Équations, fonctions polynômes du second degré
II Fonctions polynômes du second degré On appelle polynôme du second degré toute expression pouvant se mettre sous la forme ax2+bx+c où a, b et c sont des réels tels que c≠0 Si a, b et c sont tous les trois non nuls on peut alors parler d’un trinôme du second degré II 1 Forme canonique
1 Fonctions polynôme de degré 2 - WordPresscom
Chapitre 1 : Équations, fonctions polynômes du second degré 1re-Spécialité mathématiques, 2019-2020 1 Fonctions polynôme de degré 2 1 1 Les fonctions x→ ax2 +bx+cavec a6=0 Définition 1 Une fonction polynôme de degré 2 est une fonction définie sur Rpar f(x) = ax2+bx+c où a, b et c désignent des nombres réels avec a 6= 0
Les fonctions polynômes de degré 2
Les fonctions polynômes de degré 2 Chapitre 5 1STMG 130 Reconnaître une fonction polynôme du second degré 1STMG 131 Vérifier qu’une valeur est la racine d’un polynôme du second degré 1STMG 132 Associer une fonction à une parabole d’équation y =ax2 +b ou y =a(x −x1)(x −x2) 1STMG 133 Résoudre une équation de la forme x2 =c
I Les fonctions polynômes du second degré
Chapitre 1 Fonctions polynômes du second degré Formes, discriminant et racines I Les fonctions polynômes du second degré La fonction f définie sur Rpar f(x) = ax2 +bx +c, avec a 6= 0 , est une fonction polynôme du second degré
FONCTIONS POLYNÔMES DE DEGRÉ 2 (Partie 2)
fonctions polynômes du second degré Les coefficients a, x 1 et x 2 sont des réels avec *≠0 A noter : Plus généralement, on appelle fonction polynôme du second degré, toute fonction qui s’écrit sous la forme # *#++,#+3 Par exemple, la fonction # 3#+−2#+1 est une fonction polynôme du second degré
Fonctions polynomes du second degré Inéquations du second degré
Fonctions polynomes du second degré Inéquations du second degré Déterminer les variations de f sur R De la première question, on déduit 2–f x = 1 4 x 2 2 Soit f x =− 1 4 x 2 2 2 a et b sont deux réels • Si −2≤a b soit 0≤a 2 b 2 alors a 2 2 b 2 2 Donc − 1 4 a 2 2 − 1 4
ALGEBRE Fonctions polynômes du 1 second degré
polynômes du second degré Les savoir-faire du chapitre 110 Etudier le signe d’une fonction polynôme du second degré donnée sous forme factorisée 111 Déterminer les fonctions polynômes du second degré s’an-nulant en deux nombres réels distincts 112 Donner la forme canonique d’une fonction polynôme du se-cond degré 113
Première générale - Polynômes du second degré - Fiche de cours
Les polynômes du second degré – Fiche de cours 1 Les trinômes du second degré a Forme développée et réduite Un trinôme du second degré est défini par : P(x)=ax2+bx+c a≠0 b∈R c∈R Un trinôme du second degré est défini sur ℝ La représentation graphique d’un trinôme du second degré est une parabole
Second degré Fiche d’exercices
Préciser celles qui sont du second degré Le professeur de mathématiques de Maya lui 23 demande de retrouver les polynômes du second degré parmi les fonctions définies ci-dessous fl(x) — f2(x) = +7+(3x - (1 - 5x)2 - 25x2 f3(x) Maya répond : Les trois fonctions sont des polynômes du second degré » A-t-elle raison ?
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Chapitre 1 : Équations, fonctions polynômes du second degré 1 re-Spécialité mathématiques, 2019-2020
1. Fonctions polynôme de degré 2
1.1. Les fonctionsx?→ax2+bx+caveca?= 0
Définition 1.
Unefonction polynôme de degré 2est une fonction définie surRparf(x) =ax2+bx+coùa,betcdésignent
des nombres réels aveca?= 0. Cette écriture est laforme développéedef.Remarque 1.Une fonction polynôme du second degré est aussi appelée fonction trinôme du second degré ou
plus simplement fonction trinôme.1.2. Forme canonique
Toute fonction polynôme de degré 2 définie parf(x) =ax2+bx+caveca?= 0admet pourforme canonique
f(x) =a(x-α)2+βavecα=-b2aetβ=f(α).
Propriété 1.
Démonstration 1.
Pour tout nombre réelx:
a(x-α)2+β=Exemple 1.Déterminer la forme canonique de la fonction trinôme définiesurRparf(x) =-4x2+ 6x+5
4.1.3. Courbe représentative et variations
Dans un repère orthogonal du plan,fest représentée par une parabolePdont le sommetS(α;β)et l"axe de symétrie
a pour équationx=α. casa >0 casa <0 La parabole est " tournée vers le haut »La parabole est " tournée vers le bas » O?i? jxy Sf? -b2a?- b 2a O?i? jxy Sf? -b 2a? b 2a xVariations
def-∞-b2a+∞ f(-b2a)f(-b2a) xVariations
def-∞-b2a+∞ f(-b2a)f(-b2a)Propriété 2.
1/42. Équations du second degré2.1. Définitions
Définition 2.
Uneéquation du second degréà coefficients réels est une équation de la formeax2+bx+c= 0, aveca,bet
ctrois réels tels quea?= 0.Définition 3.
Les solutions de l"équation du second degréax2+bx+c= 0sont appelées lesracinesdu polynôme du second
degréax2+bx+c.2.2. Résolution d"une équation du second degré dansR
Définition 4.
Le nombre réelb2-4acest appelédiscriminantdu trinômeax2+bx+c. Il est notéΔ. Résolution de l"équationax2+bx+c= 0aveca?= 0.On calcule le discriminant :Δ =b2-4ac.
SiΔ<0: l"équation n"admet pas de solution réelle; SiΔ = 0: L"équation admet une unique solution réellex0=-b 2a; SiΔ>0: L"équation admet deux solutions réelles distinctesx1=-b-⎷2aetx2=-b+⎷
2a.Théorème 3.
♣Démonstration 2. Montrer que résoudre l"équationax2+bx+c= 0(a?= 0) revient à résoudre? x+b 2a? 2 -Δ4a2= 0.Le nombre de solutions dépend du signe deΔ.
Exemple 2.Résoudre dansRles équations suivantes :1-5x2+ 8x-2 = 023x2-x+ 1 = 034x2+ 6x+94= 0
2/42.3. Interprétation graphique
Signe deΔΔ>0Δ = 0Δ<0
Solution de l"équationDeux solutions réelles distinctesUne unique solution ax2+bx+c= 0x1=-b-⎷Δ2aetx2=-b+⎷
2ax0=-b2aPas de solution réelle
Courbe représentative
defdans un repère ?Dans le cas oùa >0 Oxy -b2a··x1x2
Oxy x 0=-b2aOxy-b2a
Propriété 4.
Remarque 2.
?Chercher à résoudre l"équationax2+bx+c= 0revient à chercher les points d"intersection de la parabole
P:ax2+bx+cavec l"axe des abscisses.
?Dans le cas oùΔ = 0, l"unique solutionx0est appelée racine double du trinôme (dans ce casx1=x2).
2.4. Somme et produit des racines d"un trinôme
Soitfune fonction polynôme du second degré définie surRparf(x) =ax2+bx+c, aveca?= 0.Sifadmet les réelsx1etx2pour racines, alors :
Lasommedes racines est :s=x1+x2=-b
a;Leproduitdes racines est :p=x1×x2=c
a.Propriété 5.
Remarque 3.Si on connaît une racine d"une fonction polynôme du second degré, on peut calculer l"autre racine
en utilisant la somme ou le produit des racines.Lorsque cela est possible, on cherchera uneracine évidenteparmi des nombres simples comme1,-1,2,-2, etc.
Démonstration 3.
Exemple 3.Soitfla fonction définie surRparf(x) =-2x2+3x+2. Déterminer une racine évidente def, puis
l"autre solution. Exemple 4.Déterminer une fonction polynôme du second degré admettantles racines-6et8. 3/43. Factorisation et signe d"un trinôme du second degré3.1. Forme factorisée d"un trinôme de degré 2
Soit le trinômeax2+bx+caveca?= 0etΔson discriminant.SiΔ>0, alors pour tout réelx,ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2)oùx1etx2sont les racines du trinôme.
SiΔ = 0, alors pour tout réelx,ax2+bx+c=a(x-x0)2oùx0est la racine double du trinôme.SiΔ<0, le trinôme ne se factorise pas.
Propriété 6.
Exemple 5.Factoriser les trinômes suivants (utiliser les résultats de l"exemple 2) :1-5x2+ 8x-2
23x2-x+ 1
34x2+ 6x+94
3.2. Signe du trinômeax2+bx+caveca?= 0
Soit le trinômeax2+bx+caveca?= 0etΔson discriminant. SiΔ>0, le trinôme s"annule en deux réels distinctsx1etx2. Six1< x2, le tableau de signes du trinôme est : xSigne deax2+bx+c
-∞x1x2+∞ signe dea0signe de-a0signe dea
SiΔ = 0, le trinôme a même signe queapour tout réelxet s"annule en-b 2a. SiΔ<0, le trinôme a même signe queapour tout réelx.Propriété 7.
Exemple 6.Déterminer le signe des trinômes suivants (utiliser, si besoin, les résultats de l"exemple 2) :