Les tableaux de signe - SFR – NUMERICABLE
est une valeur interdite x = – 1 est une valeur interdite Exemple 1 Signe de f(x)= 3 + 9 x –2 Mise sous forme de fraction unique : f(x) = 3(x – 2) + 9 x – 2 = 3x – 6 + 9 x – 2 = 3x + 3 x – 2 On a donc : f(x) = 3(x – 1) x – 2 Le numérateur s’annule pour x = 1 Le dénominateur s’annule pour x = 2 qui est donc une valeur
TS - Lycée Desfontaines
\ {valeur(s) interdite(s)}, on ne calcule donc, à priori, ses li-mites qu’en l’infini et en chaque valeur interdite 1-Limite d’une fonction rationnelle en l’infini Méthode de Première S : Si on applique les règles opératoires sur les quotients de limites à une fct rationnelle, en l’infini, on obtient
Fonctions homographiques Inéquations rationnelles
Valeur interdite x 1=0 x=−1 La valeur interdite est -1 Etude de variations de f a, b sont deux nombres réels distincts de -1 Si −1 a b alors 0 a 1 b 1 donc 1 a 1 1 b 1 −1 0 donc −1 a 1 −1 b 1 et −1 a 1 2 −1 b 1 2 soit f a f b f est donc strictement croissante sur ]−1; ∞
INTERRO DE COURS 4
4 f est une somme de fonctions polynomiales et de fraction rationelle dont la seule valeur interdite est 0 Elle est donc définie sur R⁄ et R⁄ est bien symétrique par rapport à 0 f (¡x) ˘(¡x)5 ¯ 1 ¡x ¡(¡x)3 ˘¡x5 ¡ 1 x ¯x3 ˘¡ µ x5 ¯ 1 x ¡x3 ¶ ˘¡f (x) donc la fonction f est impaire
feuille d™exos 4 ØnoncØ - fractions rationnelles
seule fraction rationnelle dont les numØrateur et dØnominateur se prØsentent sous une forme factorisØe l™expression E(x) donnØe calcul de E(x) interdit lorsque valeur(s) interdite(s) fraction Øgale à E(x) 3x+5+ 15 2x 3 2x 3 = 0 3 2 x(6x+1) 2x 3 4x 1 2x+1 2x x 3 2x+1 = 0 ou x 3 = 0 1 2 et 3 15x+3 (2x+1)(x 3) 3x+1 x 1 5x+2 3x 2 x 1 = 0
INTERRO DE COURS 11
Solution: f est une fraction rationnelle donc Df ˘R\{V I } Par ailleurs, on a x¡1 ˘0 x ˘1 donc il n’y a qu’une seule valeur interdite : x ˘1 Ainsi Df ˘R\{1} 2 Calculer les limites de f en ¡1, 1¡, 1¯ et ¯1 Solution: On a lim x¡1 f (x) ˘ lim x¡1 x3 x ˘ lim x¡1 x2 ˘¯1 lim x¯1 f (x) ˘ lim x¯1 x3 x ˘ lim x¯1 x2
Exercice 1 - fontaine-mathsfr
2 La fonction b est une fraction rationnelle donc D b = R\ V I La valeur interdite est donnée par la solution de 4x−1 = 0 ⇐⇒ 4x= 1 ⇐⇒ x= 1 4 Ainsi, D b = R\ 1 4 3 La fonction cest une fraction rationnelle donc D b = R\ V I Les valeur interdite sont données par les solutions de x2 − 5x+ 6 = 0 On calcule le discriminant
MATHS-premiere-ESFR Premi ere ES D erivation
ne pas oublier la double barre (valeur interdite) Chapitre 3: D erivation Page 2/2 Maths premi ere ES Created Date: 12/26/2013 12:04:00 AM
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TS -Lycée Desfontaines
Comment calcule-t-on les limites d"une fonction rationnelle????Rappel :Sauf indication contraire, on ne calcule les limites d"une fonction qu"aux bornes ouvertes de son ensemble de définition.
Toute fonction rationnelle étant définie sur?\ {valeur(s) interdite(s)}, on ne calcule donc, à priori, ses li-
mites qu"en l"infini et en chaque valeur interdite.1-Limite d"une fonction rationnelle en l"infini
Méthode de Première S :
Si on applique les règles opératoires sur les quotients de limites à une fct rationnelle, en l"infini, on obtient
en général une forme indéterminée. Pour lever cette indétermination, on factorise le numérateur et le déno-
minateur par leur terme prépondérant cad par leur terme de plus haut degré. Chacune des deux parenthèses
ayant pour limite1, on obtient quela limite en l"infini de la fonction rationnelle est alors celle du
quotient de ses termes de plus haut degré. Exemple :SoitRla fonction rationnelle définie sur?\ {1;2}parR(x) =-3x+ 32x2-6x+ 4.Limite en l"infini :
En l"infini, la limite d"un polynôme est celle de son terme de plus haut degré donclimx→+∞-3x+3 = limx→+∞-3x=-∞
etlimx→+∞2x2-6x+ 4 = limx→+∞2x2= +∞. Donc la limite deRen+∞est une forme indéterminée.
Un même raisonnement nous donne une indétermination en-∞.Pour lever ces indéterminations, on factorise numérateur et dénominateur par leur terme prépondérant, cad par
leur monôme de plus haut degré : ?x?DR\ {0},R(x) =-3x(1-1 x)2x2(1-3x+2x2)=-3x2x2×1-1
x1-3x+2x2=-32x×1-1
x1-3x+2x2
Orlimx→∞1
x= limx→∞3x= limx→∞2x2= 0donclimx→∞(1-1x) = limx→∞(1-3x+2x2) = 1d"oùlimx→∞R(x) = limx→∞-32x= 0
Ainsilimx→-∞R(x) = limx→-∞-3
2x= 0etlimx→+∞R(x) = limx→+∞-32x= 0.
La droite d"équationy= 0est donc asymptote horizontale à la courbe représentative deRau voinage de-∞et
Méthode de Terminale S :Vous pouvez maitenant directement appliquer la règle suivante :A l"infini, la limite d"une fonction rationelle est celle du quotient de ses termes de plus haut degré
Exemple :Reprenons la fonction rationnelleRdéfinie parR(x) =-3x+ 32x2-6x+ 4. Il suffit d"écrire :
A l"infini, la limite d"une fonction rationelle est celle du quotient de ses termes de plus haut degré donc
lim x→-∞R(x) = limx→-∞-3x2x2= limx→-∞-32x= 0etlimx→+∞R(x) = limx→+∞-3x2x2= limx→+∞-32x= 0.
La droite d"équationy= 0est donc asymptote horizontale à la courbe représentative deRau voinage de-∞et
2-Limite d"une fonction rationnelle en un réela
Premier Cas :aest une valeur interdite deR=ND(ieD(a) = 0) maisN(a)?= 0.Méthode :
(i) On écritRsous la forme d"un produit :R=N×1D.(ii) On cherche la limite deNena:limx→aN(x) =N(a)(?= 0).
(iii) On cherche la limite de1Dena:limx→aD(x) =D(a) = 0donclimx→a1D(x)=∞.Pour savoir si c"est-∞ou+∞, il faut étudier le signe deD(x), à l"aide d"un tableau de signes si nécessaire .
En général, nous devons alors distinguer les casx < aetx > a. (iv) On conclut ensuite en appliquant les règles opératoires vues en cours .C.Gontard-C.David-H.Meillaud 1/2Méthodes
TS -Lycée Desfontaines
Exemple :Reprenons la fonction rationnelleRdéfinie sur?\ {1;2}parR(x) =-3x+ 32x2-6x+ 4.Limite en2
:?x??\ {1;2},R(x) = (-3x+ 3)×12x2-6x+ 4.? limx→2-3x+ 3 =-3×2 + 3 =-3(?) ;limx→22x2-6x+ 4 = 0donclimx→212x2-6x+ 4=∞.Etudions alors le signe deD(x) = 2x2-6x+ 4.
Dest un polynôme de degré 2, on peut calculer son discriminant:?= (-6)2-4×2×4 = 4>0.Dadmet donc deux racines qui sontx1=6-⎷
2×2= 1etx1=6 +⎷
2×2= 2(x1etx2sont bien sûr les valeurs
interdites deR) et est du signe du coefficient de son terme de degré 2, cad2, à l"extérieur de ses racines.
x-∞1 2 +∞D(x)+ 0-0 +
Ainsilimx→2x<21D(x)=-∞d"où avec (?), on en déduitlimx→2x<2R(x) = +∞.Etlimx→2x>21
D(x)= +∞d"où avec (?), on en déduitlimx→2x>2R(x) =-∞. La droite d"équationx= 2est donc asymptote verticale à la courbe représentative deR. Deuxième Cas :aest une valeur interdite deR=ND(ieD(a) = 0) etN(a) = 0.Méthode :
(i) On écritRsous la forme d"un produit :R=N×1D.(ii) On cherche la limite deNena:limx→aN(x) =N(a) = 0.
(iii) On cherche la limite de1Dena:limx→aD(x) =D(a) = 0donclimx→a1D(x)=∞.D"après les règles opératoires , nous sommes donc dans un casde forme indéterminée (0× ∞).
Pour lever l"indétermination, il faut factoriser le numérateurNet le dénominateurD( en produit de polynômes ) ,
puis simplifier alorsRet recalculer la limite ena. Exemple :Reprenons la fonction rationnelleRdéfinie sur?\ {1;2}parR(x) =-3x+ 32x2-6x+ 4.Limite en1
:?x??\ {1;2},R(x) = (-3x+ 3)×12x2-6x+ 4. lim x→1-3x+ 3 =-3×1 + 3 = 0;limx→12x2-6x+ 4 = 0donclimx→112x2-6x+ 4=∞.
Nous sommes donc dans un cas de forme indéterminée (0× ∞). Factorisons le numérateurN(x) =-3x+ 3 =-3(x-1).Factorisons le dénominateurD(x) = 2x2-6x+4: nous savons déjà queDadmet deux racines qui sont1et2donc