Mathématiques et tableur au lycée : Le problème du duc de Toscane
Le problème du duc de Toscane(*) Virginie Maitrot(**) L’activité qui suit a été utilisée avec des classes de Première L en 2001 car la simulation était au programme de math-info cette année-là La simulation étant maintenant traitée en classe de Seconde, elle a disparu du programme de Première (à partir de septembre 2001) Cette
Le problème du Grand Duc de Toscane
Le problème du Grand Duc de Toscane Les jeux de dés sont non seulement les ancêtres étymologiques des probabilités (le hasard est un mot d’origine arabe az-zarh: le dé) mais aussi les ancêtres mathématiques En effet, parmi les premières questions
Le problème du Duc de Toscane
Le problème du Duc de Toscane On dispose de trois dés cubiques équilibrés dont les faces sont numérotés de 1 à 6 Le duc de Toscane énonça le paradoxe suivant : "Alors que les sommes des faces égales à 9 ou à 10 sont obtenues toutes les deux de six façons différentes, on obtient plus souvent la somme
Le problème du Duc de Toscane - pagesperso-orangefr
Le problème du Duc de Toscane On dispose de trois dés cubiques équilibrés dont les faces sont numérotés de 1 à 6 Le duc de Toscane énonça le paradoxe suivant : "Alors que les sommes des faces égales à 9 ou à 10 sont obtenues toutes les deux de six façons différentes, on obtient plus souvent la
Le paradoxe du Grand Duc de Toscane
DERNIÈRE IMPRESSION LE 10 mai 2015 à 23:21 Le paradoxe du Grand Duc de Toscane 1 Contexte historique Galilée (1554-1642) est surtout connu pour ses travaux en astronomie, faisant
PROBLÈME DU DUC DE TOSCANE Simulation de lancers de dés avec XCAS
Cosme II de Médicis (Florence 1590-1621), Duc de Toscane, fut le protecteur de l’illustre Gallilée (né à Pise le 15 février 1564 et mort à Florence le 8 janvier 1642) son ancien précepteur Profitant d’un moment de répit du
1 Énoncé du problème Le Duc de Toscane : nouvelle version 2
1 Énoncé du problèmeLe Duc de Toscane : nouvelle version 9/5/2015 Le Duc de Toscane avait repéré, dit la légende, que la probabilité d’obtenir la somme 10 avec 3 dés était supérieure à celle d’obtenir la somme 9 Pour déceler cette différence de l’ordre de 1 , on se dit qu’il devait passer beaucoup de temps à jouer
Problème du Duc de Toscane - lyceedadultesfr
Problème du Duc de Toscane I- Un peu de (petite) histoire Cosme II de Médicis (Florence 1590-1621), Duc de Toscane, fut le protecteur de l’illustre Gallilée (né à Pise le 15 février 1564 et mort à Florence le 8 janvier 1642) son ancien précepteur Profitant d’un moment de répit du savant entre l’écriture
Paradoxe du Grand Duc de Toscane
ProblŁme du Grand Duc de Toscane : Le Grand Duc de Toscane Øtait un grand amateur de jeux de dØs Son expØrience lui a appris qu’en lançant trois dØs, il obtenait plus souvent 10 points que 9 points Cette constatation lui semblant Øtrange il Ønonça donc le paradoxe suivant :
[PDF] le problème est dû
[PDF] le probleme in english
[PDF] Le Problème ouvert
[PDF] Le problème ouvert : le volume de la boîte
[PDF] Le procès de Georges dans les souris et les hommes
[PDF] Le procès de Georges Milton des souris et des hommes
[PDF] Le procès de Médée
[PDF] Le procès de Médée
[PDF] le procès de Papon pour complicité de crime contre l'humaniter
[PDF] le proces du siecle
[PDF] Le procès du singe de 1925 devoir d'histoire
[PDF] le procès du singe film
[PDF] le processus d achat du consommateur en ligne
[PDF] le processus d'étalement urbain
DERNIÈRE IMPRESSION LE10 mai 2015 à 23:21
Le paradoxe du Grand Duc de
Toscane
1 Contexte historique
Galilée (1554-1642) est surtout connu pour ses travaux en astronomie, faisant suite à son invention de la lunette astronomique. Cependant, il rédigea vers 1620 un petit mémoire sur les jeux de dés pour répondre à une demande du Duc de Toscane (Galilée est alors Premier Mathématicien de l"Université de Pise et Pre- mier Philosophe du Grand Duc à Florence). Galilée est ainsi l"un des premiers avec Cardan à avoir écrit sur le "calcul des hasards", mais leurs écrits n"ont été publiés qu"après la célèbre correspondance entre Pascal et Fermat qui marque "officiellement" le début de la théorie des probabilités. Le mémoire de Galilée qui nous intéresse n"a été édité qu"en 1718.2 Présentation du paradoxe
A la cour de Florence, de nombreux jeux de société étaient alors pratiqués. Parmi ceux-ci, l"un faisait intervenir la somme des numéros sortis lorsdu lancer de trois dés. Le Duc de Toscane, qui avait sans doute observé un grand nombrede parties de ce jeu, avait constaté que la somme 10 était obtenue légèrement plussouvent que la somme 9. Le paradoxe, que le Duc avait exposé à Galilée, réside dans le fait qu"il y a autant de façons d"écrire 10 que 9 comme sommes de trois entiers compris entre 1 et 6 :10=6+3+1=6+2+2
=5+4+1=5+3+2 =4+4+2=4+3+3 (6 possibilités)9=6+2+1=5+3+1 =5+2+2=4+4+1 =4+3+2=3+3+3 (6 possibilités)3 Simulation
On peut proposer l"algorithme suivant pour simulernlancers de trois dés afin de comparer l"évolution des fréquences des sommes 9 et 10.Xreprésente alors le nombre de sommes égales à 9 etYle nombre de sommes égales à 10. On est alors dans une position d"observateur actif nettement plus privilégiée que celle de la somme 10 semble "presque sûrement" supérieure à celle de la somme 9.PAUL MILAN1PREMIÈRE S
•Pourn=100 on obtient :X=0,12 etY=0,16
•Pourn=1 000 on obtient :X=0,117 etY=0,135
•Pourn=10 000 on obtient :X=0,116 1 etY=0,126
•Pourn=100 000 on obtient :X=0,115 64 etY=0,126 26
Variables:N,X,Y,I,A,B,Centiers
Entrées et initialisation
LireN0→X
0→Y
Traitement
pourIvariant de 1 à Nfaire randInt(1,6)→A randInt(1,6)→B randInt(1,6)→C siA+B+C=9alorsX+1→X
fin siA+B+C=10alorsY+1→Y
fin finSorties: AfficherX
N,YN4 Élucidation
Le paradoxe vient du fait que les possibilités dénombrées par le Grand Duc ne sont pas équiprobables : une somme comme 3 + 3 + 3 a trois fois moinsde chance d"être obtenue qu"une somme comme 5 + 2 + 2 , et six fois mois qu"une somme comme 4 + 3 + 2 . Plusieurs démarches permettent de calculer les probabilités d"obtenir une somme égale à 9 ou à 10 (cf. annexe) : on trouve respectivement 25216et27216, soit 0,116 (environ) et 0,125 .
5 Prolongements
L"étude de ce paradoxe permet de se sensibiliser au problème duchoix d"un uni- vers sur lequel l"hypothèse d"équiprobabilité des issues puisse être admise ou non. Cette question est loin d"être évidente et sa résolution a d"ailleurs rencontré historiquement de sérieux atermoiements comme l"atteste l"article "croix ou pile", pourtant beaucoup plus tardif, de d"Alembert dans l"Encyclopédie(publiée entre1751 et 1772).
Annexe : analyse à l"aide d"un arbre de l"obtention de la somme 9 initiale : •on considère que les 3 dés sont distinguables : les issues sont les216 triplets d"entiers compris entre 1 et 6 et l"arbre de dénombrement ci-dessous donne les25 "cas favorables" (voir ci-après) ...
•on se ramène au cas de trois lancers successifs et indépendants :en portant la probabilité 1/6 sur toutes les flèches, l"arbre ci-dessous devient un arbre de probabilités ...PAUL MILAN2PREMIÈRE S
5. PROLONGEMENTS
Les 25 cas favorables pour obtenir une somme de 9
1 2635
44
53
62
2 16 25
34
43
52
61
3 15 24
33
42
51
4 14 23
32
41
5 13 22
31
612
21