Première générale - Polynômes du second degré

2 Résolution de l’équation P(x)=ax²+bx+c=0 a Le discriminant Le discriminant d’un trinôme du second degré est défini par : ∆=b2−4ac b Les racines réelles On appelle racine réelle d’un trinôme du second degré la(es) valeur(s) de x qui vérifie(nt) l’équation P(x)=0, tel que x ℝ - si

SECOND DEGRE (Partie 2) - Maths & tiques

SECOND DEGRE (Partie 2) I Résolution d'une équation du second degré Définition : Une équation du second degré est une équation de la forme ax2+bx+c=0 où a, b et c sont des réels avec a≠0 Une solution de cette équation s'appelle une racine du trinôme ax2+bx+c Exemple : L'équation 3x2−6x−2=0 est une équation du second degré

Le second degré - exercices

Le second degré - exercices Exercice 1 Pour chacune des fonctions polynômes d'expression ax bx c2 + + qui suit, préciser les valeurs des réels a , b et c , puis calculer le discriminant Donner les résultats entiers , décimaux, ou sous la forme d’une fraction simplifiée si ce n’est pas un décimal pour le calcul de ∆

(IN)ÉQUATIONS DU SECOND DEGRÉ - Café pédagogique

Objectif : résoudre un problème menant à une (in)équation du second degré EXERCICE Une fonction trinôme g est représentée ci-dessous Déterminer l’expression de g x( ) en fonction de x EXERCICE Le drapeau danois a pour dimensions 3 m sur 2 m L’aire de la croix est égale à l’aire colorée Déterminer la largeur de la croix

TP : Equations du 2 degré à coefficients complexes

Résolution d’une équation du 2 nd degré à coefficents complexes La résolution d’une équation du second degré est maintenant très simple : En effet, on peut démontrer facilement (à partir de la forme canonique) que l’équation 0az 2 +bz + c =

Chapitre 3 : La fonction du second degré f(x) = ax² + bx + c

Chapitre 3 : La fonction du second degré f(x) = ax² + bx + c Caractéristiques de la fonction du second degré Théorie : Le graphique de la fonction f(x) = ax² + bx + c (avec a 0) est une parabole

Equations du second degré : Réflexion et drill équations avec

1 Donne un exemple d’expression du second degré qui soit infactorisable 2 a) Que valent le produit et la somme des racines dans l’équation suivante : x² - (5+ + 25)x + (2+ )(3+ 25) = 0 b) Sans calculer le , déduis des résultats précédents quelles sont les deux racines 3

(EXERCICES SUR LES ÉQUATIONS DU SECOND DEGRÉ Bac Pro tert)

est appelé le « nombre d’or » 1) Donner la valeur arrondie au dixième du nombre d’or 2) L et ℓ respectant les conditions du nombre d’or, calculer la longueur L d’un carton de largeur ℓ = 5 cm Le résultat sera arrondi au dixième 3) Pour des raisons de coût, le propriétaire souhaite que chaque carton ait une aire de 30 cm 2

fiche méthode inéquations

Fiche méthode sur la résolution d’inéquations Inéquations du second degré Le principe est tout différent des inéquations du premier degré En fait, on va se rapprocher davantage de la résolution d’équations du second degré Il faut commencer par factoriser puis on fait un tableau de signes

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Les polynômes du second degré - Fiche de cours

1. Les trinômes du second degré

a. Forme développée et réduite Un trinôme du second degré est défini par : P(x)=ax2+bx+c a≠0 b∈R c∈R Un trinôme du second degré est défini sur ℝ La représentation graphique d'un trinôme du second degré est une parabole symétrique par rapport à la droite d'équation : x=-b 2a b. Forme canonique Un trinôme du second degré peut s'écrire avec l'expression (forme canonique) : P (x)=a(x-α)2+β avec α=-b

2a et β=f(α)c. Variation

2. Résolution de l'équation P(x)=ax²+bx+c=0

a. Le discriminant Le discriminant d'un trinôme du second degré est défini par : ∆=b2-4ac b. Les racines réelles On appelle racine réelle d'un trinôme du second degré la(es) valeur(s) de x qui vérifie(nt) l'équation P(x)=0, tel que x Rℝ - si  <0

Il n'y a pas de racine sur ℝ

- si  =0

Il y a une racine double : x0=-b

2a -  >0

Il y a 2 racines distinctes : x1=-b+

2aDans certains cas on peut trouver des racines évidentes -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3

1/3

Les polynômes du second degré - Fiche de coursMathématiques Première générale - Année scolaire 2019/2020

https://physique-et-maths.fr c. Propriétés avec les racines Pour >0, il existe des propriétés avec les racines (a≠0 b∈R c∈R) :

S=x1+x2 et P=x1×x2 ⟺ S=-b

a et P=c aPour a=1, on peut écrire

P(x)=x2-Sx+P d. Méthodes de factorisation

- si  <0 Un trinôme du second degré n'est pas factorisable sur ℝ - si  0 On peut se ramener à la factorisation utilisant une identité remarquable : P (x)=a(x-x0)2 a≠0 - si  0 Un trinôme du second degré est factorisable avec l'expression : P (x)=a(x-x1)(x-x2) a≠0

3. Etude du signe d'un trinôme du second degré

a. Tableau récapitulatif4. Polynômes se ramenant à un trinôme du second degré a. Equations et inéquations paramétriques Une équation ou inéquation paramétrique dépend d'un paramètre définit sur ℝ.

Exemple :

Pm(x)=mx2+(m-2)x+5b. Polynômes de degré 3

Lorsqu'un polynôme de degré 3 admet une racine évidente x0, il peut être factorisé sur ℝ comme le produit d'une fonction affine et d'un trinôme du second degré

Exemple : P

(x)=ax3+bx2+cx+d=(x-x0)(mx2+px+q)c. Polynômes de degré n - Les polynômes de la forme xn-1 peuvent être factorisés par x-1

xn-1=(x-1)(xn-1+xn-2+...+1)- Les polynômes de la forme xn-an peuvent être factorisés par x-a

xn-an= (x-a)(xn-1+a1xn-2+a2xn-3...+an-1)d. Equations et inéquations rationnelles Il s'agit d'une équation ou d'une inéquation qui utilisera la résolution d'un trinôme du second degré

Exemples : 1

x+2-2

2x-5=9

4 ; 2x²+5x+3

x²+x-2≥0

5. Méthodes de résolution

a. Résolution d'une équation trinôme du second degré Pour résoudre un trinôme du second degré (ou polynôme s'y ramenant), on peut utiliser par ordre : -Les racines évidentes -La factorisation avec les identités remarquables et l'équation produit nul -Le discriminant b. Résolution d'une inéquation Pour résoudre une inéquation du second degré, on pourra se ramener à l'étude d'un tableau de signe 2/3

Les polynômes du second degré - Fiche de coursMathématiques Première générale - Année scolaire 2019/2020

https://physique-et-maths.fr c. Changement de variable - changement de variable utilisant x2 (équation bicarré)

Exemple :

3x4-2x2+1=0Poser le changement de variable

X=x2 puis résoudre

- changement de variable utilisant

Exemple : 3x-2

Poser le changement de variable X=

- changement de variable utilisant 1 x

Exemple : 3

x2-2 x+1=0

Poser le changement de variable X=1

x avec x≠0 puis résoudre

6. Optimisation géométrique

Résoudre un problème de géométrie :

- poser l'inconnu (variable) à optimiser - indiquer le domaine de définition - se ramener à un cas de géométrie et écrire une équation ou une inéquation - résoudre 3/3

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