Suite de Syracuse

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1

On définit la suite (u

n) de la manière suivante : u0 est un entier positif non nul donné. Pour n dans Ր : Ecrire un programme permettant de conjecturer le comportement de la suite pour n suffisamment grand. Tester ce programme avec différentes valeurs de U

0 . Que constatez-vous ?

Remarque

: ce que vous constaterez n"a jamais été prouvé mathématiquement. Il s"agit à l"heure actuelle

d"une conjecture appelée conjecture de Syracuse ou conjecture de Collatz.

Nous proposerons en fin d"exercice une solution avec le tableur de la Graph75 (ou de la Graph 95SD) et une

autre avec le tableur EXCEL® de Microsoft®. 2

Ecriture de l"algorithme

Variables

U0 le terme de rang 0 de la suite

N le rang du dernier terme calculé

K le rang courant

U le terme de rang K de la suite

Initialisation

U0 prend la valeur choisie par l"utilisateur

N prend la valeur choisie par l"utilisateur

Traitement :

Pour K variant de 1 à N

Si U est pair alors

Sinon

U = 3U + 1

Fin du SI

Affiche U

Sortie

Le programme

Initialisation :

Traitement :

Pour tester la parité de U nous allons tester (Vrai ou Faux) l"égalité 5 6

Mise en oeuvre du programme :

On choisit

ݔ୑൩ ΘΗ et N = 30 et on observe qu"à partir du rang 23 on obtient 4,2,1,4,2,1 etc...

Si on change la valeur de

ݔ୑ on retrouve ce résultat à partir d"un certain rang.

Ce résultat reste inexpliqué de nos jours.

Remarque :

Nous avons choisi de calculer les termes de la suite jusqu"à un rang N. Cela permet à

l"utilisateur d"avoir une idée rapide sur la vitesse se convergence vers 4,2,1 ....de la suite de Syracuse.

LE TABLEUR

Il peut être intéressant d"utiliser différents moyens pour traiter ce problème :

Avec la graph Graph75 (ou la Graph 95SD).

Pour ceux qui le souhaitent il faut savoir que la Graph75 (et la Graph 95SD) possède une fonction tableur

qui permet une autre approche de cet exercice.

Ci-dessous vous trouverez deux copies d"écran donnant la formule à utiliser pour traiter ce problème sur la

Graph75 (ou la Graph 95SD).

et le résultat attendu... Et bien évidemment nous pouvons opérer de même sur la nouvelle Fx-CG20. 7

Avec le tableur EXCEL® de Microsoft®.

Cet exercice peut aussi être traité sur EXCEL® de Microsoft® en utilisant la fonction SI et la fonction

EST.PAIR.

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