Linear and Affine Approximation: The First Two Terms in a
some linear function L : V → W such that ℓ(x) = L(x − x0) + y0 for every x ∈ V Remember our general definition of a function Definition 4 Given two sets X and Y, a function is a rule or correspondence which assigns to each x ∈ X a unique y ∈ Y Definition 5 Given a function f : X → Y, the graph of f is the set {(x,y) : y = f(x)}
Some approximation theorems in Math 522 I Approximations of
II The Weierstrass approximation theorem Theorem Let fbe a continuous function on an interval [a,b] Then f can be uniformly approximated by polynomials on [a,b] In other words: Given ε>0 there exists a polynomial P (depending on ε) so that max x∈[a,b] f(x)−P(x) ≤ ε Here fmay be complex valued and then a polynomial is a function
DISCRETIZATION AND AFFINE APPROXIMATION IN HIGH DIMENSIONS
DISCRETIZATION AND AFFINE APPROXIMATION IN HIGH DIMENSIONS SEAN LI AND ASSAF NAOR Abstract Lower estimates are obtained for the macroscopic scale of a ne approximability of vector-valued Lipschitz functions on nite dimensional normed spaces, completing the work of Bates, Johnson, Lindenstrauss, Preiss and Schechtman This yields a new approach
1ère Approximation affine
3°) Meilleure approximation affine Calculer une valeur approchée de 5,1 On peut démontrer que la fonction g est la meilleure approximation affine de f en a (en un sens qu’il n’est pas possible de définir au niveau 1ère) La fonction g est appelée la fonction affine tangente associée f en a ou la meilleure approximation affine de f en
1ère S Ex sur lapproximation affine tangente
1ère S Exercices sur l’approximation affine tangente 1 On considère la fonction f x x: 2 1°) Déterminer la fonction affine tangente g associée à f en 1 2°) Recopier et compléter le tableau dans le plan muni d’un repère orthonormé ci-dessous : x 1,1 1,01 1,001 1,0001 f x g x Commenter ce tableau
Convex Optimization selections from Chapter 6
Huber penalty function (with parameter M) < M (þhub(t/) — -M) > M linear growth for large u makes approximation less sensit ve to outliers 1 5 0 5 1 5 0 5 0 5 20 20 1 5 left: Huber penalty for M 1 right: affine function f (t) a + /3t fitted to 42 points tz, (circles) using quadratic (dashed) and Huber (solid) penalty
I
Approximation affine d’une fonction dérivable en un point 1 Approximation affine d’une fonction f en un point a: c’est de trouver une fonction affine g x mx p qui sera a peu prêt-égale la fonction fx au voisinage du point A a,f a ou encore f x mx p On sait que au voisinage A a,f a la courbe C
Kolmogorovs Theorem and Multilayer Neural Networks
eliminate this difficulty We give an approximation ver- sion of Kolmogorov's theorem, where all one-variable functions are finite linear combinations of affine transformations with an arbitrary sigmoidal function (i e , a function a:~ --,- [0,1] with lima (t)= 0 / ~ --OO and lima(t)= 1)
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