[PDF] Bienvenue sur Melusine

Suites numériques

Exemple – Les suites (u 2n), (u 2n+1), (u n2) sont extraites de (u n) Si (u n) converge, alors toute suite extraite de (u n) converge, et admet la même limite On a un résultat analogue si (u n) a pour limite +∞ou −∞ Propriété Démonstration – On démontre le résultat dans le cas d’une limite ℓ∈K, les autres cas sont

SUITES NUMERIQUES EXOS CORRIGES - AlloSchool

Cours et exercices de mathématiques M CUAZ SUITES NUMERIQUES EXERCICES CORRIGES Exercice n°1 Les suites (un) sont définies par un = f (n) Donner la fonction numérique f correspondante, indiquer le terme initial de la suite, puis calculer les termes u3 et u8 1) 1 2 2 − + = n n un 2) un n 3n = 2 − 3) cos n 2 n u π = Exercice n°2

Christophe Bertault — Mathématiques en MPSI LIMITE D UNE SUITE

• Suites définies explicitement : Définir une suite (un)n∈Nexplicitement, c’est la définir à l’aide d’une certaine fonc-tion f par une expression « un =f (n)» Avec une telle définition, il n’est pas difficile de calculer u1000, on calcule directement f (1000)

TD 8: suites numériques

Exercice 15 Trouvez deux suites extraites possédant des limites différentes Exercice 16 Montrez-le par récurrence Exercice 17 Appliquez le cours Exercice 18 Appliquez le cours Exercice 19 Appliquez le cours pour déterminer une expression de v n puis passez à la limite Exercice 20 Vous devez trouver γ =2 Exercice 21 Appliquez le cours

NOMBRES RÉELS ET SUITES NUMÉRIQUES 8 A Questionsdecours

Suites extraites d’une suite La notion de valeur d’adhérence est hors programme Théorème de Bolzano-Weierstrass Le théorème de Bolzano-Weierstrass a été démontré mais il est hors programme Si une suite possède une limite (finie ou infinie), alors toutes ses suites extraites possèdent la même limite

MPSI Suites r ecurrentes lin eaires d’ordre 2013

MPSI1 Suites r ecurrentes lin eaires d’ordre 2 2013 D e nition 1 : Soient a, bdans K On suppose b6= 0 Soit une suite (u n) n2N d el ements de K v eri ant u n+2 = au n+1 + bu n; 8n2N (1) On dit que (u n) n2N v eri e une relation lin eaire de r ecurrence d’ordre 2 Proposition 1 : L’ensemble Edes suites (u n)

Exercices dAnalyse Avec Solutions et Rappels de cours pour

Suites extraites et suites monotones Suites adjacentes Théor e mes utiles sur les suites (convergence des suites adjacentes, théor eme de la limite mono- Rappels de cours

1 Séries numériques

Mentionnons également le résultat suivant en lien avec les suites extraites S’il n’aide pas à déterminer la nature d’une suite, il est néanmoins capital et nous le recroiserons au cours de l’année

Bienvenue sur Melusine

(Microsoft Word - 02 Suites r\351elles doc) Author: Ismael Created Date: 4/8/2006 7:30:11

[PDF] montrer que cos n diverge

[PDF] suite extraite convergente

[PDF] sin n 1

[PDF] si u2n et u2n+1 convergent alors un converge

[PDF] montrer que sin n diverge

[PDF] un+1=f(un) exercice

[PDF] ccp maths 1 mp 2003

[PDF] dm polynomes de tchebychev

[PDF] tchebychev metrologie

[PDF] polynômes de tchebychev python

[PDF] heure de vie de classe que faire

[PDF] heure de vie de classe ressources

[PDF] heure de vie de classe seconde

[PDF] 5 2x 2

[PDF] synonyme encadrement personnel

E kÞÝÑuk

ɍE=R E=C

uk k u,vPRNλPR u+v w @nPN,wn=un+vn uˆv h @nPN,hn=unˆvn

λ¨u u1 @nPN,u1n=λ¨un

Ŀ¨ŀ RˆRNÝÑRN

(λ,u)ÞÝÑλ¨u 0 (@u,vPRN,(uˆv= 0RNùñu= 0RNv= 0RN)) u n=$ %0n 1, v n=$ %1n 0 uˆv= 0RN u‰0RNv‰0RN nPN un n

Ŀ ŀ (un)nPN

%u 0=... @nPN,un+1=f(un)

ĕ f ĕ

'''%u 0=... u 1=... @nPN,un+2=f(un,un+1) x n=x+ 1ŀ (un)nPN (un) ðñ@n,pPN,(năpùñunăup)

ðñ @nPN,(unăun+1)

ðñ @nPN,(uněun+1)

(un) ðñ@n,pPN,(năpùñunąup)

ðñ @nPN,(unąun+1)

(un) ðñDaPR,@nPN,un=a

ðñ @nPN,un=un+1

ðñ(un) (un)

u uPRN u ðñtun,nPNu u ðñtun,nPNu

ðñ DmPR,@nPN,uněm

u ðñtun,nPNu

ðñu

uPRN u= (un)nPNPRNv= (vn)nPNPRN @nPN,vn=uφ(n) u @nPN,un= (´1)n v= (vn)nPN= (u2n)nPNPRN 1 w= (u2n+1)nPNPRN ´1 2 v1= (u3n+2)nPN u @εą0,DNPN,@nPN,(něNùñ |un´l| ăε)

|un´l| ăεðñ ´εăun´lăεðñl´εăunăl+εðñunP]l´ε,l+ε[

Ŀ ε (un)nPN

(un)nPNPRNl,l1PR (un)nPN ll1 l=l1 l‰l1 lăl1

ε 0ăεăl1´l

2 l1´l 2 ą0

DNPN,@něN,l´εăunăl+ε

ně(N,N1) l´εăunăl+ε l

1´εăunăl1+ε

(un)nPN l=(un)nPN=u l=nÑ+8un ĕ

Ŀ (un)nPN ŀ Ŀ(un)nPN ŀ

a a a εą0 @ně0|un´a| ăε|un´a|= 0 N

0 @něN,|un´a| ăε

@εą0,DNPN,@něN,|un´a| ăε '''% un=1 n (ně1) u=(1 n nÞÑ1 n 0 N

ăε něN 1

n N

ăε |un|=1

n |un| ăε 0 (un)nPNPRNlPR u

nÝÝÝÝÝÑnÑ+8lðñun´lÝÝÝÝÝÑnÑ+80ðñ |un´l| ÝÝÝÝÝÑnÑ+80

u nÝÝÝÝÝÑnÑ+8lðñ @εą0,DNPN,@něN,|un´l| ăε u n´lÝÝÝÝÝÑnÑ+80ðñ @εą0,DNPN,@něN,|(un´l)´0| ăε

|un´l| ÝÝÝÝÝÑnÑ+80ðñ @εą0,DNPN,@něN,||un´l| ´0| ăε

nÞÑ2´1 n 2 (un)nPN (un)nPN l l NPN @něN|un´l| ă3 @něN u:nÞÑ(´1)n lPR (un)nPN l

ε=1

2 |uN´l| ăε|uN+1´l| ăε |uN+1´uN|= 2

NPN @něN,un=vn (un)nPN lPR

(vn)nPN l

εą0 N1PN @něN1,|un´l| ăε

P=(N,N1) @něP,|vn´l|=|un´l| ăε

@εą0,DPPN,@něP,|vn´l| ăε (vn)nPN l

ðñ(vn)nPN (un)nPNðñ(vn)nPN

φ NN

@kPN,φ(k)ěk

φ(0)ě0φ(0)PN

kPN φ(k)ěk φ(k+ 1)ąφ(k)ěk φ(k+ 1)ąk φ(k+ 1)ěk+ 1 ĕ (un)nPN lPR l (un)nPN l (vn)nPN (un)nPN φ:NÑN @nPN,vn= u

φ(n)

εą0

(un)nPN l NPN @něN,|un´l| ăε kěN φ(k)ěkěN |uφ(k)´l| ăε @εą0,DNPN,@kěN,|vk´l| ăε (un)nPN un= (´1)n $ %(u2n) = 1 (u2n+1) =´1 (un)nPN (un)nPN un=(nπ 2 '''%(u2n) = 0 (u4n+3) =´1 (u4n+1) = 1 (un)nPN (u2k)kPN(u2k+1)kPN ā l (un)nPN l

εą0

KPN @kěK,|u2k´l| ăε

K1PN @kěK1,|u2k+1´l| ăε

@ně(2K,2K1+ 1),|un´l| ăε ně(2K,2K1+ 1) n= 2k|un´l| ăε ā n @εą0,DNPN,@něN,|un´l| ăε (un)nPN l I l I

I lPI εą0 ]l´ε,l+ε[ĂI

(un)nPN(vn)nPN ll1 n0 @ně n

ĕ ĕ ląl1

ε 0ăεăl´l1

2 l1+εăl´ε

NPN @něN,l´εăunăl+ε

N1PN @něN1,l1´εăvnăl1+ε

n

ă2 +1

n nÑ+82´1 n =nÑ+82 +1 n = 2 (un)nPN,(vn)nPN,(wn)nPNPRN v

εą0

NPN @něN,l´εăunăl+ε

N1PN @něN1,l´εăwnăl+ε

M @něM,l´εăvnăl+ε

@εą0,DMPN,@něM,|vn´l| ăε l (un)nPN lPR (|un|)nPN |l| |l| l= 0 (un)nPN,(vn)nPNPRNλPR (un)nPN lPR(vn)nPNl1PR (un+vn)nPN l+l1 (λun)nPN λl (unvn)nPN lˆl1

εą0

NPN @něN,|un´l| ăε/2ε/2ą0

N1PN @něN1,|vn´l1| ăε/2

@εą0,DMPN,@něM,|(un+vn)´(l+l1)| ăε (un+vn)nPN l+l1

λ= 0 0

εą0

NPN @něN,|un´l| ăε/|λ|ε/|λ| ą0 nPN |λun´λl|=|λ||un´l| ă |λ|ε (un)nPN

MPR @nPN,|un| ăM

nPN

Ñ0+|l1||un´l|loooomoooon

Ñ0 (un)nPN (vn)nPNÑ0 (unvn)nPNÑ0 1 u n) 1 l (un)nPN l (|un|)nPN |l| ą0 α 0ăαă |l| PPN @něP,|un| ąα 1 u n) P 1 u n) 1 l něP |1 u n´1 l |=1

α|l||un´l|

looooomooooon Ñ0 1 u n) 1 l (un)nPN I (un)nPN lPI f I f(un)ÝÝÝÝÝÑnÑ+8f(l)

¯R ¯R

¯R=RY t´8,+8u

@xPR,(´8) +x=´8,(+8) +x= +8

´8+ (´8) =´8,+8+ (+8) = +8

@xPR,xă+8,´8 ăx

´8 ă+8

R +8 ´8

u= (un)nPNPRN (un)nPN +8@APR,DNPN,@něN,uněA (un)nPN l,l1P¯R l1ăl l,l1PR

ĕ l1=´8lPR

NPN @něN,unP]l1´1,l1+ 1[

APR Aăl1´1

ně(N,N1) l1PRl= +8l1=´8l= +8 ā ĕ (un)nPN ¯R$ %(un)nPNÑlPR) (un)nPN (un)nPNÑ ˘8,. ¯R (un)nPNÑ ˘8 (un)nPN ˘8

ā lPR

(un)nPNÑlP¯R l

Aą0

(un)nPNÑ ˘8 (|un|)nPNÑ+8 (un)nPNÑ ˘8 λPR (λun)nPNÑ$ '''%˘8λą0

0λ= 0

¯8λă0

(un)nPNÑ+8 (vn)nPN (un+vn)nPNÑ+8

APR (un)nPNÑ+8 NPN @něN,uněA´M

@něN,un+vněA (un)nPNÑ+8 ( 1 u n) 1 u n) +8 (un)nPN rPR @nPN,un=u0+nr @nPN,nÿ k=0u k= (n+ 1)u0+ur 2 r= 0(un)nPN= rą0(un)nPN +8 ră0(un)nPN ´8 (un)nPN qPR @nPN,un=u0qn @nPN,nÿ k=0u k=$ %u

0´un+1

1´qq‰1

(n+ 1)u0q= 1 q= 0(un)nPN 1 q= 1(un)nPN qPRzt0,1u un=qnu0= 1 qą1(un)nPN

0ăqă1(un)nPN

@nPN,un+1´un=qnloomoon

ą0(q´1)loomoon

ą0qą1

ă00ăqă1

ĕ @nPN,un+1´un=qnloomoon

(q´1)loomoon qą1(un)nPN +8

´1ăqă1(un)nPN 0

qą1qn= (1 + (q´1))n= 1 +n(q´1) +¨¨¨ ě1 +n(q´1)1 +n(q´1) +8 qn +8 |q| ă1q‰0|1 u n|=( 1 |q|) nÑ+8 (|un|)Ñ0 (un)Ñ0 u!v 1 n 2!1 n @ně11 n 2=1 n ˆ1 n u!vðñu v 0 u n!nÑ+8vnðñun v nÝÝÝÝÝÑnÑ+80 u!v (εn)nPNpPN @něp,un=εnvn @ně(p,q),un v n=εn 0 un v nÝÝÝÝÝÑnÑ+80 @něq,un=un v nloomoon

Ñ0v

n u!v un=εnε1nloomoon

Ñ0w

n u!w unu1n=εnε1nloomoon

Ñ0v

nv1n uu1!vv1 1 n

2!nÑ+81

n +1 n 2,1 n

3!nÑ+8´1

n ,1 n 2+1 n 3! nÑ+81 n 2( 1 n 2 1 n 2+1 n

3ÝÝÝÝÝÑnÑ+81)

u!vu1!v u+u1!vquotesdbs_dbs24.pdfusesText_30