Linear and Affine Approximation: The First Two Terms in a
some linear function L : V → W such that ℓ(x) = L(x − x0) + y0 for every x ∈ V Remember our general definition of a function Definition 4 Given two sets X and Y, a function is a rule or correspondence which assigns to each x ∈ X a unique y ∈ Y Definition 5 Given a function f : X → Y, the graph of f is the set {(x,y) : y = f(x)}
Some approximation theorems in Math 522 I Approximations of
II The Weierstrass approximation theorem Theorem Let fbe a continuous function on an interval [a,b] Then f can be uniformly approximated by polynomials on [a,b] In other words: Given ε>0 there exists a polynomial P (depending on ε) so that max x∈[a,b] f(x)−P(x) ≤ ε Here fmay be complex valued and then a polynomial is a function
DISCRETIZATION AND AFFINE APPROXIMATION IN HIGH DIMENSIONS
DISCRETIZATION AND AFFINE APPROXIMATION IN HIGH DIMENSIONS SEAN LI AND ASSAF NAOR Abstract Lower estimates are obtained for the macroscopic scale of a ne approximability of vector-valued Lipschitz functions on nite dimensional normed spaces, completing the work of Bates, Johnson, Lindenstrauss, Preiss and Schechtman This yields a new approach
1ère Approximation affine
3°) Meilleure approximation affine Calculer une valeur approchée de 5,1 On peut démontrer que la fonction g est la meilleure approximation affine de f en a (en un sens qu’il n’est pas possible de définir au niveau 1ère) La fonction g est appelée la fonction affine tangente associée f en a ou la meilleure approximation affine de f en
1ère S Ex sur lapproximation affine tangente
1ère S Exercices sur l’approximation affine tangente 1 On considère la fonction f x x: 2 1°) Déterminer la fonction affine tangente g associée à f en 1 2°) Recopier et compléter le tableau dans le plan muni d’un repère orthonormé ci-dessous : x 1,1 1,01 1,001 1,0001 f x g x Commenter ce tableau
Convex Optimization selections from Chapter 6
Huber penalty function (with parameter M) < M (þhub(t/) — -M) > M linear growth for large u makes approximation less sensit ve to outliers 1 5 0 5 1 5 0 5 0 5 20 20 1 5 left: Huber penalty for M 1 right: affine function f (t) a + /3t fitted to 42 points tz, (circles) using quadratic (dashed) and Huber (solid) penalty
I
Approximation affine d’une fonction dérivable en un point 1 Approximation affine d’une fonction f en un point a: c’est de trouver une fonction affine g x mx p qui sera a peu prêt-égale la fonction fx au voisinage du point A a,f a ou encore f x mx p On sait que au voisinage A a,f a la courbe C
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Niveau: 1 sciences expérimentales. - COURS DERIVATION page
Pro. Benmoussa Med I. Rappel : 1. : On considère la droite AB passant A 1,2 et B 3,6 . Le coefficient directeur est : BA
BA yy62m2x x 3 1 . Vecteur directeur est : 11uum2. Equation cartésienne de AB est de la forme AA ( aussi BB ABest ou encore : . 2. Vitesse moyenne : Lorsque la vitesse d parcourue par solide en mouvement est exprimée en fonction du temps t. on a la distance dtest d t f t . 1t et 2t est 2 1 2 1d
m 1 2 t 2 1 2 1 d t d t f t f tV t ,tt t t t. Exemple : On suppose que la distance traverser par un solide en mouvement est exprimée en fonction du temps t est 2d t f t 10t tel que dest exprimée en kmet ten h heure . On calcule la vitesse moyenne du solide entre 1t 1h et 1t 2hon a d
m 1 2 m t d 2 d 1 f 2 f 140 10kmV t ,t V 1,2 30 h2 1 2 1 1.0 Remarque : Les physiciens exprime les variation par . Exemple : - les variances entre les abscisses 12x et xest 21x x x . - Les variations entre les ordonnées est 1212y f et yxxf est 21yyy . Les petites variations sont exprimées par d. Exemple : - On considère 21x x hdonc xhet on considère htends vers 0dons ce cas on écrit dx au lieu de x . 3. Approche : Approche n 1 : Un athlète parcours une distance de 5 km en 10 minutes . que représente la grandeur 30 km h
? 30 minutes était suffisante pour remplir un réservoir de volume 3 3m que représente la grandeur 100 min
l ? Niveau: 1 sciences expérimentales. - COURS DERIVATION pagePro. Benmoussa Med Une voiture a parcouru une distance de 200 kmpendant deux heures . que représente la grandeur100 km h
. Une cartouche de chasse a parcourue une distance de 300 m une durée de 48.10 s. que représente la grandeur375 m s
? Approche n 2 : 35 km h . que représente la grandeur 35 km h ? Après 20 sde lancement de remplir un réservoir le débit était 80 min l. 120 km h . que représente la grandeur 120 km h pour la voiture ? 600 m s que représente la grandeur 600 m s pour la balle de chasse ? 300 m s . que représente la grandeur 300 m spour la balle de chasse ? II. f au point 00A x ,f x 0x ou bien le point 0x ) . A. f au point 0x 1. Activité : 360 km h
on suppose que l'accélérationest constante , ceci applique sur le conducteur une poussée horizontale égale son poids tel que son mouvement varie uniformément est déterminé par la fonction horaire 2
td f t 5t tel que treprésente la durée en seconde , td f t représente la distance en mètre parcourue par la voiture après t seconde de départ . Le but est de calculer la vitesse de la voiture après 3 secondes . 1. Quelle est la distance parcourue par la voiture après 10 seconde ? 2. Représenter graphiquement td en fonction de t. 3. Donner la formule qui donne mV 3,3 h 3h . 4. Calculer la vitesse moyenne pour h dans le tableau suivant en m/s . 5. mVquand hdevienne très petit ?
h 1 0,10,010,0010,0001mV 3,3 h ..............................................................................................................
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6. Que représente ce grandeur en physique ? 7. En général on prend 0x 8. On pose : x 3 hécrire la limite précédente en utilisant la variable h. 2. Vocabulaire et notation : Le nombre h0
f(3 h) f(3)limh l ( ou encore x3 f(x) f(3)limx3l est appelé la vitesse instantané de la t3 nombre dérivé au point t3 et on note 3f 'l ou encore df3dxl. On écrit h0
f(3 h) f(3)lim f'(3)h ou encore x3 f(x) f(3)lim f' 3x33. Cas général : On prend 0x au lieu de 3 on obtient : 00
0h0 f(x h) f(x )lim f' xh avec 0f' x est un nombre réel . On pose : 0x x h on obtient : 0xx au lieu de h0 : 0 0 0 00h 0 x x0
f(x h) f(x ) f(x) f(x )lim lim f'(x )h x x. Si la limite est finie on dit que la fonction est dérivable en 0x. 0x . 4. Définition : f est une fonction définie sur un intervalle ouvert I contient 0x ( ou encore 00x ,x ) . f est dérivable au point 0
0 0xx0 f(x) f(x )x limxx l . 00 h0 f(x h) f(x )limh l on note : 0f' xl rivé de f en 0x. ( ou encore ) f est dérivable à droite de 00xd 0 x0 f(x) f(x )x limxx l . 00 h0df(x h) f(x )limh l5. Remarque : 1Vt la vitesse instantanée à instant 1t est
1111h011
d t h d tV t lim f ' tt h t(à condition que la limite est finie ) . Ou encore le nombre dérivé en 1tde la fonction d ( fonction f ) c.à.d. 1 1 1V t d t f t'' Exemple : On suppose que la distance parcourue par un solide en mouvement exprimée en fonction de t est 2d t f t 10t tel que d en km et t e ( heure ) . On calcule la vitesse instantanée du solide en 1t 1h, on a :
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m 1 1 mh 0 h 0 h 0 h 0 22h 0 h 0 h 0 d 1 h d 1 f 1 h f 1limV t ,t h limV 1,1 h lim lim1 h 1 h
10 1 h 1010h 20h lim lim lim10h 20 20hh
m 1 1 mh 0 h 0 h 0 h 0 22h 0 h 0 h 0 d 1 h d 1 f 1 h f 1limV t ,t h limV 1,1 h lim lim1 h 1 h
10 1 h 1010h 20h lim lim lim10h 20 20hh
Conclusion : 1t 1h est 1kmV t 20 h . B. Interprétation géométrique du nombre dérivé t : 1. Activité :
0 0 xA etx ff(xM)xdeux points de la courbe fC . f est une fonction dérivable au point 0x. 1. Donner le coefficient directeur et vecteur directeur de AM . 2. Quand x tend vers 0x , quelle est la position de la droite AM ? déterminer le coefficient T . 3. DonT T . 2. Propriété : f est une fonction dérivable au point 0x. fC sa courbe représentative dans un repère O,i,j
. Le nombre dérivé 0f'(x ) est le coefficient directeur de la droite tangente T à la courbe fC de f au point 00A x ,fx ( le point 0x ). Equation cartésienne de la tangente T à la courbe fC de f au point 00A x ,fx est 0 0 0T :y x x f' x f x 3. Exemple : 1. Trouver équation de la tangente T à la courbe fC de f au point 0x1 avec 2f x 2x. T :y x 1 f ' 1 f 1 ou T :y x 1 4 2 . m4 et vecteur directeur est :u 1,4 1i 4j
A partir du point A1,f1 avec f(1) 2 On construit le point B tel que AB 1i et on construit le point Ctel que BC 4j Niveau: 1 sciences expérimentales. - COURS DERIVATION pagePro. Benmoussa Med
AC est la tangente T à fC au point A. Pour tracer la tangente il suffit de tracer un segment dans les extrémités on met des flèches son milieu est A. C. 1. Af en un point a : une fonction affine g x mx pqui sera a peu prêt-égale la fonction fx au voisinage du point Aa,fa ou encore f x mx p. On sait que au voisinage Aa,fa la courbe fC et la tangente T à fC p . On considère le point Mx,fx de fC la courbe de f, puis le point M'x,y de la tangente T de f au point a. Remarque : Au point Aa,fa la courbe de f et la tangente T de f au point a - Quant xtend vers a ( c.à.d. on pose x a h avec h0 ) dans ce cas le point M tend vers M'; donc les ordonnées de M et M' :f a h y ou encoref a h f a hf' a - Si on pose : x a h on obtient f x x a f' a f a . 2. Définition : f est une fonction dérivable au point a. La fonction u tel que : u:x f(a) x f'aa ( ou encore x a h ; v :ahah f f ' ) est appelée la fonction affine tangente à la fonction f au point a. Quand x est très proche de a le nombre f(a) x 'aaf est un e approximation affine de fx au voisinage de a on écrit : f x f(a) x f'aa . Ou encore le nombre faahf' est approximation affine de f a h au voisinage de zéro on écrit a h af f hfa' avec x a h.
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3. Exemple : Exemple 1 : 1. Trouver une approximation affine du nombre f 1 h avec 2f x x et a1. Correction : f est une fonction dérivable au point 1 avec f' 1 2 approximation affine de f 1 h est : f 1 h hf' 1 f 1 2h 1 . Conclusion :
2f 1 h 1 h 2h 1 . Application du résultat : On prend h 0,001 : f 1,001 f 1 0,001 2 0,001 1 donc f 1 0,0011,002. On vérifie :
21,0011,002001f 1,001donc 1,002 1,002001. Technique de calcule :
21h avec htrès proche de zéro on calcule 2h 1. Exemple 2 : 1. Trouver une approximation affine du nombre 9,002. Correction : On pose f x x et a9 et h 0,002 9,002 f 9 0,002. On calcule le nombre dérivé de f en 9 on a : h 0 x 9 x 9 x 9
f(9 h) f(9) f(x) f(9) x 3 x 3lim lim lim limh x 9 x 9 x3 x9 1lim x3 16x3: f est dérivable au point 9 et le nombre dérivée en 9 est 1f '(9)6. On trouve une approximation affine du nombre 9,002 . On a : a h af f hfa' 9 0,002 9 0,002ff9f' . Donc : f919 0,002 0,0026 par suite 9 0,002 ,00033 33f333. On remarque que 3,00039,00233333 la calculatrice donne : 3,00039,00233315 précision est 83 10 . 4. Remarque : Pour la fonction : 2f x x et a1 on a :
2f 1 h 1 h 1 2h . Pour la fonction : 3f x x et a1 on a :
3f 1 h 1 h 1 3h . Pour la fonction : f x xet a1 on a : hf 1 h 1 h 12 . Pour la fonction : 1fxxet a1 on a : 1f 1 h 1 h1h . III. Dérivabilité à droite et à gauche : A. Le nombre dérivée à droite à gauche :
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1. Activité : f est une fonction définie par :
2 f 2x 1 ;x 1 f 3x ;x x 1x . Calculer : x 1 x 1 f(x) f(1) f(x) f(1)lim ; limx 1 x 1. 2. Vocabulaire : On dit que fest dérivable à droite du point a1 et le nombre dérivé à droite de 1 est df ' 1 2 . On dit que fest une f dérivable à gauche du point a1 et le nombre dérivé à gauche de 1 est gf ' 1 6 . f e au point a1 . 3. Définition : f est une fonction définie sur 00d I ;xx ( à droite de 0x) . f est dérivable à droite de 00xd
0 x0 f(x) f(x )x limxx l . 00 h0df(x h) f(x )limh ld d 0fxl 0x. f est une fonction définie sur 00g ; xI x ( à gauche de 0x) . f est dérivable à gauche de 00xg
0 x0 f(x) f(x )x limxx lU . 00 h0gf(x h) f(x )limh lU 'g g 0fxl 0x. 4. Propriété : f est une fonction définie sur un intervalle ouvert I contient 0x. f est une fonction dérivable au point 0x si et seulement si : f est dérivable à droite de 0xet f est dérivable à gauche de 0x et d0g0f'xx f' . 5. interprétation géométrique du nombre dérivé à droite et à gauche équation de deux demis tangentes : soit
3 2 f x 3 2 ;x 2 f (x 3) 4 ;x x x2on a dg f ' 2 3 et f ' 2 2 équation du demi tangente à droite de 2 est d 0 d 0 0T :y x x f ' x f x avec 0xx . équation du demi tangente à gauche de 2 est g 0 g 0 0T :y x x f ' x f x avec 0xx . Demi tangente en2le pointA 2,3 est un point anguleux
Demi tangente à gauche de 2
Demi tangente à droite 2 de
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6. application : fxx3 "étudier la dérivabilité de f au point 0x3 . 7. : exemple f x x 1 x 2 . à droite de 0x1 on a :
x1limf x f 1 et x1 f x f 1limx1 . donc fC ) à droite du pointM 1,f 1 à gauche de 0x1 on a : x1lim f x f 1 et x1 f x f 1limx1. donc fC admet demi ) à gauche du point M 1,f 1 . 8. points anguleux : le cas où les demis tangentes de même point 00A x ,f x coefficient directeur ) , le point 00A x ,f x est appelé point anguleux . Exemple 1 :le point A 2,3 est un point anguleux . Exemple 2 : le point A 2,0 est un point anguleux . IV. Dérivabilité sur un intervalle : 1. Un intervalle de la forme a,b ou de la forme a,b . Définition : f est une fonction dérivable sur Ia;b si et seulement si f est d dérivable en tout point 0x de I. f est une fonction dérivable sur a;b si et seulement si f est d dérivable sur Ia;b et f est dérivable à droite du point a . V. : 1. Définition : f est une fonction dérivable sur un intervalle I . La fonction gqui relie chaque élément xde I par le nombre f'(x) f et on note : g f' . Ou encore
g :I x g x f ' x g f on note : g f' . Demi tangente en 2 . le point A 2,3 est un point anguleux Niveau: 1 sciences expérimentales. - COURS DERIVATION pagePro. Benmoussa Med
2. Activité : Déterminer f' la fonction dérivée de f sur fD
tel que f x c ; c3. Propriété : f est une fonction dérivable sur un intervalle I et f'sa fonction dérivée sur I . La fonction constante f x c ; c
est dérivable sur I sa fonction dérivée sur I estf' x c ' 0. La fonction identique f x x est dérivable sur I sa fonction dérivée sur I estf' x x ' 1. La fonction constante 2f' x x ' 2x est dérivable sur I sa fonction dérivée sur I est2f' x x ' 2x. La fonction 3f x x est dérivable sur I sa fonction dérivée sur I est 32f' x x ' 3x. La fonction n*f x x n est dérivable surI sa fonction dérivée surI estn n 1f' x x ' nx La fonction 1fxxest dérivable sur I \ 0 sa fonction dérivée surI \ 0 est211f ' x 'xxLa fonction f x x est dérivable sur I 0, sa fonction dérivée sur I 0, est 1f ' x x '2x. VI. La fonction dérivée seconde dérivée nième f . 1. Activité : 1. Donner f' la fonction dérivée de f x x sur
. 2. Est-ce que f' est dérivable sur? 2. Vocabulaire : La dérivée de f' f ( dérivée seconde de f ) . on note 2f (x) ' f"(x) f (x) . Si la fonction 2f est aussi dérivable sur I sa fonction dérivée 2f'x troisième de f e 23f ' f . En général (n 1)fx ( la dérivée de la fonction dérivée n1) et on note
'(n) (n 1)f x f x . 3. Application : 1. Calculer (3)fx pour 5f x x puis pour 21f x x . VII. Les opérations sur les fonctions dérivables : 1. Activité : Soient f et g deux fonctions dérivables en 0x.
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1. Est-ce que la fonction f g est dérivable en 0x ? 2. On suppose que la fonction fg est dérivable sur un intervalle Iet sa fonction dérivée vérifie f' gfg x x x xf g'x
' . on déduit que les fonctions suivantes 2 3 nf et f f f et f f f f et ...f sont dérivables sur I et déterminer leurs fonctions dérivées . 3. On suppose que la fonction g Ig(x I,x) 0 , f et g sont dérivables sur I . montrer que les fonctions 1f et gg sont dérivables sur I , puis déterminer leurs fonctions dérivées . 2. Propriété : Soient f et g deux fonctions dérivables sur I . on a : La fonction f g est dérivable sur I et f g ' x f ' x g ' x . La fonction f est dérivable sur I et f ' x f ' x avec
La fonction f g est dérivable sur I et f g x f' x g x f x g' x ' . La fonction 1 g est dérivable sur Ig(x I,x) 0 et '1 g (x)xg g²(x) ' . La fonction f g est dérivable sur I g(x I,x) 0et f ' x g x f(x)g (x)fxg g²(x)'' . 3. Application : Calculer f' pour les fonctions suivantes : 21 ) f x 7 ; 2 ) f x x ; 3 ) f x 5x ; 4 ) f x 5x7 ; 5 ) f x 3x 5x 7 . VIII. Dérivabilité des fonctions : polynomiales rationnelles - nf x g x fet x etb f ax . A. Dérivabilité des fonctions : polynomiales rationnelles : 1. Propriété : Toute fonction polynomiale est dérivable sur son ensemble de définitionfD
et n n 1 *ax ' nax et n. Toute fonction rationnelle est dérivable sur son ensemble de définition fD . B. Dérivabilité de la fonction nfx : 1. Propriété : f est une fonction dérivable sur un intervalle I. La fonction *nf avecn
est dérivable sur I et on a : n n 1f x nf x f' x' . Si pour tout xde I ; f(x) 0 on a la fonction pfx avec *p
est dérivable sur Iet p p 1f x pf x f' x ' . 2. Exemple : Calculer : g' x pour74g x 2x 5x² x 3 . Correction :
664 7 4 4 4 3( 2x x 3) 7 2x x 3 2x x 3 7 2x x 3g'81x '=' x .
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C. Dérivabilité de la fonction de la forme f ax b : 1. Propriété : f est une fonction dérivable sur un intervalle I , a et bde
. J x tel que ax b I . la fonction g:x g x f(ax b)est dérivable sur J avec : ''x J ; g x f(ax b) ' af (ax b) . 2. Application : On suppose que : sin x ' cos x calcule g x sin 5x 3 . D. Dérivabilité des fonctions de la forme f x . 1. Propriété : f est une fonction strictement positive et dérivable sur un intervalle I . La fonction gxf(x) est dérivable sur un intervalle I avec f '(x)x I: f(x)2 f(x)
' . 2. Exemple : 6x²xg 5x 1 on calcule g' x . On a : 65 626 6 2
5x² 1 '(6x 10x)5x 1 '2 5x² 1 2 x 5
xxx1xx' g IX. Dérivabilité des fonctions trigonométriques : 1. Activité : On considère la fonction f x cos x et g x sin x 1. Montrer que les fonctions f et g sont dérivables en 0x
. 2. Montrer que la fonction g x tan x est dérivable en 0x tel que x k ; k2 . 2. Propriété : La fonction f x cos x est dérivable sur avec f ' x cos x ' sin x . La fonction f x sin x est dérivable sur avec f ' x sin x ' cos x La fonction f x tan x est dérivable sur \ k ; k2 avec 21f (x) (tan(x))cos xou encore 2f (x) (tan(x)) 1 tan x 3. Conséquence : cos ax b ' asin ax b . sin ax b ' acos ax b . tan ax b ' a 1 tan² ax b . 4. Exemple : 36f x 3sin 9x 3 4cos 8x 1 3tan 7x 3 on calcule f ' x . On a :
3625
f x ' 3sin 9x 3 4cos 8x 1 3tan 7x 3 '
3 9cos 9x 3 4 3 cos 8x 1 'cos 8x 1 3 6 tan 7x 3 'tan 7x 3
2 2 527cos 9x 3 12 8sin 8x 1 cos 8x 1 18 7 1 tan 7x 3 tan 7x 3
Niveau: 1 sciences expérimentales. - COURS DERIVATION pagePro. Benmoussa Med Conclusion : 2 2 5f' x 27cos 9x 3 96sin 8x 1 cos 8x 1 126 1 tan 7x 3 tan 7x3 X. Tableau des fonctions dérivées des fonctions usuelles : XI. Operations sur les fonctions dérivées : 'fDDomaine de définition de f' La fonction dérivéef' fDDomaine de définition de f f La fonction f'D
f' x 0 fD f x a f'D f' x 1 fD f x x f'D n1f' x nxfD nf x x*n \ 1 f'D n1f' x nxfD nf x x*n \ 1 f'D 0, 1f ' x2xfD 0, f x x* f'D