[PDF] Intervalle de confiance d’une moyenne

6 Estimation et intervalle de confiance

construire quand même un intervalle de confiance en utilisant une loi de probabilités appelée loi de Student Il s’agit d’une distribution qui est proche de celle de la loi normale centrée réduite

Estimation d’un intervalle de confiance 1

Intervalle de confiance de la variance d'une population gaussienne de moyenne inconnue Intervalle à 3 sigma à 60 de confiance : σ 3σ Variance • Cas c : intervalle de confiance approximatif L'intervalle de confiance est dit approximatif s’il se base sur l’approximation d’une loi par une autre

Intervalle de confiance d’une moyenne

IV- Signification de l’intervalle de confiance d’une moyenne L’intervalle de confiance à 95 d’une moyenne μ nous indique les bornes entre lesquelles on estime sa position On connait pas avec exactitude sa vraie valeur, mais on peut dire qu’elle a 95 chance sur 100 d’être comprise dans cet intervalle

Statistique : étude de cas Intervalles de confiance

une loi de Student a (n 1) degr es de libert e D e nition L’intervalle de probabilit e pour T n 1 a 1 est : t n 1;1 ( =2) < p n 1 b n S n

rappels cours sur les IC - cedriccnamfr

Définition : On appelle intervalle de confiance de niveau de confiance 1−α du paramètre θ tout intervalle IC tel que : PIC()∋=−θα1 pour α∈[]01, fixé Les bornes de l’intervalle de confiance IC dépendent de l’échantillon, elles sont donc aléatoires Par abus de langage, on note souvent PIC()θα∈=−1

COURS DECHANTILLONNAGE ET ESTIMATIONS Chapitre : Estimation

Estimation par intervalle de confiance : Cas d’une population nor-male Soit t 1 2 la valeur de la variable Student à n-1 degré de liberté lue à partir de la table de , c’est-à-dire : P( t 1 2 T t 1 2) = 1 On a : 8 >< >: P( t 1 2 T t 2) = 1 ; P(X x 2 ^S p n T 1 ^S p n) = 1 ;

S3 – STATISTIQUES INFERENTIELLES – TD et Exercices CORRIGES

Donc il existe une loi de Poisson dont les résultats sont proches de la réalité λ = np = 3 La loi de Poisson à utiliser est la loi P(3) c Donner, à l'aide de la table de la loi de Poisson, les probabilités demandées plus haut Comparer à celles obtenues par une loi binomiale Dans la table de la loi de Poisson, on peut lire :

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Intervalle de confiance d'une

moyenne D r : RAIAH. M Service de Biostatistique, Faculté de Médecine d'Oran

I- Introduction (1/2)

On s'intéresse à la valeur moyenne ȝ d'un caractère quantitatif dans une population donnée Au lieu de rechercher la valeur exacte de ȝ par l'examen de tous les sujets, on se propose de tirer au sort un échantillon de sujets dans la population et, à partir de la moyenne X observée, d'induire les renseignements sur ȝ, en consentant

à l'avance un certain risque d'erreur.

I- Introduction (2/2)

Le but de la démarche est de tenter d'estimer la valeur de la moyenne inconnue de la population

à partir d'une observation sur un seul

échantillon.

Il faut donc estimer un intervalle dans lequel la

moyenne inconnue ȝ a la plus grande probabilité de se trouver.

II-Intervalle de confiance d'une moyenne

Cas d'un grand échantillon :

n l'observation d'une moyenne X sur un

échantillon

de personnes permet de calculer une moyenne inconnue située dans l'intervalle défini par (avec 5 % de risque d'erreur ou 95 % de certitude ou de confiance) :

II-Intervalle de confiance d'une moyenne

Cas d'un grand échantillon :

n X - < ȝ < X +

Ou bien

ȝ = X ±

Notations :

ȝ : la moyenne inconnue de la population

X : la moyenne calculée sur l'échantillon

S : l'écart type de l'échantillon

n : la taille de l'échantillon

II-Intervalle de confiance d'une moyenne

Cas d'un grand échantillon :

n

1.Le calcul de l'intervalle de confiance par ces

formules nécessite que la taille de l'échantillon soit supérieure ou égale à 30.

2.Si tel n'est pas le cas, le terme 1,96 devrait

être remplacé par une valeur choisie dans la table T de student.

III-Intervalle de confiance d'une moyenne

Cas d'un petit échantillon :

n l'observation d'une moyenne X sur un petit

échantillon

de personnes permet de calculer une moyenne inconnue située dans l'intervalle défini par (avec 5 % de risque d'erreur ou 95 % de certitude ou de confiance) :

III-Intervalle de confiance d'une moyenne

Cas d'un petit échantillon :

n X - < ȝ < X +

Ou bien

ȝ = X ±

Notations :

ȝ : la moyenne inconnue de la population

X : la moyenne calculée sur l'échantillon

S : l'écart type de l'échantillon

n : la taille de l'échantillon t : la valeur donnée par la table de T de sudent pour le nombre de degrés de liberté (n-1) et le risque 5 %.

IV- Signification de l'intervalle de

confiance d'une moyenne.

L'intervalle de confiance à 95 % d'une moyenne

nous indique les bornes entre lesquelles on estime sa position.

On connait pas avec exactitude sa vraie valeur,

mais on peut dire qu'elle a 95 chance sur 100 d'être comprise dans cet intervalle.

On peut dire en complément qu'il y a quand

même 5 chance sur 100 pour que ȝ soit à l'extérieur de cet intervalle.

V- Exemple 1

Lors d'une enquête sur la durée de sommeil des enfants de 2 à 3 ans effectuée sur un échantillon de

540 enfants d'un département français, on a

trouvé une moyenne du temps de sommeil par nuit de 11,7 heures. L'écart type est de 1,3 heures. On veut connaitre la moyenne générale du temps de sommeil chez tous les enfants du département.

V- Solution exemple 1

Avec n = 540

X = 11,7 heures

S = 1,3 heures

L'intervalle de confiance à 95 % est de :

11 ,7 = 11,7 0,11 heures

La moyenne du temps de sommeil est donc comprise

entre 11,6 et 11,8 heures.

VI- Exemple 2

On veut connaitre la moyenne de la pression

artérielle diastolique chez les sujets atteints de drépanocytose (maladie sanguine).

On dispose d'un échantillon de 25 sujets

drépanocytaires, où :

X = 61,8 mmHg

S = 2,2 mmHg

Quel est l'intervalle de confiance à 95%?

VI- Solution exemple 2

Avec :

n = 25 d.d.l. = 25-1 = 24

X = 61,8 mmHg

S = 2,2 mmHg

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