Linear and Affine Approximation: The First Two Terms in a
some linear function L : V → W such that ℓ(x) = L(x − x0) + y0 for every x ∈ V Remember our general definition of a function Definition 4 Given two sets X and Y, a function is a rule or correspondence which assigns to each x ∈ X a unique y ∈ Y Definition 5 Given a function f : X → Y, the graph of f is the set {(x,y) : y = f(x)}
Some approximation theorems in Math 522 I Approximations of
II The Weierstrass approximation theorem Theorem Let fbe a continuous function on an interval [a,b] Then f can be uniformly approximated by polynomials on [a,b] In other words: Given ε>0 there exists a polynomial P (depending on ε) so that max x∈[a,b] f(x)−P(x) ≤ ε Here fmay be complex valued and then a polynomial is a function
DISCRETIZATION AND AFFINE APPROXIMATION IN HIGH DIMENSIONS
DISCRETIZATION AND AFFINE APPROXIMATION IN HIGH DIMENSIONS SEAN LI AND ASSAF NAOR Abstract Lower estimates are obtained for the macroscopic scale of a ne approximability of vector-valued Lipschitz functions on nite dimensional normed spaces, completing the work of Bates, Johnson, Lindenstrauss, Preiss and Schechtman This yields a new approach
1ère Approximation affine
3°) Meilleure approximation affine Calculer une valeur approchée de 5,1 On peut démontrer que la fonction g est la meilleure approximation affine de f en a (en un sens qu’il n’est pas possible de définir au niveau 1ère) La fonction g est appelée la fonction affine tangente associée f en a ou la meilleure approximation affine de f en
1ère S Ex sur lapproximation affine tangente
1ère S Exercices sur l’approximation affine tangente 1 On considère la fonction f x x: 2 1°) Déterminer la fonction affine tangente g associée à f en 1 2°) Recopier et compléter le tableau dans le plan muni d’un repère orthonormé ci-dessous : x 1,1 1,01 1,001 1,0001 f x g x Commenter ce tableau
Convex Optimization selections from Chapter 6
Huber penalty function (with parameter M) < M (þhub(t/) — -M) > M linear growth for large u makes approximation less sensit ve to outliers 1 5 0 5 1 5 0 5 0 5 20 20 1 5 left: Huber penalty for M 1 right: affine function f (t) a + /3t fitted to 42 points tz, (circles) using quadratic (dashed) and Huber (solid) penalty
I
Approximation affine d’une fonction dérivable en un point 1 Approximation affine d’une fonction f en un point a: c’est de trouver une fonction affine g x mx p qui sera a peu prêt-égale la fonction fx au voisinage du point A a,f a ou encore f x mx p On sait que au voisinage A a,f a la courbe C
Kolmogorovs Theorem and Multilayer Neural Networks
eliminate this difficulty We give an approximation ver- sion of Kolmogorov's theorem, where all one-variable functions are finite linear combinations of affine transformations with an arbitrary sigmoidal function (i e , a function a:~ --,- [0,1] with lima (t)= 0 / ~ --OO and lima(t)= 1)
Lecture 2 Piecewise-linear optimization
L Vandenberghe EE236A (Fall 2013-14) Lecture 2 Piecewise-linear optimization • piecewise-linear minimization • ℓ 1- and ℓ∞-norm approximation • examples
Monte Carlo Integration - Computer Graphics
Computer Graphics CMU 15-462/15-662, Fall 2016 Monte Carlo Integration
[PDF] approximation linéaire fonction deux variables
[PDF] formule d'approximation
[PDF] english synonyms list pdf
[PDF] paces
[PDF] extraction et séparation d'espèces chimiques exercices
[PDF] extraction separation et identification d'espèces chimiques cours
[PDF] extraction separation et identification d'espèces chimiques
[PDF] une substance constituée de plusieurs espèce chimique est un
[PDF] schéma fécondation terminale s
[PDF] de la fécondation ? la naissance svt 4ème pdf
[PDF] controle de la fecondation a la naissance
[PDF] études de physique débouchés
[PDF] que faire après une licence de physique chimie
[PDF] que faire après une licence de physique
1
1ère S Approximation affine
Mots clefs du chapitre :
- valeur approchée - valeur exacte ; - erreur ; - fonction affine ; - tangente.Ce chapitre répondra (comme ce doit être le cas pour tous les chapitres) aux trois questions suivantes
exprimées en langage familier sous la forme : - D'où ça vient ? - A quoi ça sert ? - Comment ça marche ? Chapitre présentant plus un intérêt théorique que pratique.I. Introduction : approcher un nombre
1°) Calculer ; approcher
Dans les classes antérieures, on a surtout appris à calculer des nombres. Or approcher un nombre est aussi important que de calculer un nombre.Jean Dieudonné, grand mathématicien du XXe siècle, disait que " majorer, minorer, approcher » sont les
activités principales en analyse. Très tôt, on a appris la notion de valeur exacte et de valeur approchée.On insiste bien sur ces deux notions qu'il ne faut pas confondre en mathématiques (alors qu'en physique, on
n'y fait beaucoup moins attention, étant donné que l'on travaille la plupart du temps avec des valeurs
approchées). On apprend alors à travailler avec des valeurs exactes et avec des valeurs approchées.2°) Exemples
On peut penser au nombre . Comment calculer des valeurs approchées de ?Ce problème a suscité des recherches très importantes depuis longtemps (algorithmes d'approximation qu'il
n'est pas possible de présenter en 1ère).On verra en Terminale le problème d'approximation de solutions d'équations que l'on ne sait pas résoudre.
On verra également qu'il arrive parfois que l'on connaisse une fonction uniquement par sa dérivée sans que
l'on puisse expliciter la fonction.Il est néanmoins possible de calculer des valeurs approchées d'images de nombres par cette fonction.
3°) Le but du chapitre
On peut dire en gros que l'approximation consiste à rendre SIMPLE une expression COMPLIQUEE.Plus précisément, l'approximation affine va permettre de réaliser des calculs simplement selon le
schéma : 2Calculer SANS CALCULATRICE un nombre compliqué
Utiliser les dérivées
Formule d'AAT
Calculer un nombre plus simple
II. Fonction affine tangente
1°) Définition
:IfIa fixé.
On suppose que f est dérivable en a.
On note Cf la représentation graphique de f dans un repère. On note T la tangente à Cf au point A d'abscisse a.La fonction affine g dont la représentation graphique est T est appelée la fonction affine tangente associée à f
en a.2°) Formule
T a pour équation 'y f a x a f a .
La fonction g est définie par 'g x f a x a f a .3°) Exemple
Illustration graphique
C a AP MRetenir que :
Chercher la fonction affine tangente revient à chercher l'équation de la tangente. : T y f ' a x a f a g b f b b 3III. Principe de l'approximation affine tangente
1°) Retour sur l'idée de tangente
Intuitivement, au voisinage du point A, la droite T est " proche » de la courbe C. La tangente est la droite qui " colle » le mieux à la courbe autour du point A.On peut " remplacer » au voisinage du point A d'abscisse a la courbe par un morceau de la tangente au point A.
2°) Application
On prend un nombre b " proche » de a.
Lorsque l'on calcule g b, le résultat obtenu est proche de celui de f b. On peut dire que g b est une valeur approchée de f b.On ne sait pas :
- si c'est une valeur approchée par excès ou par défaut. - quelle est l'erreur commise. En tout cas, plus b est proche de a, plus les deux nombres sont proches.Comme g est la fonction affine tangente en a associée à f, lorsque l'on calcule g b, on dit que le nombre
obtenu est la valeur approchée de f b obtenue par approximation affine tangente en a.3°) Meilleure approximation affine
On peut démontrer que la fonction g est la meilleure approximation affine de f en a (en un sens qu'il n'est
pas possible de définir au niveau 1ère).La fonction g est appelée la fonction affine tangente associée f en a ou la meilleure approximation affine
de f en a. IV. Formule générale d'approximation affine tangenteC'est la formule du chapitre à savoir.
C'est celle que l'on appliquera tout le temps.
1°) Formule d'approximation affine tangente à connaître et à appliquer directement
:IfIa fixé.
Si f est dérivable en a, alors pour h " proche » de 0, on a :'f a f a fhah . (Formule d'AAT en a ou au voisinage de a) 4 Recopier le h en rouge (variable tandis que a est fixe dans cette formule). Cette formule dépend évidemment de la fonction f.2°) Démonstration
On a : 'g a h f a hf a .
Donc pour h " proche » de 0, g a h est proche de f a h.3°) Commentaires
Cette formule qui a l'air compliquée est assez simple à comprendre. C'est une formule de développement (d'ordre 1, à deux termes).On peut dire d'une certaine manière que l'on touche ici à ce que l'on appelle le " calcul infinitésimal ».
Si la fonction f est dérivable sur l'intervalle I, alors on peut appliquer la formule d'AAT en tout réel a de I.
V. Application de la formule d'AAT
1°) Mise en application de la formule
On désire calculer l'image d'un nombre décimal proche d'un entier c'est-à-dire que l'on appliquera la formule
d'approximation affine tangente en prenant pour a un entier naturel et pour h un nombre décimal " proche » de
0 (en règle générale, 0,1, 0,01, 0,001...), les nombres a et h étant à choisir convenablement suivant le problème
posé.2°) Exemple
Calculer une valeur approchée de 5,12 SANS CALCULATRICE avec la formule d'AAT.Commentaire Démarche
On définit une fonction. On considère la fonction 2:f x x. On calcule sa dérivée. La fonction f est dérivable sur et x ' 2f x xOn souhaite calculer 25,1 5,1f.
On décompose le nombre 5,1.
5,1 5 0,1
On pose :
5a0,1h (proche de 0).
On écrit la formule d'AAT. Pour h " proche » de 0, on a : 5 5 ' 5f h f hf .On calcule les valeurs numériques. 25 5 25f
' 5 2 5 10f On remplace dans la formule d'AAT. 5 0,1 25 0,1 10f5,1 26f
Avec la calculatrice ou en posant le calcul " à la main », on trouve : 5,12 =26,01. On voit que le résultat trouvé par AAT est vraiment proche de la valeur exacte de 5,12. 5Remarque :
On aurait aussi pu déterminer l'expression de la fonction affine tangente g associée à f en 5 et l'utiliser pour
calculer une valeur approchée de 5,12.3°) Point-méthode
Pour déterminer une valeur approchée d'un nombre par AAT, il faut commencer par définir une fonction f.
On peut ensuite au choix :
- déterminer la fonction affine tangente g associée à f et utiliser cette fonction pour calculer la valeur approchée
- appliquer directement la formule d'ATT en décomposant le nombre.On peut utiliser les 2 méthodes mais en général on préfère appliquer la 2e méthode.
VI. Erreur (ou incertitude)
1°) Notion d'erreur
Lorsque l'on a un nombre x et une valeur approchée x0 de ce nombre, l'erreur est la valeur absolue de la
différence 0x x.Quand on a une valeur approchée d'un nombre, il est intéressant de connaître l'erreur ou un majorant de
l'erreur qui donnera la précision de l'approximation.2°) Illustration graphique
C a AP M erreur 'f a h hf a f a repasser la valeur absolue en rougeVE VA
V.E f a h
V.A. f ' a h f a3°) Erreur pour l'AAT
Graphiquement l'erreur commise est égale à la distance MP. La formule d'ATT ne donne cependant pas de majorant de cette erreur (voir exemples en exercices). : T y f ' a x a f a a h f ' a h f a f a h 6Rappel de définition
On dit que x0 est une valeur approchée d'un réel x à près 0 pour exprimer que 0x x .Exemple :
x0 est une valeur approchée d'un réel x à 410 signifie que 4010x x .
N.B. : l'expression 'f a hf a semble plus compliquée mais elle est en fait plus simple. VII. Intérêt des approximations affines tangentes1°) Calcul mental (cf. IV)
Déterminer SANS CALCULATRICE une valeur approchée de l'image d'un nombre par une fonction.2°) En physique
3°) Méthode d'Euler (voir plus tard)
7En résumé, l'approximation affine tangente consiste à rendre SIMPLE une expression COMPLIQUEE.
Retenir le schéma
Fonction affine AAT Tangente à la courbe
quotesdbs_dbs13.pdfusesText_19