Exercice 9 E F f E F A E A TD n 3 : Ensembles et applications

BIJECTIVEPROOF PROBLEMS

BIJECTIVEPROOF PROBLEMS August 18,2009 Richard P Stanley The statements in each problem are to be proved combinatorially, in most cases by exhibiting an explicit bijection between two sets

Applications injectives, surjectives et bijectives

Soit f une application de E dans F On dit que f est une bijection pour exprimer que f est à la fois une injection et une surjection, ce qui se traduit par : quel que soit y dans F il existe un unique x F tel que f x y 2°) Exemple f: x x3 est une bijection de dans La bijection réciproque est l’application g: x 3 x (voir plus loin)

A direct bijective proof of the hook-length formula

A direct bijective proof of the hook-length formula 57 5 1 2 3 4 3 5 Fig 6: An example of an application of Algorithm P Example 4 1 We give in Figure

A Bijective String Sorting Transform

Second, since the algorithm is bijective, it is more adequate for application in which the compressed data is encrypteda non-bijective transform necessarily reveals information to the attacker Finally, some may appreciate the elegance in bijectiveness and in the details of the de nition of the transform

A White-Box DES Implementation for DRM Applications

Mixing Bijection A mixing bijection is a bijective at which attempts to maxi-mize the dependency of each output bit on all input bits (Clearly, it is invertible and the inverse is also an at ) In des, for example, the permutations, represented as ats, have very sparse matrices (one or two 1-bits per row or column) In order to diﬀuse information

TD 9 Ensembles et applications - Mathématiques en ECS1

Montrer que f est bijective et d eterminer son application r eciproque 2 Soit E un ensemble et soit : g : P(E) P(E) A 7A: Montrer que g est bijective et d eterminer g 1 Exercice 22 (*) Soit f : Cnf igCnfigl’application d e nie par : 8z 2Cnf ig f(z) = iz + 1 z + i Montrer que f est bijective et d eterminer son application r eciproque

Exercice 9 E F f E F A E A TD n 3 : Ensembles et applications

Exercice 27 Soient Eet F deux ensembles et h: E→ Eune application Montrer que h2 bijective implique hbijective puis montrer que s’il existe n∈ N⋆ tel que hn est bijective, alors hest bijective Exercice 28 On considère quatre ensembles A,B,C et D et des applications f : A→ B, g: B→ C, h: C→ D Montrer que : g f et h gsont

Théorème de la bijection : exemples de rédaction

ECE1-B 2015-2016 Théorème de la bijection : exemples de rédaction Lebutdecetteﬁcheestdefaireunpointsurlethéorèmedelabijection Après un retour sur l

Chapitre 2 Les Similitudes

une application f: → qui à un complexe z d’image ponctuelle M associe l’affixe de f(M) f s’appelle écriture complexe de f Définition 2 : Une application f est dite bijective lorsque tout point du plan admet un et un seul antécédent par f Une application bijective du plan dans lui-même s’appelle une transformation

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Lycée JoffreAnnée 2016-2017

PCSI 1. Feuille 3

TD n

◦3 : Ensembles et applications1.Relations entre ensemblesExercice 1SoitEun ensemble. Montrer par un raisonnement direct puis

par contraposée l"assertion suivante : ?(A,B)? P(E)2,(A∩B=A?B)?A=B, Exercice 2SoitEun ensemble. Montrer par un raisonnement direct et par con- traposée l"assertion suivante : ?(A,B,C)? P(E)3(A∩B=A∩CetA?B=A?C)?B=C.

Exercice 3Soit(A,B)? P(E)2, montrer que

E\(A?B) = (E\A)∩(E\B)etE\(A∩B) = (E\A)?(E\B).

Exercice 4Montrer que{z?C,|z+i|=|z-i|}=R.

2.Images directe et réciproque par une applicationExercice 5Soit l"application deRdansR,f:x?→x2.

1. Déterminer les ensembles suivants :

2. Déterminer les ensembles suivants :

f f -1(]-∞,1]?[2,+∞[). Exercice 6Soitf:R→R,x?→2x2+3. Déterminerf-1([0,+∞[),f-1(]-∞,-3]) etf([-2,4]).

Exercice 7Soitf:?

R→R

x?→1

1 +x2.

Déterminerf([0,1]),f([-3,1[)etf-1(?1

4,1?).

Exercice 8SoientEetFdes ensembles etf:E→Fune application. SoitB?F. Montrer quef?f-1(B)??Bet qu"en général, il n"y a pas

égalité (donner un contre-exemple).

Exercice 9SoientEetFdes ensembles etf:E→Fune application. Soit A?E, montrer queA?f-1(f(A))et qu"en général, il n"y a pas égalité (donner un contre-exemple). Exercice 10SoientEetFdeux ensembles etf:E→Fune application. Soient

AetBdeux sous-ensembles deE.

1. Montrer quef(A∩B)?f(A)∩f(B)et donner un exemple où il n"y a pas

égalité.

2. Montrer quef(A?B) =f(A)?f(B).

Exercice 11SoientEetFdeux ensembles etf:E→Fune application. Soient

AetBsont deux sous-ensembles deF.

1. Montrer quef-1(A∩B) =f-1(A)∩f-1(B).

2. Montrer quef-1(A?B) =f-1(A)?f-1(B).

3.Détermination des propriétés d"une fonction

Exercice 12Soitf: [1,+∞[→[0,+∞[telle quex?→x2-1.fest-elle bijective ?Exercice 13Soitn?N?. Déterminer l"image defn:?R+?→R x?→xnln(x).

Exercice 14Soitf:]-1,1[→R,x?→ln?

1-x 1+x? . Est-elle injective? surjective?

Exercice 15Soitf:?R2-→R2

(x,y)?-→(x-2y,2x+ 3y).

1. Montrer quefest bijective.

2. SoitΔ =?(x,y)?R2,2x+y= 1?. Déterminerf(Δ)etf-1(Δ).

Exercice 16Soitf:?N→N

x?→x+ 1etg:???N→N x?→?0six= 0 x-1six?1

1. Ces fonctions sont-elles injectives? surjectives?

2. Préciserg◦fetf◦g.

Exercice 17Soitf: [0,1]→[0,1]telle quef(x) =? xsix?Q,

1-xsinon.

Démontrer quef◦f=id. Que peut-on en déduire surf?

Exercice 18L"applicationf:?Z-→Z

(n,m)?-→(n+m,n-m)est-elle injective? surjective?

4.Bijection induite et réciproque

Exercice 19On considère l"applicationf:?[2,+∞[→R x?→⎷ x2-4x+ 8Montrer quefest injective. En dé- duire quefinduit une bijection˜fsur un intervalle qu"on précisera et préciser la bijection réciproque de˜f.

Exercice 20Soit la fonctionf:?

R\ {2} →R

x?→3x+ 5 x-2. Montrer que f induit une bijection d"une partieAdeRdans une partieBdeR. On notehla fonction induite, donner une expression de sa bijection réciproque.

Exercice 21Soitf:R→Rdéfinie parf(x) =2x

1 +x2.

1.fest-elle injective ? surjective ?

2. Montrer quef(R) = [-1,1].

3. Montrer que la restrictiong:?[-1,1]-→[-1,1]

x?-→f(x). est une bijection.

4. Retrouver le résultat des deux questions précédentes en étudiant les variations

def.

Exercice 22Soitf:?R+?×R+?-→R+?×R+?

(u,v)?-→? uv,u v?

Montrer quefest

bijective et déterminerf-1. Exercice 23Soitf:C2→C2,(z,z?)?→(2z+z?,3z-z?).Vérifier quefest bijective et donner l"expression def-1. Exercice 24(??) Soitf:R→Rdéfinie parf(x) =x1+|x|

1. Montrer quefinduit une bijection deRvers]-1,1[.

2. Déterminer, poury?]-1,1[, l"expression def-1(y).

5.Exercices théoriques

Exercice 25(?) Soitf:N→Nsurjective telle que?n?N,f(n)?n, montrer quef(0) = 0.Exercice 26On considère quatre ensemblesA,B,CetDet des applica- tionsf:A→B,g:B→C,h:C→D.

1. Montrer queg◦finjective?finjective,

2. Montrer queg◦fsurjective?gsurjective.

Exercice 27SoientEetFdeux ensembles eth:E→Eune application. Montrer queh2bijective impliquehbijective puis montrer que s"il existen?N?tel quehn est bijective, alorshest bijective. Exercice 28On considère quatre ensemblesA,B,CetDet des applicationsf:

A→B,g:B→C,h:C→D. Montrer que :?g◦feth◦gsont bijectives???f,gethsont bijectives?.

Exercice 29SoientAf-→Bg-→Ch-→A. Montrer que sih◦g◦fetg◦f◦hsont injectives etf◦h◦gsurjective alorsf,gethsont bijectives. Exercice 30Soientf,g:R→Rdeux applications eth:?R→R2 x?→(f(x),g(x))

1. Montrer que sifetgsont injectives, alorshest injective.

2. On supposefetgsurjectives.hest-elle surjective?

Exercice 31(? ? ?) SoitEun ensemble.

1. Montrer qu"il existe une injectionE→ P(E).

2. Soientf:E→P(E)etA:={x?E,x /?f(x)}. Montrer queA /?Im(f). En

déduire qu"il n"existe pas de bijectionE→ P(E).Exercice 32SoientEetFdeux ensembles etf:E→Eune application

telle quef=f◦f◦f. Montrer que finjective?fsurjective.Exercice 33SoientEetFdeux ensembles etf:E→Eune application telle quef◦f◦f=IdE, montrer quefest bijective et donner une expression def-1. Exercice 34SoientEetFdeux ensembles etf:E→Fune application, montrer que finjective???(A,A?)? P(E)2,f(A∩A?) =f(A)∩f(A?)?. Exercice 35(?) SoientA,Bdeux parties non-vides deE, on définit la fonction suivante: f:?P(E)-→ P(E)

X?-→(X∩A,X∩B)

Montrer que :

finjective?A?B=E. Exercice 36(??) SoitEetFdeux ensembles etf:E→Fune application, on dit quefadmet un inverse à gauche s"il existef:F→Etelle queg◦f=idE.

1. Montrer que sifadmet un inverse à gauche alors elle est injective.

2. Montrer la réciproque.

Exercice 37Soitf:X→Y. Montrer que pour toutB? P(Y),f(f-1(B)) =

B∩f(X).

Exercice 38SoientXetYdeux ensembles etf:X→Yune application. Montrer l"équivalence : fsurjective? ?B? P(Y),f(f-1(B)) =B. Exercice 39SoientXetYdeux ensembles etf:X→Yune application. Montrer l"équivalence : finjective? ?A? P(X)2f-1(f(A)) =A. Exercice 40(?) SoientXetYdeux ensembles etf:X→Yune application.

Montrer l"équivalence :

fest bijective? ?A? P(X)f(X\A) =Y\f(A). Exercice 41(??) SoientXetYdeux ensembles etf:X→Yune application.

On noteΦf:?P(X)-→P(Y)

A?-→f(A). Montrer que :

fest injective?Φfest injective. Exercice 42(??) Soitf:X→Y. On noteΨf:?P(Y)-→P(X)

B?-→f-1(B),

montrer que : fest surjective?Ψfest injective. Memo Comment montrer une inclusionE?F? Prendre un élément deEet montrer qu"il appartient àF. Comment montrer que deux ensembles sont égaux? -Procéder par double inclusion -Raisonner par équivalence. Comment déterminer l"image réciproque d"un ensemble ? Appliquer la défini- tion: déterminer les antécédents des éléments de l"ensemble. Comment déterminer l"image d"une fonction/ d"un ensemble? -Chercher pour quel(s)Yl"équationf(X) =Yadmet des solutions -Dresser son tableau de variations (dans le cas d"une fonction deRdansR) Comment déterminer si une fonction est surjective? -Déterminer si l"équationf(X) =Yadmet des solutions -Exhiber un élément qui ne possède pas d"antécédent -Dresser le tableau de variations Comment déterminer si une fonction est injective? -Prendre deux éléments ayant même image et déterminer s"ils sont néces- sairement égaux. -Trouver deux éléments distincts ayant même image -Déterminer ses variations (si c"est une fonction deRdansR)

Comment savoir si une fonction est bijective?

-Étudier l"équationf(X) =Y -Exhiber l"inverse de la fonction -Étudier l"injectivité et la surjectivité Comment déterminer la bijection réciproque d"une fonction? Résoudref(X) =

Yc"est-à-dire exprimerYen fonction deX.

Comment montrer qu"une fonction induit une bijection? -Étudier l"équationf(X) =Y -Dresser le tableau de variations

Indications

3Procéder par équivalence pour les deux égalités.

4Raisonner par équivalence.

8Traduire ce que l"on peut dire d"un élémentx?f?f-1(B)?, afin de montrer qu"il

appartient àB.

9Soitx?A, que devez-vous vérifier pour affirmer qu"il appartient àf-1(f(A))?

10Raisonner par double inclusion pour l"égalité.

11Raisonner par double inclusion pour les deux égalités.

13Une petite étude de fonction?

14Étudier l"équationf(x) =a.

151. Montrer que le systèmef(x,y) = (a,b)admet une unique solution.

2. Raisonner par équivalence.

18Résolvez le systèmef(n,m) = (a,b).

19On peut se souvenir qu"une application corestreinte à son image est surjective.

20Déterminer pour quelles valeurs deal"équationf(x) =aadmet une unique

solution et donner, quand elle existe, l"expression de la solution en fonction dea.

211. Montrer que l"équationf(x) =yadmet parfois 2 solutions et parfois au-

cune.

2. Montrer que l"équationf(x) =yadmet au moins une solution siydans[-1,1].

3. Montrer que pour toutydans[-1,1], l"équationf(x) =yadmet une unique

solution dans[-1,1].

4. Dériverf.

22Étudier l"équationf(x,y) = (a,b)et montrer qu"elle admet une unique solution

(que vous exprimerez en fonction deaetb)

23Étudier l"équationf(z,z?) = (a,b)et exprimer son unique solution en fonction

deaetb.

24Résoudre l"équationf(x) =apar disjonction de cas, en remarquant quexeta

sont toujours de même signe.

25Étudier un antécédent de0.

26Revenir à la définition de injective et surjective.

27Écrirehn=h◦hn-1=hn-1◦het utiliser l"exercice 26.

28Raisonner par double implication en utilisant l"exercice 26

29Utiliser l"exercice 26

301. Montrer queh(x) =h(y)impliquex=y.

2. Que se passe-t-il sif=g?

311. Penser à l"application qui à un élément associe le singleton.

2. Procéder par disjonction de cas.

32Raisonner par double implication.

33Il suffit de remarquer qu"il existegtel queg◦f=f◦g=id.

34Raisonner par double implication en utilisant l"exercice 10.

35Montrer que siA?B?=E, alors∅a deux antécédents distincts.

361. Supposer qu"il existe(a,b)tel quef(a) =f(b)et appliquerg.

2. Pour touty?Im(f), on peut définirg(y)comme l"unique antécédent deypar

37Raisonner par double inclusion.

38Utiliser l"exercice 37.

39Raisonner par double implication.

40Raisonner par double implication, on montrera l"injectivité puis la surjectivité

pour la bijectivité.

41Raisonner par double implication et double inclusion.

quotesdbs_dbs13.pdfusesText_19

[PDF] Exercice 9 E F f E F A E A TD n 3 : Ensembles et applications

Lycée JoffreAnnée 2016-2017

PCSI 1. Feuille 3

Exercice 3Soit(A,B)? P(E)2, montrer que

Exercice 4Montrer que{z?C,|z+i|=|z-i|}=R.

2.Images directe et réciproque par une applicationExercice 5Soit l"application deRdansR,f:x?→x2.

1. Déterminer les ensembles suivants :

2. Déterminer les ensembles suivants :

Exercice 7Soitf:?

R→R

1 +x2.

Déterminerf([0,1]),f([-3,1[)etf-1(?1

4,1?).

égalité (donner un contre-exemple).

AetBdeux sous-ensembles deE.

1. Montrer quef(A∩B)?f(A)∩f(B)et donner un exemple où il n"y a pas

égalité.

2. Montrer quef(A?B) =f(A)?f(B).

AetBsont deux sous-ensembles deF.

1. Montrer quef-1(A∩B) =f-1(A)∩f-1(B).

2. Montrer quef-1(A?B) =f-1(A)?f-1(B).

3.Détermination des propriétés d"une fonction

Exercice 14Soitf:]-1,1[→R,x?→ln?

Exercice 15Soitf:?R2-→R2

1. Montrer quefest bijective.

2. SoitΔ =?(x,y)?R2,2x+y= 1?. Déterminerf(Δ)etf-1(Δ).

Exercice 16Soitf:?N→N

1. Ces fonctions sont-elles injectives? surjectives?

2. Préciserg◦fetf◦g.

1-xsinon.

Exercice 18L"applicationf:?Z-→Z

4.Bijection induite et réciproque

Exercice 20Soit la fonctionf:?

R\ {2} →R

Exercice 21Soitf:R→Rdéfinie parf(x) =2x

1 +x2.

1.fest-elle injective ? surjective ?

2. Montrer quef(R) = [-1,1].

3. Montrer que la restrictiong:?[-1,1]-→[-1,1]

4. Retrouver le résultat des deux questions précédentes en étudiant les variations

Exercice 22Soitf:?R+?×R+?-→R+?×R+?

Montrer quefest

1. Montrer quefinduit une bijection deRvers]-1,1[.

2. Déterminer, poury?]-1,1[, l"expression def-1(y).

5.Exercices théoriques

1. Montrer queg◦finjective?finjective,

2. Montrer queg◦fsurjective?gsurjective.

1. Montrer que sifetgsont injectives, alorshest injective.

2. On supposefetgsurjectives.hest-elle surjective?

Exercice 31(? ? ?) SoitEun ensemble.

1. Montrer qu"il existe une injectionE→ P(E).

2. Soientf:E→P(E)etA:={x?E,x /?f(x)}. Montrer queA /?Im(f). En

X?-→(X∩A,X∩B)

Montrer que :

1. Montrer que sifadmet un inverse à gauche alors elle est injective.

2. Montrer la réciproque.

B∩f(X).

Montrer l"équivalence :

On noteΦf:?P(X)-→P(Y)

A?-→f(A). Montrer que :

B?-→f-1(B),

Comment savoir si une fonction est bijective?

Yc"est-à-dire exprimerYen fonction deX.

Indications

3Procéder par équivalence pour les deux égalités.

4Raisonner par équivalence.

8Traduire ce que l"on peut dire d"un élémentx?f?f-1(B)?, afin de montrer qu"il

9Soitx?A, que devez-vous vérifier pour affirmer qu"il appartient àf-1(f(A))?

10Raisonner par double inclusion pour l"égalité.

11Raisonner par double inclusion pour les deux égalités.

13Une petite étude de fonction?

14Étudier l"équationf(x) =a.

151. Montrer que le systèmef(x,y) = (a,b)admet une unique solution.

2. Raisonner par équivalence.

18Résolvez le systèmef(n,m) = (a,b).

19On peut se souvenir qu"une application corestreinte à son image est surjective.

20Déterminer pour quelles valeurs deal"équationf(x) =aadmet une unique

211. Montrer que l"équationf(x) =yadmet parfois 2 solutions et parfois au-

2. Montrer que l"équationf(x) =yadmet au moins une solution siydans[-1,1].

3. Montrer que pour toutydans[-1,1], l"équationf(x) =yadmet une unique

Comment savoir si une fonction est bijective?