Intervalle de confiance: à quoi ça sert - HUG
L’intervalle de confiance à 95 va de 8 7 à 23 6: les données de l’échantillon permettent de dire que, en réalité, l’effet du tai chi peut être 8 7 ou 23 6 L’intervalle de confiance à 95 ne contient pas la valeur 8 1 (la plus petite différence cliniquement pertinente): les données de l’échantillon permettent
Chapitre 19 : Intervalle de confiance : pour estimer une
intervalle de confiance de ???? au niveau de confiance 95 (mais il est impossible à justifier en TS et ne sera pas utilisé ) Exemple : On dispose d’une urne contenant un très grand nombre de boules rouges et bleues On ignore quelle est la proportion p de boules rouges dans l’urne, et rien ne permet de faire une hypothèse
MODULE 2 : Estimation par intervalle de confiance
• [c1,c 2] ou [g1(θˆ), g2(θˆ)] est appelé intervalle de confiance, • c1,c 2 sont les limites de confiance, • 1− α: degré de confiance ou degré de certitude Le principe de l’estimation par intervalle de confiance est de proposer un encadrement d’un paramètre inconnu d’une population dont la loi, elle, est connue
Intervalle de confiance d’une moyenne
IV- Signification de l’intervalle de confiance d’une moyenne L’intervalle de confiance à 95 d’une moyenne μ nous indique les bornes entre lesquelles on estime sa position On connait pas avec exactitude sa vraie valeur, mais on peut dire qu’elle a 95 chance sur 100 d’être comprise dans cet intervalle
Estimation d’un intervalle de confiance 1 - CAB INNOVATION
Intervalle de confiance de la variance d'une population gaussienne de moyenne inconnue Intervalle à 3 sigma à 60 de confiance : σ 3σ Variance • Cas c : intervalle de confiance approximatif L'intervalle de confiance est dit approximatif s’il se base sur l’approximation d’une loi par une autre
6 Estimation et intervalle de confiance - Fabrice Monna
Intervalle de confiance à 95 : n s X s X 1 96 * ; 1 96 * 95 = niveau de confiance Exercice : Quel intervalle si niveau de confiance = 99 ? Par exemple, imaginons l'intervalle de confiance à 95 de la moyenne suivant : [120 ; 140] La probabilité que cet intervalle contienne la valeur de µ est de 0,95 Autrement dit, en affirmant que la
Estimations et intervalles de confiance Exemple
ponctuelle de paramètres de loi : proportion, moyenne, variance La connaissance des lois de ce estimateurs permet l’estimation par in-tervalle de confiance et donc de préciser l’incertitude sur ces esti-mations : intervalle de confiance d’une proportion, d’une moyenne si la variance est connue ou non, d’une variance
CORRIGE des exercices sur les intervalles de confiance
Un institut de sondage communique à un candidat aux élections régionales l’intervalle de confiance au niveau 0,95 de son futur score Cet intervalle a une amplitude de 0,04 Combien de personnes a interrogé l’institut de sondage ? CORRIGE: a) La proportion de visiteurs français est INCONNUE L'effectif de l'échantillon est n
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Estimations et intervalles de confiance
Estimations et intervalles de confiance
Résumé
Cette vignette introduit la notion d"estimateur et ses propriétés : ponctuelle de paramètres de loi : proportion, moyenne, variance. La connaissance des lois de ce estimateurs permet l"estimation par in- tervalle de confiance et donc de préciser l"incertitude sur ces esti- mations : intervalle de confiance d"une proportion, d"une moyenne si la variance est connue ou non, d"une variance.Retour au
plan du cour s1 Introduction
Le cadre est le suivant : on dispose de données observées (en nombre fini) et l"on désire tirer des conclusions de ces données sur l"ensemble de la popu- lation. On fait alors une hypothèse raisonnable : il existe une loi de probabilité sous-jacente telle que les "valeurs observables" des différents éléments de la population étudiée puissent être considérées comme des variables aléatoires indépendantes ayant cette loi. Un aspect important de l"inférence statistique consiste à obtenir des "esti- mations fiables" des caractéristiques d"une population de grande taille à partir d"un échantillon extrait de cette population. C"est un problème de décision concernant des paramètres qui le plus souvent sont : l"espérance mathématique ; la proportion p; la v ariance2. Ces paramètres sont a priori inconnus car la taille réelle de la population étant très grande, il serait trop coûteux de tester tous les éléments de la population. Ainsi, comme un échantillon ne peut donner qu"une information partielle sur la population, les estimations que l"on obtiendra seront inévitablement entachées d"erreurs qu"il s"agit d"évaluer et de minimiser autant que possible. En résumé, estimer un paramètre inconnu, c"est en donner une valeur ap-prochée à partir des résultats obtenus sur un échantillon aléatoire extrait de lapopulation sous-jacente.
Exemple :Un semencier a récolté 5 tonnes de graines de Tournesol. Il a besoin de connaître le taux de germination de ces graines avant de les mettre en vente. Il extrait un échantillon de 40 graines, les dépose sur un buvard humide et compte le nombre de graines ayant évolué favorablement. On remarque que ce contrôle est de type destructif : l"échantillon ayant servi au contrôle ne peut plus être commercialisé. Il s"agit donc d"évaluer la proportionpdes graines de la population à grand effectif, présentant un certain caractèreX: succès de la germination. Même avec une population d"effectif restreint, un contrôle depne peut être calculée. Le modèle s"écrit commenréalisationsxide v.a.r. indépendantes de Ber- noulliXidéfinies par : X i=1si l"individuiprésente le caractèreX0sinon.
Il est naturel d"estimerpparx
n=1n P n i=1xi;qui est la proportion des indi- vidus ayant le caractèreXdans l"échantillon. En effet, la LGN nous assure de la convergence en probabilité de la v.a.r.X=1n P n i=1Xivers l"espérance de X1, c"est-à-direp;Xest l"estimateur de la proportionpetpest estimée par
la réalisationx ndeX. Dans l"expérience de germination, 36 graines ont eu une issue favorable avecxi= 1. La proportion estimée estx= 40=36 = 0;9 C"est une estimation diteponctuelle. D"autre part, dans toute discipline scien- tifique, il est important d"avoir une indication de la qualité d"un résultat ou encore de l"erreur dont elle peut-être affectée. Ceci se traduit en statistique par la recherche d"un intervalle, ditintervalle de confiance, dont on peut assurer, avec un risque d"erreur contrôlé et petit, que cet intervalle contient la "vraie" valeur inconnue du paramètre. Dans la suite nous nous intéresserons donc à deux types d"estimations : soit une estimation donnée par v aleurscalaire issue des réalisations des v.a.r.Xi: l"estimationponctuelle; soit une estimation donnée par un ensemble de v aleursappartenant à un intervalle : l"estimation parintervalle de confiancecontrôlé par un risque d"erreur fixéa priori.1Estimations et intervalles de confiance
2 Estimation ponctuelle
2.1 Estimateur
Convergence
DÉFINITION1. - Unn-échantillon aléatoire issu d"une v.a.r.Xest un en- semble(X1;:::;Xn)denv.a.r. indépendantes et de même loi queX. Soitun paramètre associé à la loi deX, par exemple=E(X)ou= Var(X). À partir de l"observation d"un échantillon aléatoire(X1;:::;Xn), on souhaite estimer le paramètre. DÉFINITION2. - Un estimateurbndeest une fonction qui dépend unique- ment dun-échantillon(X1;:::;Xn). Il est dit convergent s"il est "proche" de au sens de la convergence en probabilité : pour tout >0, P jbnj> !n!+10:Dans l"exemple de l"introduction, la quantité
1n P n i=1Xiest un estimateur convergent depet si, par exemple, on a observé21pièces défectueuses sur un lot de1500pièces prélevées, l"estimation ponctuelle depobtenue estx n= 21=1500 = 1;4%. Pour estimer l"espérancedes variables aléatoiresXi, on utilise la moyenne empiriqueX n=1n n X i=1X i; car par la LGN, on sait qu"elle converge en probabilité vers l"espérance =E(X1). Le but de la théorie de l"estimation est de choisir, parmi toutes les statistiques possibles, le "meilleur" estimateur convergent, c"est-à-dire celui qui donnera une estimation ponctuelle la plus proche possible du paramètre et ceci, quelque soit l"échantillon.Exemple :Considérons une v.a.r.Xreprésentant le nombre de grippes attra-
de paramètre >0. Chercher la loi deX, c"est chercher, qui n"est autre que l"espérance mathématique deX. Par conséquent, la LGN nous indique queX n est un estimateur convergent de: pour tout >0, P 1n n X i=1X i n!+10: Grâce à l"inégalité de Chebychev, on peut démontrer le théorème suivant : THÉORÈME3. - Soitbnun estimateur de. Si l"on a : lim n!+1E(bn) =et limn!+1Var(bn) = 0; alors bnest un estimateur convergent de. Biais DÉFINITION4. - Soitbnun estimateur convergent d"un paramètre. On appelle biais la quantitéE(bn). L"estimateurbnest dit sans biais si