Les droites - WordPresscom
Une droite est une suite de points alignés qui ne s'arrête jamais Ici, on la note (d) ou (AB) Une droite est une suite de points alignés qui ne s'arrête jamais
1 Droites et vecteurs directeurs
1 2 Droites parallèles et droites sécantes Soient dune droite de vecteur directeur →u et d′ une droite de vecteur directeur →v • Les droites d et d′ sont parallèles si et seulement si les vecteurs →u et →v sont colinéaires, c’est-à-dire det(→u;−→v)=0
Equations de droites - dyrassacom
a) Vérifier que les droites (d) et (d’) sont sécantes b) Déterminer les coordonnées du point d’intersection A des deux droites 4) Points alignés A, B et C trois points distincts sont alignés si et seulement si les droites (AB) et (AC) sont parallèles donc si elles ont le même coefficient directeur
Solides et figures : les droites parallèles (exercices)
les droites parallèles (exercices) RAPPEL : aide-toi de ta synthèse et de la feuille (tracer) 1) Sur cette équerre, repasse en rouge les lignes qui t’aident à tracer des droites parallèles 2) Observe tous les endroits de ta classe Cite-moi en trois qui contiennent des segments ou droites parallèles
SÉRIE 5 : ANGLES DROITES PARALLÈLES
SÉRIE 5 : ANGLES ET DROITES PARALLÈLES Explication (d') // (d' ') a ⑤ = 1 02° ⑥ = 1 02° b ⑧ = 9 9° ④ = 9 9° c ① = 8 1° ⑥ = 8 0° d ③ = 8 9° ⑤ = 9 1° e ① = 7 6° ② = 7 6° 11 Les points A, D et E sont alignés
FICHE DEXERCICES 1 – Droites, demi-droites, segments
f) Réécrire toutes les consignes précédentes en utilisant les notations du cours Exercice 3 a) Placer trois points I, J et K non alignés b) Tracer (IJ) c) Tracer [IK] d) Tracer [KJ) e) Réécrire les consignes précédentes sans utiliser les notations étudiées en cours Exercice 4 Les points A, B, C et D sont alignés
Droites perpendiculaires et droites parallèles
Ces trois droites sont parallèles car si la droite d est perpendiculaire à x alors toutes les droites qui lui seront perpendiculaires seront également parallèles entre elles Exercice 2 : Observe cette figure et complète : • Les segments [AD] et [BC] sont parallèles • Les segments [AB] et [BC] sont perpendiculaires
Vecteurs, droites et plans de l’espace
3/7 Position relative de deux droites Exercice 7 : II 2 Plans de l’espace Soient A un point de l’espace et ⃗u et ⃗v deux vecteurs non colinéaires de l’espace L’ensemble des points M tels que AM⃗ =λ⃗u+μ⃗v est un plan de l’espace
Chapitre 7 : Thalès : les droites sont-elles parallèles
Donc, d’après la réciproque de la propriété de Thalès, les Donc, d’après la contraposée de la propriété de Thalès, les droites (ED) et (BC) sont parallèles droites (FI) et (GH) ne sont pas parallèles Pour comparer les quotients, il est préférable de travailler avec des fractions irréductibles Thalès :
Reconnaître et tracer des perpendiculaires 3 Effectue les
1 Repasse en rouge les droites qui sont parallèles à la droite (d) (d) 2 Écris si ces phrases sont vraies ou fausses 3 Trace deux droites parallèles à la droite (d) 4 Trace une droite parallèle à la droite (d) passant par C 5 Trace une droite parallèle à la droite (d) passant par D Les droites d1 et d2 sont parallèles
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Vecteurs, droites et plans de l'espace
I. Vecteurs de l'espace
I.1. Translation
La translation de vecteur⃗AB transforme C en D tel que ⃗AB=⃗CD. Propriété : Soient E et F deux points de l'espace et ⃗ u un vecteur de l'espace. On note E' et F' les images respectives de E et de E par la translation de vecteur ⃗u. On a alors ⃗EF=⃗E'F' Exercice 1 : On considère un cube ABCDEFGH. On note I le centre du carré BCGF.Soit t la translation de vecteur ⃗
AC. On note K l'image de F par t. Montrer que I est le milieu de [AK]. I.2. Vecteurs colinéaires, vecteurs coplanaires Soient ⃗u et ⃗v deux vecteurs de l'espace. ⃗u et ⃗v sont colinéaires si et seulement si il existe un réelλtel que ⃗u=λ⃗v
Exercice 2 : On considère un parallélogramme DEFG. Construire le point K tel que ⃗DK=2⃗DE+2⃗DG-⃗DF. Exercice 3 : On considère 3 points de l'espace A, B et C non alignés et les points M etN définis par
⃗AM=12⃗AB et ⃗BN=3⃗AC-2⃗ABa)Exprimer
⃗CM et ⃗CN en fonction des vecteurs ⃗ABet ⃗ACb)En déduire que les points C, M et N sont alignés.
Deux vecteurs sont coplanaires si, et seulement si, leurs représentations de même origine A ont leurs extrémités dans un même plan passant par A.Propriété : Soient ⃗u, ⃗v, et⃗w trois vecteurs de l'espace non colinéaires. On dit
que ⃗ w est une combinaison linéaires des vecteurs ⃗u et ⃗v s'il existe des réelsμetλ tels que ⃗w=μ⃗u+λ⃗v . Cette décomposition est unique et on dit que les
trois vecteurs sont coplanaires. Exercice 4 : On considère une pyramide ABCDE de sommet E et dont la base ABCD est un parallélogramme. Soit ⃗u=⃗AB, ⃗v=2⃗AD+⃗DE et ⃗w=⃗AC+⃗AE. Démontrer que ⃗ u, ⃗v et ⃗w sont coplanaires. Cours de Term_Spé Mathématiques_Géométrie1:Vecteurs, droites et plans de l'espace 2/7 I.3. Vecteurs linéairement indépendants et base de l'espace Soient ⃗u, ⃗v, et⃗w trois vecteurs de l'espace et a,b et c trois réels. Lesvecteurs ⃗u, ⃗v, et⃗wsont dits linéairement indépendants lorsqu'ils ne sont pas
coplanaires c'est à dire que le seul triplet de réels a, b et c tels quea⃗u+b⃗v+c⃗w=⃗0
est (0,0,0). Trois vecteurs linéairement indépendants forment une base de l'espace.Propriété : Soient
(⃗i,⃗j,⃗k) une base de l'espace. Pour tout vecteur ⃗w de l'espaceil existe un unique triplet de réels (x,y,z) tel que⃗w=x⃗i+y⃗j+z⃗ket le triplet est
appelé coordonnées de ⃗w dans (⃗i,⃗j,⃗k)Exercice 5:Dans le cube ABCDEFGH, lire la décomposition du vecteur dans la base
donnée. a)⃗EG dans la base (⃗AB,⃗DB) b)⃗CFdans la base(⃗AB,⃗BD,⃗CG)Exercice 6 : Dans le cuve ABCDEFGH, démontrer que le triplet
(⃗AB,⃗BH,⃗CG) est bien une base de l'espaceII. Droites et plans de l'espace
II.1. Droites de l'espace
Soient A un point de l'espace et ⃗u un vecteur non nul. L'ensemble des pointsM de l'espace tels que ⃗AM=
λ⃗u avec λ un nombre réel est une droite. (A,⃗u) est un repère de cette droite dont on dit qu'elle passe par A et qu'elle est dirigée par u. Cours de Term_Spé Mathématiques_Géométrie1:Vecteurs, droites et plans de l'espace 3/7Position relative de deux droites
Exercice 7 :
II.2. Plans de l'espace
Soient A un point de l'espace et⃗uet ⃗vdeux vecteurs non colinéaires de l'espace. L'ensemble des points M tels que ⃗AM=λ⃗u+μ⃗vest un plan de l'espace.
(A,⃗u,⃗v) est un repère du plan. On dit que le plan passe par A et est dirigé par la base (⃗ u,⃗v).Position relative d'une droite et d'un plan
Cours de Term_Spé Mathématiques_Géométrie1:Vecteurs, droites et plans de l'espace 4/7Exercice 8 : Dans le cube ABCDEFGH :
Position relative de deux plans
Exercice 9 : Dans le cube ABCDEFGH :
II.3. Parallélisme dans l'espace
•Une droite d est parallèle à un plan P ssi elle est parallèle à une droite de ce plan Cours de Term_Spé Mathématiques_Géométrie1:Vecteurs, droites et plans de l'espace 5/7 •Un plan P est parallèle à un plan P' ssi il existe deux droites sécantes de P' parallèles à deux droites sécantes de P •Soient P et P' deux plans strictement parallèles, tout planΠqui coupe l'un de ces plans coupe l'autre et les droites d'intersections sont parallèles entre elles. •Si deux plans P et P' contiennent respectivement deux droites d et d' parallèles entre elles alors leur intersectionΔ est parallèle à ces deux droites.
III. Repère de l'espace
III.1. Coordonnées d'un point de l'espace
Dans un repère
(O,⃗i;⃗j;⃗k) de l'espace, pour tout point M de l'espace on trouve un triplet (x;y;z)de réels tels que ⃗OM=x⃗i+y⃗j+z⃗k. Le triplet est alors appelée coordonnées du point M dans le repère (O,⃗i;⃗j;⃗k), x est l'abscisse, y l'ordonnée et z la cote. Cours de Term_Spé Mathématiques_Géométrie1:Vecteurs, droites et plans de l'espace 6/7III.2. Opération sur les coordonnées
On considère les coordonnées des points A(xA;yA;zA) et B(xB;yB;zB), les coordonnées du vecteur ⃗AB sont alors (xB-xA yB-yA zB-zA)Les coordonnées du milieu I du segment [AB] sont(xA+xB2;yA+yB2;zA+zB2)Et de manière généralement les formules des calculs dans le plan s'étendent à
l'espace. III.3. Représentation paramétrique d'une droite Considérant qu'il est possible de caractériser une droite d par un point A (xA;yA;zA)appartenant à la droite et un vecteur directeur ⃗u(a b c). Tout point