Richard P Stanley The statements in each problem are to be proved combinatorially, in most cases by exhibiting an explicit bijection between two sets

Applications injectives, surjectives et bijectives

Soit f une application de E dans F On dit que f est une bijection pour exprimer que f est à la fois une injection et une surjection, ce qui se traduit par : quel que soit y dans F il existe un unique x F tel que f x y 2°) Exemple f: x x3 est une bijection de dans La bijection réciproque est l’application g: x 3 x (voir plus loin)

A direct bijective proof of the hook-length formula

A direct bijective proof of the hook-length formula 57 5 1 2 3 4 3 5 Fig 6: An example of an application of Algorithm P Example 4 1 We give in Figure

A Bijective String Sorting Transform

Second, since the algorithm is bijective, it is more adequate for application in which the compressed data is encrypteda non-bijective transform necessarily reveals information to the attacker Finally, some may appreciate the elegance in bijectiveness and in the details of the de nition of the transform

A White-Box DES Implementation for DRM Applications

Mixing Bijection A mixing bijection is a bijective at which attempts to maxi-mize the dependency of each output bit on all input bits (Clearly, it is invertible and the inverse is also an at ) In des, for example, the permutations, represented as ats, have very sparse matrices (one or two 1-bits per row or column) In order to diﬀuse information

TD 9 Ensembles et applications - Mathématiques en ECS1

Montrer que f est bijective et d eterminer son application r eciproque 2 Soit E un ensemble et soit : g : P(E) P(E) A 7A: Montrer que g est bijective et d eterminer g 1 Exercice 22 (*) Soit f : Cnf igCnfigl’application d e nie par : 8z 2Cnf ig f(z) = iz + 1 z + i Montrer que f est bijective et d eterminer son application r eciproque

Exercice 9 E F f E F A E A TD n 3 : Ensembles et applications

Exercice 27 Soient Eet F deux ensembles et h: E→ Eune application Montrer que h2 bijective implique hbijective puis montrer que s’il existe n∈ N⋆ tel que hn est bijective, alors hest bijective Exercice 28 On considère quatre ensembles A,B,C et D et des applications f : A→ B, g: B→ C, h: C→ D Montrer que : g f et h gsont

Théorème de la bijection : exemples de rédaction

ECE1-B 2015-2016 Théorème de la bijection : exemples de rédaction Lebutdecetteﬁcheestdefaireunpointsurlethéorèmedelabijection Après un retour sur l

Chapitre 2 Les Similitudes

une application f: → qui à un complexe z d’image ponctuelle M associe l’affixe de f(M) f s’appelle écriture complexe de f Définition 2 : Une application f est dite bijective lorsque tout point du plan admet un et un seul antécédent par f Une application bijective du plan dans lui-même s’appelle une transformation

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ECS1 TD 9

Ensembles et applications1. Ensembles

Exercice 1.(*)

SoitEun ensemble. Montrer que pour toutes partiesA,B,CdeE:

A\(B[C) = (A\B)[(A\C)

etA[(B\C) = (A[B)\(A[C)

Exercice 2.(*)

SoitA;BetCtrois sous-ensembles deE.

Justier queA\(B[C) =A[B

\A[C

Exercice 3.(**)

Exhiber des exemples pour illustrer les deux armations suivantes : 1. Sous l'h ypotheseA[B=A[C;on ne peut pas conclureB=C: 2. Sous l'h ypotheseA\B=A\C;on ne peut pas conclureB=C:

Exercice 4.(**)

DecrireP(P(fag)) ouadesigne un element.

Exercice 5.(*)

SoientAetBdeux parties deE. JustierAnB=BnA:

Exercice 6.(**) SoientA,BetCtrois parties d'un ensembleE. Justier les equivalences suivantes :

1.AB()A[B=B

2.A=B()A[B=A\B.

3.A[B=A\C()BAC.

Exercice 7.(*)

Dans chacun des exemples suivants, ou on donne un ensembleEet des partiesA,BdeE, determiner explicitementA\B,A[B,A\B,A\B:

1.E=f1;2;3;4g,A=f1;2g,B=f2;4g

2.E=R,A= ]1;2],B= [1;+1[

3.E=R,A= ]1;1],B= [2;+1[

4.E=R,A=N,B=R+

Exercice 8.(**)

SoitEun ensemble.A toutes les partiesAetBdeE, on associe la partie deEnoteeAB, denie parAB=A\B. On noteAetBles complementaires respectifs deAetBdansE. 1.

D emontrerq ueA\(BC) = (A\B)C= (A\B)(A\C).

D emontrerq ueA(B\C) = (AB)[(AC).

D emontrerq ueA(B[C) = (AB)\(AC).

D emontrerq ueA[(BC) = (A[B)(A\C).

Exercice 9.(*)

SoientEetFdeux ensembles.

1. Soien tAE,A0E,BFetB0Ftels queAA0etBB0. Verier queABA0B0. 2.

Soien tAE,A0E,BFetB0F.

(a)

V erierque ( AB)\(A0B0) = (A\A0)(B\B0).

(b)

Comparer ( AB)[(A0B0) et (A[A0)(B[B0).

Exercice 10.Complements : Dierence symetrique(***) SoientAetBdeux parties d'un ensembleE. On denit la dierence symetrique de la maniere suivante :

AB= (AnB)[(BnA):

V erierque AB=AB.

Mon trerque ?AB= (?A?B)2.

D eterminer,p ourtoute parti eAdeE:A;,AE,AAetAA.

D emontrerque p ourtoute partie AdeE, il existe une unique partieXdeEtelle queAX=;.2. Applications : Injectivite, surjectivite, bijectivite

Exercice 11.(**)

Pour les fonctionsfdenies ci-dessous, calculer l'image deapar l'applicationfet l'ensemble des antecedents debparf.Etudier la surjectivite et l'injectivite de l'applicationf. Sifest bijective, expliciter son application reciproquef1.

1.f:Rn f1g !Rn f1g; x7!xx1;a= 2;b=12

2.f:R![1;1]; x7!11 +x2;a=1;b= 0.

3.f:R+!]0;1]; x7!11 +x2;a= 0;b= 1.

Exercice 12.(**)

Les applications suivantes sont-elles injectives, surjectives, bijectives? Justiez. Precisez l'applica-

tion reciproque en cas de bijectivite. f 1:R!R x7!exf2:R+!R x7!3x2 g

1:Rn f3g !Rn f2g

x7!2x+ 3x3g

2: ] 1;1[!R

x7!ln(1x) h

1:R+![1;+1[

x7!5x21h

2: ]3;+1[!R

x7!1x3 j 1:N!N n7!n2j2:J1;nK!J1;nK k7!n+ 1k k 1:N!N n7!2nk

2:N!2N(entiers pairs)

n7!2n

Exercice 13.(*)

Soitf:N!R

k!2k+ 1 fest-elle injective? surjective? bijective?

Exercice 14.(*)

Soita2Retf: ]a;+1[!R,x7!1xa.

Montrer quefest bijective de ]a;+1[ sur ]0;+1[ et determinerf1.

Exercice 15.(*)

Montrer que l'applicationf: [0;2[[]2;+1[!]1;0][]1;+1[ denie parf(x) =x2x

24est bijective.

Determinerf1.

Exercice 16.(***)

On posef: ]0;+1[!R+la fonction denie parf(x) =x+1x etgla restriction defa [1;+1[, c'est a dire la fonctiong: [1;+1[!R+denie parg(x) =x+1x Montrer quefn'est pas injective, puis quegest injective mais pas surjective.

Indication :x+1x

=x2+ 1x

Exercice 17.(*)

Soit l'applicationf:N!Ndenie par

f(x) =x=2 sixest pair xsixest impair fest-elle injective? surjective? 3

Exercice 18.(**)

On denit la fonctionfsurRpar, pour toutx2R,f(x) =exex2 . Montrer quefrealise une bijection deRsur un intervalle a preciser et determinerf1.

Exercice 19.(**)

Pour quelles valeurs den2N, l'applicationfdenie deRdansRparf(x) =xnest-elle injective? bijective?

Exercice 20.(**)

SoientEun ensemble

1. Mon trerque l'ap plicationf:R2!R2, denie parf(x;y) = (x+y;xy) pour tout (x;y)2R2, est bijective et determiner son application reciproque. 2. L'application g:R2!R, denie parg(x;y) = 2x+ypour tout (x;y)2R2, est-elle injective ou surjective? Exercice 21.Application denie sur l'ensemble des parties(*) 1. Soit Eun ensemble et soitfune application deEdansEveriantff=IdE(on dit alors quefest uneinvolution). Montrer quefest bijective et determiner son application reciproque. 2.

Soit Eun ensemble et soit :g:P(E)! P(E)

A7!A:

Montrer quegest bijective et determinerg1.

Exercice 22.(*)

Soitf:Cn fig !Cn figl'application denie par :

8z2Cn figf(z) =iz+ 1z+i

Montrer quefest bijective et determiner son application reciproque.

Exercice 23.(**)

Soitf:R!Cl'application denie par

8t2R; f(t) = exp(it):

Cette application est-elle injective? Surjective? Comment pourrait-on restreindre son ensemble de denition et son ensemble image pour qu'elle soit bijective?

Exercice 24.(**)

Soitf:C!Cl'application denie par :

8z=x+iy2C; f(z) =ez:=exeiy:

Cette application est-elle injective? Surjective?

Exercice 25.(**)

Decrire l'image directe deRpar la fonction exponentielle. Determiner l'image reciproque de l'in- tervalle [1;4] par la fonctionf:x!x2denie surR.

Exercice 26.(***)

Soitf:E!Fune application. Montrer que :

1.finjective() 8A2 P(E),A=f1(f(A)).

2.fest surjective() 8B2 P(E),f(f1(B)) =B.3. Applications : Composition

Exercice 27.(*)

On notef,g:R!R, les applications denies, pour toutx2Rpar f(x) = 1 +x g(x) =x2

Preciserfgetgf. A-t-onfg=gf?

Exercice 28.(**)

SoientE,F,GetHquatre ensembles etf:E!F,g:F!Geth:G!H. On suppose que gfethgsont bijectives. Montrer quef,gethsont bijectives.

Exercice 29.Composees successives(*)

Soitf:R!R; x7!p1 +x2. Pour tout entiern1, on note :fhni=ff f(composee successive denfonctionsf). Determinerfh2ietfh3i. Conjecturer une expression defhni, et prouver la conjecture.

Exercice 30.Composee et bijection(*)

Soitfl'application denie, pour toutxdeR f1g, parf(x) =1x1 +x: Determinerffet en deduire quefest une bijection deR f1gversR f1g.

Exercice 31.Composee et bijection 2(*)

Soitf:R2!R2

(x;y)!(2xy;yx)etg:R2!R2 (x;y)!(x+y;x+ 2y) 1.

D eterminerfg, puisgf.

2. Que p eut-onen d eduire?4. Pour aller plus loin...

Exercice 32.(***)

On pose :F(R;R)! F(R;R) qui a toute fonctiongassocie la fonctionhg:R!Rtelle que pour toutx2R,hg(x) =g(x+ 1). 1.

Que v aut( idR)?

2. est-elle injectiv e? 3. est-elle surjectiv e? 4.

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