Le théorème de Pythagore - Automaths
Cours : le théorème de Pythagore Keywords: quatrième, cours, Pythagore Created Date: 3/10/2005 2:50:37 PM
LE THEOREME DE PYTHAGORE - F2School
LE THEOREME DE PYTHAGORE Pythagore de Samos (-569 à -475) a fondé l’école pythagoricienne (à Crotone, Italie du Sud) Le théorème de Pythagore bien connu des élèves de 4e, n'est en fait pas une découverte de Pythagore, il était déjà connu par les chinois et les babyloniens 1000 ans avant lui Pythagore (ou ses disciples) aurait
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Pythagore était un mathématicien de la Grèce antique 1 Théorème de Pythagore Dans un triangle re tangle, le arré de la longueur de l’hypoténuse est égal à la somme des arrés des longueurs des ôtés de l’angle droit Dans le triangle ABC rectangle en B, on a : 2= 2+ 2 6 2 Réciproque du théorème de Pythagore
Chap VII LE THÉORÈME DE PYTHAGORE (Partie 2)
Chap VII LE THÉORÈME DE PYTHAGORE (Partie 2) I Activité d'introduction : le dab de Pogba II La réciproque du théorème de Pythagore dans un triangle ABC, on a : BC2 = AB2 + AC2 le triangle ABC est rectangle en A
LE THÉORÈME DE PYTHAGORE (Partie 1)
Pythagore de Samos (-569 à -475) a fondé l’école pythagoricienne (à Crotone, Italie du Sud) Le théorème de Pythagore bien connu des élèves de 4e, n'est en fait pas une découverte de Pythagore, il était déjà connu par les chinois et les babyloniens 1000 ans avant lui Pythagore (ou ses disciples) aurait découvert la formule
THEOREME DE PYTHAGORE EXERCICES 3B
le théorème de Pythagore : EG EF FG 3 4 25 2 2 2 2 2 EG 25 5 cm AEG est un triangle rectangle en E donc d’après le théorème de Pythagore : 2 2 2 2 AG 169 13 cm EXERCICE 3B 9 (OC) est la hauteur du triangle BCD issue de C 1 a Calculer la longueur OB OAB est un triangle rectangle en A donc d’après le théorème de Pythagore :
Evaluation sur le théorème de Pythagore
Soient P le pied de l’éhelle, H le point de ontat de l’éhelle ave le mur et M le pied du mur On a PHM est un triangle rectangle en M Le théorème de Pythagore permet d’érire que PM²+MH²=PH² On cherche la longueur HM (c'est-à-dire la hauteur atteinte par l’éhelle) HM²=PH²-PM²=16 HM=4
Triangles particuliers Théorème de Pythagore
• le centre du cercle circonscrit se situe au milieu de l’hypoténuse • B etb C sont complémentaires :b bB +Cb =90˚ Théorème 1 : Théorème de Pythagore Dans un triangle ABC rectangle en A, le carré de l’hypoténuse est égale à la somme des carrés des deux autres côtés : BC2 =AB2 +AC2 Théorème 2 : Réciproque du théorème
Exercice 4 Exercices dirigés – Théorème de Pythagore (EG6)
L'égalité de Pythagore est vérifiée donc le triangle HIS est rectangle en I et le mur de Matteo est droit Vérifions si le mur de Lucas est droit : D'où HS² ≠ HI² + IS² L'égalité de Pythagore n'est pas vérifiée donc le triangle HIS n'est pas rectangle en I et le mur de Matteo n'est pas droit
PRODUIT SCALAIRE ET GEOMETRIE REPEREE
Calculer le produit scalaire : # $⃗⃗⃗⃗⃗ # ⃗⃗⃗⃗⃗ 4 Relation d’Al-Kashi Cette relation a pour but de déterminer une relation entre les trois longueurs d’un triangle, il s’agit en réalité de la généralisation du théorème de Pythagore valable pour un triangle rectangle à tout type de triangle Théorème :
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1 Yvan Monka - Académie de Strasbourg - www.maths-et-tiques.fr
LE THÉORÈME DE PYTHAGORE - Chapitre 1/2
Tout le cours en vidéo : https://youtu.be/QYM86GzWWG8Pythagore de Samos (-569 à -475) a fondé l'école pythagoricienne (à Crotone, Italie du Sud).
Le théorème de Pythagore bien connu des élèves de 4e, n'est en fait pas une découverte de Pythagore, il était déjà
connu par les Chinois et les babyloniens 1000 ans avant lui. Pythagore (ou ses disciples) aurait découvert la formule
générale. Les Égyptiens connaissaient aussi le théorème. Ils utilisaient la corde à 13 noeuds (régulièrement répartis) qui une fois tendue formait le triangle rectangle 3 ; 4 ; 5 et permettait d'obtenir un angle droit entre deux " longueurs ».Corde qui sera encore utilisée par les maçons du XXe siècle pour s'assurer de la perpendicularité des murs.
Partie 1 : L'égalité de Pythagore
Vidéo https://youtu.be/_6ZjpAIWNkM
Exemple :
ABC est un triangle rectangle en A,
BC 2 = 5 2 = 25 AB 2 + AC 2 = 3 2 + 4 2 = 25On constate que BC
2 = AB 2 + AC 2L'égalité a
2 = b 2 + c 2 s'appelle l'égalité de Pythagore. Animation : http://www.maths-et-tiques.fr/telech/Pythagore.ggb Écrire la formule : http://www.maths-et-tiques.fr/telech/pyth_ecrire.pdfB C A 5 4 3
2 Yvan Monka - Académie de Strasbourg - www.maths-et-tiques.frPartie 2 : Racine carrée d'un nombre
La devise pythagoricienne était " Tout est nombre » au sens de nombres rationnels (quotient de deux
entiers). L'erreur des pythagoriciens est d'avoir toujours nié l'existence des nombres irrationnels. Par la diagonale d'un carré de côté 1, ils trouvent le nombre inexprimable2 qui étonne puis
bouleverse les pythagoriciens. Dans un carré d'une telle simplicité niche un nombre indicible et jamais
rencontré jusqu'alors. Cette découverte doit rester secrète pour ne pas rompre le fondement même
de la Fraternité pythagoricienne jusqu'à ce qu'un des membres, Hippase de Métaponte, trahisse le
secret. Celui-ci périra "curieusement" dans un naufrage !5 7 6 8 3,1 2,36 2,3
25 49 36 64 9,61 5,5696 5,29
Par exemple :
On a : 6
=36, le nombre dont le carré est égal à 36 est 6.On note alors :
36 =6.
Définition : La racine carrée de est le nombre (toujours positif) dont le carré est .
On note :
Origine du symbole :
IIe siècle : l12 = côté d'un carré d'aire 12 (l comme latus = côté en latin)1525, Christoph RUDOLFF, all. : v12 (vient du r de racine, radix en latin)
XVIe siècle, Michael STIFEL, all. :
(combinaison du " v » de Rudolff et de la barre "&&&&& » ancêtre des parenthèses)
Racines carrées utiles à connaître :
4= 236 = 6
100 = 10
9 = 349 = 7
121 = 11
16= 464 = 8
144 = 12
25= 581 = 9
Remarque :
-5 =? La racine carrée de -5 est le nombre dont le carré est -5 !Un nombre au carré est toujours positif (règle des signes), donc la racine carrée d'un nombre
négatif est impossible. -5 n'existe pas ! Méthode : Encadrer une racine carrée par deux entiers consécutifsVidéo https://youtu.be/bjS5LW-hgWk
Encadrer
20 par deux entiers consécutifs.
3 Yvan Monka - Académie de Strasbourg - www.maths-et-tiques.frCorrection
On utilise la liste des racines carrées utiles à connaître (voir plus haut) :20 est compris entre
16 et25 →
On a alors :
16< 20< 25Soit : 4<
20<5 Méthode : Calculer la racine carrée d'un nombreVidéo https://youtu.be/2g67qQnGgrE
Dans chaque cas, trouver un nombre qui vérifie l'égalité : a) =81 b) =100 c) =5,5225 d) =14Correction
a) =81Le nombre donc le carré est 81 est
81=9.Donc : =
81=9b) =100 donc :
100=10
c) =5,5225Avec la calculatrice, on trouve :
= 5,5225 =2,35 d) =14 On cherche un nombre dont le carré est égal à 14. Il n'existe pas de valeur décimale exacte dont le carré est égal à 14. On utilise la calculatrice pour obtenir une valeur approchée du résultat.14≈3,74
4 Yvan Monka - Académie de Strasbourg - www.maths-et-tiques.frPartie 3 : Calculer une longueur
Théorème de Pythagore :
Si un triangle ABC est rectangle en A, alors on a : https://www.asterix.com Méthode : Appliquer le théorème de Pythagore pour calculer la longueur de l'hypoténuseVidéo https://youtu.be/M9sceJ8gzNc
ABC est un triangle rectangle en A tel que AB = 6 cm et AC = 9 cm. Calculer BC. Donner la valeur exacte et un arrondi au dixième de cm.Correction
Je sais que le triangle ABC est rectangle en A.
Son hypoténuse est le côté [BC].
D'après le théorème de Pythagore, on a :
BC 2 = AB 2 + AC 2Dans un triangle rectangle, le carré de l'hypoténuse... ... est égal à la somme des carrés des deux autres côtés.
5 Yvan Monka - Académie de Strasbourg - www.maths-et-tiques.fr BC 2 = 6 2 + 9 2 BC 2 = 36 + 81 BC 2 = 117 BC =117 cm ← Valeur exacte
BC ≈10,8 cm ← Valeur arrondie au dixième de cmMéthode : Appliquer le théorème de Pythagore pour calculer la longueur d'un côté de l'angle droit
Vidéo https://youtu.be/9CIh6GGVu_w
Vidéo https://youtu.be/gBuzFW_GlGc
CDE est un triangle rectangle en C tel que CE = 5 cm et ED = 8 cm. Calculer CD. Donner la valeur exacte et un arrondi au dixième de cm.Correction
Je sais que le triangle CDE est rectangle en C.
Son hypoténuse est le côté [ED].
J'utilise l'égalité de Pythagore, donc :
ED 2 = CE 2 + CD 2 8 2 = 5 2 + CD 264 = 25 + CD
2 CD 2 = 64 - 25 CD =39cm ← Valeur exacte
CD ≈ 6,2 cm ← Valeur arrondie au dixième de cmHors du cadre de la classe, aucune reproduction, même partielle, autres que celles prévues à l'article L 122-5 du code de la propriété intellectuelle, ne peut être faite de ce site sans l'autorisation expresse de l'auteur. www.maths-et-tiques.fr/index.php/mentions-legales
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