6 Estimation et intervalle de confiance
construire quand même un intervalle de confiance en utilisant une loi de probabilités appelée loi de Student Il s’agit d’une distribution qui est proche de celle de la loi normale centrée réduite
Estimation d’un intervalle de confiance 1
Intervalle de confiance de la variance d'une population gaussienne de moyenne inconnue Intervalle à 3 sigma à 60 de confiance : σ 3σ Variance • Cas c : intervalle de confiance approximatif L'intervalle de confiance est dit approximatif s’il se base sur l’approximation d’une loi par une autre
Intervalle de confiance d’une moyenne
IV- Signification de l’intervalle de confiance d’une moyenne L’intervalle de confiance à 95 d’une moyenne μ nous indique les bornes entre lesquelles on estime sa position On connait pas avec exactitude sa vraie valeur, mais on peut dire qu’elle a 95 chance sur 100 d’être comprise dans cet intervalle
Statistique : étude de cas Intervalles de confiance
une loi de Student a (n 1) degr es de libert e D e nition L’intervalle de probabilit e pour T n 1 a 1 est : t n 1;1 ( =2) < p n 1 b n S n
rappels cours sur les IC - cedriccnamfr
Définition : On appelle intervalle de confiance de niveau de confiance 1−α du paramètre θ tout intervalle IC tel que : PIC()∋=−θα1 pour α∈[]01, fixé Les bornes de l’intervalle de confiance IC dépendent de l’échantillon, elles sont donc aléatoires Par abus de langage, on note souvent PIC()θα∈=−1
COURS DECHANTILLONNAGE ET ESTIMATIONS Chapitre : Estimation
Estimation par intervalle de confiance : Cas d’une population nor-male Soit t 1 2 la valeur de la variable Student à n-1 degré de liberté lue à partir de la table de , c’est-à-dire : P( t 1 2 T t 1 2) = 1 On a : 8 >< >: P( t 1 2 T t 2) = 1 ; P(X x 2 ^S p n T 1 ^S p n) = 1 ;
S3 – STATISTIQUES INFERENTIELLES – TD et Exercices CORRIGES
Donc il existe une loi de Poisson dont les résultats sont proches de la réalité λ = np = 3 La loi de Poisson à utiliser est la loi P(3) c Donner, à l'aide de la table de la loi de Poisson, les probabilités demandées plus haut Comparer à celles obtenues par une loi binomiale Dans la table de la loi de Poisson, on peut lire :
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L1 SVTE Analyse de données
6. Estimation et intervalle de confiance
Objectifs :
- Aborder le principe de l'estimation, ponctuelle et par intervalle - Savoir calculer et interpréter les limites d'un intervalle de confiance autour de la moyenneDans de nombreuses situations, on souhaite connaître la valeur d'une grandeur permettant de
caractériser une population statistique pour une variable donnée. Si par exemple la variable étudiée
est la taille, on peut chercher à caractériser la population des étudiants de l'Université de Bourgogne
par la taille moyenne ("ordre de grandeur" de la taille) et par la variance de cette taille (mesure de la
variabilité de la taille). La taille moyenne et la variance de la population sont des paramètres. Ce sont
les valeurs qui nous intéressent. Mais la plupart du temps, nous ne les connaissons pas. Nous
approchons ces valeurs par la moyenne et la variance de la taille calculées à partir d'un échantillon.
Ces valeurs calculées à partir des données de l'échantillon sont appelées des estimations.
On distingue 2 types d'estimations : les estimations ponctuelles et les estimations par intervalle.A) Estimation ponctuelle
On prélève un échantillon de n individus, et on mesure le caractère X sur chacun de ces individus. La
moyenne calculée à partir des données d'un échantillon ( X ) est une estimation ponctuelle de la moyenne de la population (µ).Un autre échantillon aurait sans doute donné une autre estimation (valeur estimée) pour µ.
La variance calculée à partir des données d'un échantillon (s2X) est une estimation ponctuelle de la
variance de la population (2).Ainsi, 10 échantillons tirés de la même population peuvent fournir 10 estimations ponctuelles (par
exemple de la moyenne de la population), pas nécessairement toutes de mêmes valeurs. (Cf distribution d'échantillonnage de la moyenne)Problème : obtention d'une estimation ponctuelle avec n'importe quel échantillon. Quel niveau de
confiance peut-on avoir dans cette valeur?Une solution : Plu
et contrôlée.Comparaison de 2 distributions échantillonnage de la moyenne (faible et forte dispersion) : importance
de la variabilité dans la population (2)et de la taille de l'échantillon (n). (Illustration graphique au
tableau) B ) Estimation par intervalleUne estimation par intervalle est un intervalle défini par 2 bornes dans lequel on a une certaine
probabilité de trouver la valeur du paramètre estimé. On parle d'intervalle de confiance.Nous ne traiterons ici que de l'intervalle de confiance de la moyenne et de l'intervalle de confiance
d'une proportion.B.1) Intervalle de confiance pour une moyenne.
On distingue généralement deux situations : celle où la taille ) pour pouvoir appliquer des théorèmes " limites » (tel que le théorème de la limite centrale).Cas de grands échantillons (
La distribution d'échantillonnage de la moyenne suit approximativement une distribution normale de
moyenne µ et d'écart-ı(Ceci est vrai si n 30 individus). On peut donc transformer cette variable X en une variable centrée réduite (qui suit approximativement une distribution normale de moyenne 0 et d'écart-type 1). -ıOn arrive ainsi à la formule de l'intervalle de confiance de la moyenne : (illustration graphique au
tableau)