Maple TD2

1 SUITE DE SYRACUSE On définit la suite (u n) de la manière suivante : u 0 est un entier positif non nul donné Pour n dans ℕ : = 2 =3 +1 ˘ Ecrire un programme permettant de conjecturer le comportement de la suite pour n suffisamment grand

Devoir à la maison n°2 - MathXY

En répétant l’opération, on o tient une suite d'entiers positifs dont haun ne dépend que de son prédécesseur Par exemple, à partir du nombre 5, on construite la suite de Syracuse du nombre 5 : 5, 16, 8, 4, 2, 1, 4, 2, 1, 4, 2, 1 Lothar Collatz énonça une conjecture en 1937 : une suite de Syracuse partant de n'importe quel

TD Info3n: Corrigé

TD Info3n: Corrigé PCSI 2 Lycée Pasteur 20 septembre 2007 Exercice 1 Une petite procédure Maple calculant le rang du premier terme de la suite de Syracuse alanvt 1 :

TP no 1 : À la découverte de Python (exercices 8 à 12)

Correction de l’exercice 11 – La suite de Syracuse, aussi appelée suite de Collatz, fournit une des plus célèbres conjectures non élucidées à ce jour, à l’énoncé particulièrement simple : pour toute valeur initiale n, la suite déﬁnit

Vendredi 14 juin 2013 – de 9h 00 à 13h 00 Deuxième épreuve d

Voici, en exemple, les cinq premiers termes de la suite de Syracuse commençant par 7 : 7 - 22 - 11 - 34 - 17 1 a) Donner les dix premiers termes de la suite de Syracuse dont le premier terme est 3 b) Donner les dix premiers termes de la suite de Syracuse dont le premier terme est 5

Maple TD2 - persocransorg

4 Ecrire une proc edure prenant une s equence en param etre et renvoyant la somme de ses el ements 5 Ecrire a nouveau la proc edure du 2 1 1 avec les r eponses aux questions pr ec edentes 3 4 Suite de Syracuse Par d e nition, la suite de Syracuse est : 8

Corrigés des exercices sur les fonctions récursives

Exercice 7 1 2 Fibonacci Ecrire une fonction qui calcule les valeurs de la série de Fibonacci, déﬁnie par : – u 0 = 0 – u 1 = 1 – u n = u n 1 +u n 2 Ecrivez cette fonction sous forme itérative et sous forme récursive

LANGAGE C Exercices corrigés 1

Exercice 3 : a) Calculez la racine carrée X d'un nombre réel positif A par approximations successives en utilisant la relation de récurrence suivante: XJ+1 = (XJ + A/XJ) / 2 X1 = A La précision du calcul J est à entrer par l'utilisateur b) Assurez-vous lors de l'introduction des données que la valeur pour A est un réel positif et que J

Suites et séries de fonctions - maths-francefr

La suite de fonctions (fn)n∈N converge simplement vers la fonction f sur D si et seulement si pour chaque x de D, la suite numérique (fn(x))n∈N converge vers le nombre f(x) On dit dans ce cas que f est la limite simple sur D de la suite de fonctions (fn)n∈N Exemple 1 Pour x ∈ [0,1]et n ∈ N, on pose fn(x)=xn Si x ∈ [0,1[, lim n

Exercices de base avec Python - IREM de la Réunion

Exercices de base avec Python Résultat du programme avec vérification : >python ' /SecondesEnAmjhms-Python2 py' Nombre de secondes à convertir : 12345678912 Cette durée correspond à 391 années de 365 jours, plus 5 mois de 30 jours, 24 jours, 19 heures, 15 minutes et 12 secondes > Exercices à faire Exercices sur les chaînes de caractères

[PDF] la suite définie

[PDF] la suite du texte "Le bleu qui fait mal aux yeux"

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[PDF] La supercificie de la Terre est environ de 5,1 x 10 puissance 8 km²

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1 Correction des exercices precedents

1.1 Factorielle

1. cf plus bas.

2.fact1 := proc(n)

local x,i; if n < 1 then return NON end if; x:=1; for i from 1 to n do x := x * i; end do; return x; end proc;

3.fact2 := proc(n)

if n < 2 then return 1; else return ( n * fact2(n-1)); end proc;

4.ifactordecompose son parametre en facteurs premiers. Il sut alors de constater qu'un 0

a la n c'est un 10 dans la decomposition, soit 25. Il faut donc compter l'exposant de 5 dans la decomposition en facteurs premiers

1.2 Fibonacci

1.fib := proc(n)

if n < 2 then return 1; else return fib(n-1) + fib(n-2); end proc;

2. Le calcul defib(n)devient de plus en plus long quandnaugmente.

3. En faisant tres attention quand on utilise cette construction...

1; 1; % + %%; % + %%; % + %%; % + %%;

4. Cf cours de math.

5.suites := proc(u0, u1, a, b)

local res1,r1,r2,s,alpha,beta; res1 := solve(r^2-a*r-b=0,r); r1 := res1[1];r2 := res1[2]; if r1 = r2 then s := solve( {u0=alpha+beta, u1=alpha*r1+beta*r1}, {alpha,beta} ); assign(s); RETURN(alpha*r1 ^ n + n*beta*r1^n) else s := solve( {u0=alpha+beta, u1=alpha*r1+beta*r2}, {alpha,beta} ); assign(s); RETURN(alpha*r1 ^ n + beta*r2^n) fi; end;

6. On montre queT(n) suit la m^eme loi de croissance quefib(n), en eet, pour calculerfib(n)

on doit calculerfib(n1) etfib(n2) soit faireT(n1) +T(n2) appels. On a donc

T(n) =T(n1) +T(n2).

2 Programmes et algorithmes

Vous savez deja donner une instruction a Maple. Une instruction est une commande, terminee en general par un;Ceci est, par exemple une instruction : 2*5; On peut aussi mettre plusieurs instructions a la suite, pour faire des choses un peu plus com- pliquees. Un algorithme est la donnee d'une serie d'instructions decrivant comment resoudre un probleme donne (par exemple, calculern!). Cela s'apparente a une recette de cuisine : on decrit la liste des

operations a eectuer pour arriver au resultat, le resultat etant le plat cuisine pour une recette, la

valeur attendue pour un algorithme. Pour decrire un algorithme, on se limite a un certain nombre d'instruction, qui pouront ^etre comprises par l'ordinateur. Toute la diculte est de decomposer le probleme que l'on veut resoudre en petites etapes, chacune devant ^etre comprise par Maple, et leur succession devant aboutir au resultat. En plus des instructions que vous avez vu la derniere fois (appel de fonction, aectation, petits calculs...), Maple fournit divers outils pour denir comment encha^ner ces operations :

1. Les procedures, permettent de regrouper des instructions en fonction d'un ou plusieurs pa-

rametres, pour ensuite pouvoir rappeler ce code autant de fois que necessaire. Par exemple foisdeuxplusun := proc(n) return 2*n+1; end proc;

2. Les bouclesfor, permettent de repeter une serie d'instructions un nombre xe de fois, en

faisant varier un indice indiquant le nombre de fois ou on est passe par la boucle. Par exemple : for i from 1 to n do print(i); print(foisdeuxplusun(i)); end do; Le code entre do et end do est repete pour chaqueicompris entre 1 etn

3. La structureif condition then faireqqch else faireautrechose end if;vous per-

met de tester une condition de d'executer une instruction dierente si elle est vraie ou fausse.

Par exemple

valeurabsolue := proc(x) if x >= 0 then return x; else return -x; end if; end proc;

4. La bouclewhileest un melange de if et de for. Elle s'ecritwhile condition do code end

doet le code est repete tant que condition est vraie. Par exemple : n:= 12; while n > 0 do print(n); n := n - 1; end do;

Va acher les entiers de 12 a 1.

Il est possible de combiner ces constructions :

valeurabsolue := proc(x) if x >= 1 then variable := 1 for i from 1 to x do variable := variable*x end do return foisdeuxplusun(variable); else print "NON !" return -1 end if; end proc;

Quand vous ecrivez un algorithme, il faut re

echir a plusieurs questions :

1. Est-ce que mon algorithme calcule le bon resultat?

2. Est-ce que j'ai un argument pour m'en convaincre?

3. Est-ce que mon algorithme termine? Si vous faites par exemple :

x:= 1; while x > 0 do x := x + 1 end do; Maple va se bloquer, ce calcul est inni. Pourquoi?

4. Si mon algorithme doit terminer, pourquoi est-ce que c'est vrai?

5. Est-ce que mon algorithme est ecace? Vous avez vu qu'il y a plusieurs methodes pour

calculer la suite du Fibonacci, toutes ne sont pas aussi rapides, et parfois le calcul va ^etre trop long.

6. Comment se comporte mon algorithme quand les entrees sont bizarres. foisdeuxplusun(foisdeuxplusun)?

3 Exercices

3.1 Manipulations simples

1. Ecrire deux procedures calculant la somme desnpremiers nombres pairs une fois avec une boucle for et une fois avec une boucle while. 2. Ecrire une procedure prenant en parametre un reelxet un entiernet renvoyantxnavec une boucle for, puis avec une boucle while, puis avec if then else et la recursivite. On rappelle quexn=xxn1.

3.2 PGCD

On rappelle l'algorithme d'Euclide pour le calcul du pgcd, sous forme d'un schema : 3 Programmez le en maple, a l'aide d'une bouclewhile.

3.3 Sequences

En plus des entiers, des procedures ou des

ottants, Maple a un type integre appele sequence. Il sert a regrouper des objets dans une sorte de liste. Par exemple1,2,3,4est une sequence. Vous pouvez acceder auiemeelement d'une sequence a l'aide de[i]. Par exemple :sequence :=0,1,2,3,4,5; sequence[3];. Vous pouvez aussi mettre des sequences bout a bout, en faisantsequence1,sequence2 et les modier a l'aide desubs. 1. Etudier comment fonctionne les fonctionsseq,subsetnops 2. Ecrire une instruction renvoyant une sequence contenant lesnpremiers entiers pairs. 3. Ecrire une procedure prenant une sequence en parametre et renvoyant son plus grand element. 4. Ecrire une procedure prenant une sequence en parametre et renvoyant la somme de ses elements. 5. Ecrire a nouveau la procedure du 2.1.1 avec les reponses aux questions precedentes.

3.4 Suite de Syracuse

Par denition, la suite de Syracuse est :

8< :u

0un entier strictement positif

u n+1= 3un+ 1 siunest impair u n+1=un2 siunest pair 1. Ecrire une fonctionfprenant en argumentunet renvoyantun+1

2. Tester la fonctionfen calculant les 4 premiers termes de la suite denie paru0= 4.

3. Que se passe-t-il si a un momentun= 1?

4. On appelle orbite d'un entier positifu0la sequence formee paru0;u1;:::;unavecnle premier

indice pour lequelun= 1.Ecrire une procedure prenantu0et donnant son orbite.

5. Il n'est pas evident que cette fonction termine, c'est en fait encore un probleme ouvert.

Ecrire

une procedure qui prend en parametrenet verie pouru02[1::n] calcule la taille maximale des orbites (utilisez la fonctionnops). 6. Ecrire une procedure eectuant le trace d'un orbite en joignant les points (k;uk). Utiliser les fonctions plot et seq. 4quotesdbs_dbs8.pdfusesText_14

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