Linear and Affine Approximation: The First Two Terms in a
some linear function L : V → W such that ℓ(x) = L(x − x0) + y0 for every x ∈ V Remember our general definition of a function Definition 4 Given two sets X and Y, a function is a rule or correspondence which assigns to each x ∈ X a unique y ∈ Y Definition 5 Given a function f : X → Y, the graph of f is the set {(x,y) : y = f(x)}
Some approximation theorems in Math 522 I Approximations of
II The Weierstrass approximation theorem Theorem Let fbe a continuous function on an interval [a,b] Then f can be uniformly approximated by polynomials on [a,b] In other words: Given ε>0 there exists a polynomial P (depending on ε) so that max x∈[a,b] f(x)−P(x) ≤ ε Here fmay be complex valued and then a polynomial is a function
DISCRETIZATION AND AFFINE APPROXIMATION IN HIGH DIMENSIONS
DISCRETIZATION AND AFFINE APPROXIMATION IN HIGH DIMENSIONS SEAN LI AND ASSAF NAOR Abstract Lower estimates are obtained for the macroscopic scale of a ne approximability of vector-valued Lipschitz functions on nite dimensional normed spaces, completing the work of Bates, Johnson, Lindenstrauss, Preiss and Schechtman This yields a new approach
1ère Approximation affine
3°) Meilleure approximation affine Calculer une valeur approchée de 5,1 On peut démontrer que la fonction g est la meilleure approximation affine de f en a (en un sens qu’il n’est pas possible de définir au niveau 1ère) La fonction g est appelée la fonction affine tangente associée f en a ou la meilleure approximation affine de f en
1ère S Ex sur lapproximation affine tangente
1ère S Exercices sur l’approximation affine tangente 1 On considère la fonction f x x: 2 1°) Déterminer la fonction affine tangente g associée à f en 1 2°) Recopier et compléter le tableau dans le plan muni d’un repère orthonormé ci-dessous : x 1,1 1,01 1,001 1,0001 f x g x Commenter ce tableau
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1ère S Exercices sur l'approximation affine tangente
1 On considère la fonction 2:f x x.
1°) Déterminer la fonction affine tangente g associée à f en 1.
2°) Recopier et compléter le tableau ci-dessous :
x 1,1 1,01 1,001 1,0001 f x g xCommenter ce tableau.
A-t-on besoin de la calculatrice pour calculer les nombres de la troisième ligne ?2 À l'aide de la formule de l'approximation affine tangente d'une fonction au voisinage d'un réel bien choisi,
donner sans calculatrice une valeur approchée des réels suivants :1°)
25,001 2°)
32,001 3°)
31,997
On commencera par définir une fonction.
On ne cherchera pas à évaluer l'erreur.
Comparer avec les résultats fournis par une calculatrice.3 Soit f une fonction définie et dérivable sur telle que pour tout réel x, on a : 21'1f xx et 0 1f.
On admettra qu'une telle fonction existe sans chercher à déterminer l'expression.Calculer une valeur approchée de 0,1f puis de 0,01f par la formule d'approximation affine tangente.
On ne cherchera pas à évaluer l'erreur.
4 Approximations affines tangentes des fonctions de référence en 1
Dans chaque cas, on définit une fonction f par son expression. On demande de donner une valeur approchée de 1f h pour h " proche » de 0 par la formule d'approximation affine tangente.1°) Fonction puissance : nf x x (n est un entier naturel supérieur ou égal à 1)
2°) Fonction inverse : 1f xx
3°) Fonction racine carrée : f x x
Recopier et compléter le tableau pour h " proche » de 0 :1 ...............nh
1.................1h
1 ................h
5 On considère la fonction : f x x.
Déterminer l'approximation affine tangente de 4f h pour h proche de 0.6 On considère la fonction f définie sur ] -1 ; +[ par 1
1f xx et l'on note C sa courbe représentative
dans le plan muni d'un repère orthonormé O, ,i j .On note T la tangente à C au point A(0 ; 1).
Soit M un point de C d'abscisse x et P le point de T qui a la même abscisse que M. O A T C i jM P1°) Établir une équation de T.
2°) Exprimer la distance MP en fonction de x.
3°) Recopier et compléter le tableau ci-dessous en arrondissant au dix-millième.
x 0,02 0,04 0,06 0,08 0,1 MP4°) Démontrer que si 0 0,1x , alors MP 0,01.
Interpréter ce résultat en termes d'approximation affine et d'erreur. x7 On considère la fonction f définie sur par
31f x x et l'on note C sa courbe représentative dans le
plan muni d'un repère orthogonal O, ,i j .On note T la tangente à C au point A(0 ; 1).
Soit M un point de C d'abscisse x et P le point de T qui a la même abscisse que M. O A T C i j M P1°) Établir une équation de T.
2°) Exprimer la distance MP en fonction de x.
3°) Recopier et compléter le tableau ci-dessous en arrondissant au dix-millième.
x 0,02 0,04 0,06 0,08 0,1 MP4°) Démontrer que si 0 0,1x , alors MP 0,04.
Interpréter ce résultat en termes d'approximation affine et d'erreur.8 On considère la fonction3 : f x x.
1°) Déterminer l'approximation affine tangente de 1f h pour h proche de 0.
2°) Démontrer que pour tout réel h, on a :
32 31 1 3 3h h h h .
En déduire que pour tout réel h tel que 0 1h , on a320 1 1 3 4h h h .
3°) Donner de tête une valeur approchée de 31,01 et préciser un majorant de l'erreur.
xRéponses
1 1°) 2 1g x x
Solution détaillée :
2:f x x. Df =
La fonction f est dérivable sur et x ' 2f x x. La fonction g affine tangente associée à f en 1 est définie par : ' 1 1 1g x f x f soit 2 1 1g x x soit 2 1g x xRemarques :
On ne parle pas de la tangente (car inutile).
Dans cet exercice, on réutilise g à la 2e question (on n'utilise pas la formule d'ATT : 'f a h f a hf a ).2°)
x 1,1 1,01 1,001 1,0001 f x 1,21 1,0201 1,0020001 1,00020001 g x 1,2 1,02 1,002 1,0002On constate que pour des valeurs de x proches de 1, les valeurs de f x sont très proches des valeurs de g x.
g simplifie le calcul. Le calcul des nombres de la 3e ligne se fait presque mentalement.2 1°)
25,001 25,01 2°)
32,0018,012 3°)
31,9977,964
Solutions détaillées :
1°) On considère la fonction 2:f x x. Df =
La fonction f est dérivable sur et x ' 2f x x5,001 5 0,001
On pose :
5a0,001h (proche de 0).
Pour h " proche » de 0, on a : 5 5 ' 5f h f hf .25 5 25f
' 5 2 5 10f5,001 5 0,001 ' 5f f f
5,001 25 0,001 10f
5,1 25,01f
2°) On considère la fonction 3:f x x. Df =
La fonction f est dérivable sur et x 2' 3f x x2,001 2 0,001
On pose :
2a0,001h (proche de 0).
Pour h " proche » de 0, on a : 2,001 2 0,001 ' 2f f f .32 2 8f
' 2 12f2,001 2 0,001 ' 2f f f
2,001 8 12 0,001f
2,001 8,012f
3°) On considère la fonction 3:f x x. Df =
La fonction f est dérivable sur et x 2' 3f x x1,997 2 0,003
On pose :
2a0,003h (proche de 0).
Pour h " proche » de 0, on a : 2 2 ' 2f h f hf .32 2 8f
' 2 12f1,997 2 0,003 ' 2f f f
1,997 8 12 0,003f
1,997 7,964f
3 0 1f ; 21'1f xx
Calculons une valeur approchée de 0,1f par la formule d'AAT0,1 0 0,1
On pose :
0a0,1h (proche de 0).
D'après la formule d'AAT appliquée à f en 0, pour h " proche » de 0, on a : 0 0 ' 0f h f hf
0 1f et 21 1' 0 10 1 1f
On a donc : 0,1 1 0,1 1f soit 0,1 1,1f.
Calculons une valeur approchée de 0,01f par la formule d'AAT0,01 0 0,01
On pose :
0a0,01h (proche de 0).
D'après la formule d'AAT appliquée à f en 0, on a : 0,01 1 0,01 1f soit 0,01 1,01f.4 Tableau
Solution détaillée :
1°) On considère la fonction :nf x x. Df =
La fonction f est dérivable sur et x 1'nf x nxD'après la formule d'AAT appliquée à f en 1, pour h " proche » de 0, on a : 1 1 ' 1f h f hf .
1 1 1nf
1' 1 1 1nf n n n
Donc pour h " proche » de 0, on a : 1 1f h nh .2°) On considère la fonction 1:f xx. Df = *
La fonction f est dérivable sur * et x 21'f xxD'après la formule d'AAT appliquée à f en 1, pour h " proche » de 0, on a : 1 1 ' 1f h f hf .
11 11f
21' 1 11f
Donc pour h " proche » de 0, on a : 1 1f h h .3°) On considère la fonction :f x x. Df = +
La fonction f est dérivable sur *
et *x 1'2f xxD'après la formule d'AAT appliquée à f en 1, pour h " proche » de 0, on a : 1 1 ' 1f h f hf .
1 1nh nh
111hh1 12 hh
1 1 1f
1 1' 122 1f
Donc pour h " proche » de 0, on a : 1 12
hf h .5 La formule d'approximation affine tangente en 4 donne : 4 24
hh pour h " proche » de 0.Solution détaillée :
On considère la fonction :f x x. Df = +
La fonction f est dérivable sur *
et *x 1'2f xx Pour h " proche » de 0, on a : 4 4 ' 4f h f hf soit 14 24f h h .Donc pour h " proche » de 0, 4 24
hh . 6 11f xx Df = ] -1 ; +[
1°) La fonction f est dérivable sur Df comme restriction d'une fonction dérivable.
x Df21'1f xx (on applique la formule de dérivée d'une fonction de la forme 1
u)Une équation de T s'écrit ' 0 0 0y f x f .
On a : 10 11 0f et ' 0 1f .
L'équation réduite de T s'écrit donc 1y x .N.B. : On observe graphiquement que la courbe C est située au-dessus de T sur l'intervalle = ] -1 ; +[ ; on
peut bien évidemment démontrer aisément ce résultat algébriquement.2°) Exprimons la distance MP en fonction de x.
MP = 22 2M P1 1 111 11 1 1 1 1
xx xx xy y f x x xx x x x x1x donc 1 0x
On pourrait aussi utiliser la formule MP =
2 2 P M P Mx x y y (distance de deux points dans un repère orthonormé).Comme P Mx x, on peut dire que
2P M P MMPy y y y .
3°)
x 0,02 0,04 0,06 0,08 0,1 MP 0,00392158... 0,0015346... 0,00339622... 0,0059259... 0,0090909...4°) Démontrons que si 0 0,1x , alors MP 0,01.
Si 0 0,1x , alors 20,01x (1).
De plus, si 0x, 1 1x donc 111x (2).
On peut multiplier membre à membre les inégalités (1) et (2) car elles ne comportent que des nombres positifs.
On obtient l'inégalité
2 0,011 x x. Interprétons le résultat précédent en termes d'approximation affine et d'erreur.On a démontre que si 0 0,1x , alors MP 0,01.
On peut dire que si 0 0,1x , alors g x est une valeur approchée de f x à 0,01 près. 731f x x Df =
1°) La fonction f est dérivable sur comme fonction polynôme.
x Df2' 3 1f x x (on applique la formule de dérivée d'une fonction de la forme nu)
Une équation de T s'écrit ' 0 0 0y f x f .
On a :
30 1 0 1f et ' 0 3f.
L'équation réduite de T s'écrit donc 1y x .2°) Exprimons la distance MP en fonction de x.
MP =33 2 3 2
M P3 1 1 3 1 3 3 1 3 1 3y y f x x x x x x x x x x
3°)
x 0,02 0,04 0,06 0,08 0,1 MP 0,0012... 0,00486... 0,0110... 0,0120... 0,0310...4°) Démontrons que si 0 0,1x , alors MP 0,04.
Interpréter ce résultat en termes d'approximation affine et d'erreur.3 2 23 3x x x x
Soit x un réel tel que l'on ait : 0 0,1x .
D'une part, on a alors 3 3 3,1x donc 0 3 4x (1).D'autre part, on a alors 20 0,01x (2).
On peut multiplier membre à membre les inégalités (1) et (2) car elles ne comportent que des nombres positifs.
On obtient l'inégalité 20 3 0,04x x .
Interprétons le résultat précédent en termes d'approximation affine et d'erreur.On a démontre que si 0 0,1x , alors MP 0,04.
On peut dire que si 0 0,1x , alors g x est une valeur approchée de f x à 0,04 près.8 3 : f x x.
1°) Déterminons l'approximation affine tangente de 1f h pour h proche de 0.
La fonction f est dérivable sur et x 2' 3f x x. D'après la formule d'AAT en 1, pour tout réel h proche de 0, on a : 1 1 ' 1f h f hf . Or 1 1f et ' 1 3f donc pour tout réel h proche de 0, on a : 1 1 3f h h .2°) Démontrons que pour tout réel h, on a :
32 31 1 3 3h h h h .
h31 1 3 1h h 3h2 33 1h h 3h2 33h h .
On utilise l'identité remarquable
33 2 2 33 3a b a a b ab b .
Déduisons-en que pour tout réel h tel que 0 1h , on a320 1 1 3 4h h h .
h32 31 1 3 3h h h h .
Donc de manière évidente, si 0 1h , alors 2 33 0h h d'où31 1 3 0h h (1).
D'autre part, h
321 1 3 3h h h h .
Donc si 0 1h , alors 3 4h d'où en multipliant les deux membres de l'inégalité par 2h qui est positif ou
nul, 2 23 4h h h .Donc si 0 1h , alors
321 1 3 4h h h (2).
D'après (1) et (2), on en déduit que pour tout réel h tel que 0 1h , on a320 1 1 3 4h h h .
3°) D'après la formule d'AAT établie au 1°), en prenant 0,01h (considéré comme " proche » de 0),
1 0,01 1 3 0,01f d'où 1,01 1,03f.
D'où 31,01 1,03.
Dans la question 2°), on a établi que pour tout réel h tel que 0 1h , on a320 1 1 3 4h h h soit
2 valeur exacte valeur approchée0 1 1 3 4f h h h .
Donc si 0 1h , l'erreur commise est majorée par 24h. Donc pour 20,01 10h , un majorant de l'erreur commise est de 44 10.Il peut être intéressant de calculer 31,01 à l'aide de la calculatrice et de calculer l'erreur commise pour la valeur
approchée fournie par la formule d'AAT.On voit bien alors que le résultat obtenu est en conformité le résultat qui vient d'être établi à savoir que l'erreur
commise est de 44 10.quotesdbs_dbs13.pdfusesText_19