cours fonction inverse - mathsbdpfr
La courbe de la fonction inverse est quasiment une droite lorsque tend vers ∞ La droite d’équation 0 0 est une asymptote à la courbe de la fonction en ∞ Quand s’approche de ∞, la fonction inverse s’approche de 0 Étude en 1 par valeurs positives La courbe de la fonction inverse est quasiment une droite lorsque
Les fonctions racine carrée et inverse
La courbe représentative de la fonction inverse s'appelle une hyperbole Cette hyperbole est une courbe qui est symétrique par rapport à l'origine O du repère Le point A a pour coordonnées A ( a ;
Fonctions carrée et inverse Autres fonctions élémentaires
Remarque : Toute courbe d’une fonction impaire, définie en 0, passe par l’origine paul milan 6 février 2010 lma seconde 2 2 Étude de la fonction inverse 8
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– La fonction inverse n’est ni linéaire ni affine – L’inverse d’une somme n’est pas la somme des inverses : 1 2+5 ≠ 1 2 + 1 5 I 2 Hyperbole d’équation y = 1 x La fonction inverse est représentée par une courbe appelée hyperbole Elle est constituée des points M(x; 1 x) pour x ≠ 0, et a pour équation y = 1 x
FONCTION INVERSE - maths et tiques
courbe de se rapproche de plus en plus de l’axe des abscisses On dit que l’axe des abscisses est une asymptote horizontale à la courbe de la fonction inverse en −∞ et en +∞
1 Dé nition et parité de la fonction Inverse
Dé nition : La fonction Inverse est la fonction qui, à tout réel xnon nul, associe son inverse 1 x Dans toute cette partie , on notera fla fonction Inverse : f(x) = 1 x 1 2 Domaine de dé nition Comme on ne peut pas diviser par zéro, le nombre 0 n'a pas d'inverse : il n'a donc pas d'image par la fonction Inverse
2 – VARIATIONS DE LA FONCTION INVERSE
30 mars 2018 FONCTION INVERSE 2nde 10 EXERCICE 1 f est la fonction inverse 1 Calculer l’image par f dechacun desnombres réelssuivants: a) −0,01 b) − 2 3 c) 3 2 d) 1− 4 3 2 Calculer l’image par f de chacun des nombres réels suivants sans laisser de racine carrée au dénominateur: a) − p 2 b) −2 p 3 c) p 3 2 d) 1+ p 5 2
La fonction carrée et la fonction inverse - AlloSchool
EXERCICES a) 5 7 b) − 1 9 c) − 3 4 d) 5 8 e) 10−6 f) 105 EXERCICE 23 Voici la courbe représentative de la fonction inverse, dans un repère Expli-quer graphiquement a) Pourquoi il n’existe qu’un seul réel
CONVEXITÉ - Maths & tiques
- La fonction inverse x 1 x évaluer la convexité de la fonction C En déduire si la courbe possède un point d'inflexion 2) Démontrer ces résultats 3
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en fonction de la tension appliquée V D s'effectue selon une pente, qui dépend de la résistance dynamique R d de la diode En polarisation inverse V D < V 0 il n'y a aucun courant de conduction La diode est bloquée et elle est équivalente à un interrupteur ouvert
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TABLE DES MATIÈRES 1
Fonctions carrée et inverse.
Autres fonctions élémentairesPaul Milan
LMA Seconde le 6 février 2010
Table des matières
1 La fonction carrée
21.1 Fonction paire
21.2 Étude de la fonction carrée
31.3 Représentation de la fonction carrée
31.4 Fonctions se ramenant à la fonction carrée
41.5 Application
52 La fonction inverse
62.1 Fonction impaire
62.2 Étude de la fonction inverse
82.3 Représentation de la fonction inverse
82.4 Fonctions se ramenant à la fonction inverse
92.5 Application
103 La fonction racine carrée
113.1 Étude de la fonction racine carrée
113.2 Représentation
124 La fonction cube
134.1 Étude de la fonction cube
134.2 Représentation
144.3 Application
15 21 La fonction carrée
1.1 Fonction paireDéfinition 1On dit qu"une fonction f définie dans l"ensemble de définition Dfest
une fonction paire si et seulement si : 1) l"ensemble D fest symétrique par rapport à "zéro»2)8x2Dfon a f(x)=f(x)Remarque :Dfdoit être symétrique par rapport à l"origine.
C"est à dire que six2Dfalorsx2Df.
Rf2gn"est pas symétrique. On ne peut pas comparerf(2) àf(2) (qui n"existe pas).Par contreRf2;2gest symétrique.
Exemples :
2La fonctionfdéfinie surRpar :f(x)=x2est paire. En eet on a :
f(x)=(x)2=x2=f(x) etRest bien évidemment symétrique2Soit les fonctionf1etf2les fonctions définies par :
f1(x)=2x4+x21 etf2(x)=1x
21Montrer que les fonctionsf1etf2sont paires sur leur ensemble de définition. f
1est définie surRdonc symétrique et :
f1(x)=2(x)4+(x)21=2x4+x21=f1(x)
Doncf1est paire.
f2est définie surRf1;1gdonc symétrique et :
f2(x)=1(x)21=f2(x)
Doncf2est paire.
2Montrons que la fonctiongdéfinie surRparg(x)=x23xn"est pas paire. Pour
montrer que la proposition est fausse, trouvons un contre-exemple : g(2)=(2)23(2)=4+6=10 etg(2)=223(2)=46=2Commeg(2),g(2), la fonctiongn"est pas paire.
D"autres fonctions que l"on a pas encore vues sont paires. C"est par exemple le cas de la fonction cosxde puissances paires possèdent cette propriété.Propriété 1La courbe représentativeCfd"une fonction fonction paire f est symé-
trique par rapport à l"axe des ordonnée.paul milan6 février 2010lma seconde1.2 Étude de la fonction carr´ee3Tout pointM(x;f(x)) de la courbeCfpossède un point symétrique
M0(x;f(x)=f(x)) sur la courbe.
1.2 Étude de la fonction carréeDéfinition 2On appelle fonction carrée, la fonction définie surRpar :
f(x)=x2Propriétés :La fonction carrée est une fonction paire, donc sa représentation est symétrique par rapport à l"axe des ordonnées. Variation :Soit deux réelsx1etx2tels quex2>x1. Calculons alors la quantité : f(x2)f(x1)=x2 2x2 1 =(x2x1)(x2+x1) On sait quex2>x1doncx2x1>0. Le signe def(x2)f(x1) est du signe dex2+x1. Six2>x1>0 alorsf(x2)f(x1)>0 donc la fonction est croissante. Six1Définition 3La représentation de la fonction carrée est une parabole de sommet O.Comme cette parabole est symétrique par rapport à l"axe des ordonnée, on cherchera
des points dont les abscisses sont positives. On complétera alors par les point symétriques. Tableau de valeurspaul milan6 février 2010lma seconde1.4 Fonctions se ramenant`a la fonction carr´ee4x00,511,52
x200,2512,254
On obtient alors la parabole suivante :
Remarque :La parabole était bien connue des grecs, soit donc bien avant la création du concept de fonction. Cette courbe fait partie de ce que les grec appelait les " conniques ». Elles correspondent aux section d"un cone par un plan. La parabole estobtenue avec un plan parallèle à un génératrice du cone.1.4 Fonctions se ramenant à la fonction carrée
Définition 4On définit une fonction f surRpar : f(x)=ax2 La représentation de ces fonctions sont des paraboles. Les variations de f sont identiques à la fonction carrée lorsque a>0. La parabole est tournée vers le haut. Les variations de f sont contraires à la fonction carrée lorsque a<0. La parabole est tournée vers le bas.Variations : paul milan6 février 2010lma seconde1.5 Application5a>0x10+1x
2+1& 0%+1a2>a1a<0x10+1x
21%0&1ja2j>ja1j Remarque :Une parabole de sommetS(x0;y0) a pour fonction associéefde la forme : f(x)=a(xx0)2+y0
1.5 Application
En géométrie, on appelle parabole une courbe constituée des point M équidistants d"un point F appelé foyer et d"une droite fixe.1)Construction de la parabole
On donne le foyer de la paraboleF(0;1) et la droitedfixe d"équationy=1.Hest leprojeté orthogonal deMsur la droited. On obtient alors la figure suivante :Comme les pointMsont équidistants deFet de la droited, on peut écrire :
MF=MH Mest donc sur la médiatrice de [FH]. Pour tracer un pointM, on prend un point quelconqueHsur la droited. On trace ensuite la médiatrice de [FH].Mest alors l"intersection de cette médiatrice avec la perpendiculaire àdenH. Avec un logiciel,on peut alors obtenir l"ensemble des pointsMlorsqueHparcourtd. On obtient alors :paul milan6 février 2010lma seconde
6 Remarque :On remarque que la médiatrice est alors la tangente enMà la parabole ainsi tracée.2)Relation entre les coordonnées
On noteM(x;y) les coordonnées du pointM. On obtient alors les coordonnées de H(x;1). On calcule alors les distances au carréeMF2etMH2. MF2=(xxF)2+(yyF)2=x2+(y1)2
MH2=(xxH)2+(yyH)2=(y+1)2
De l"égalité des distances, on en déduit : x2+(y1)2=(y+1)2
x2+y22y+1=y2+2y+1
4y=x2 y=14 x2On retrouve la fonctionf(x)=14
x2qui est représentée par un parabole.2 La fonction inverse
2.1 Fonction impaireDéfinition 5On dit qu"une fonction est impaire sur son ensemble de définition Df
si, et seulement si : 1) l"ensemble D fest symétrique par rapport à "zéro»2)8x2Dfon a f(x)=f(x)paul milan6 février 2010lma seconde
2.1 Fonction impaire7Exemples :
1) La fonction fdéfinie parf(x)=xsurRet la fonctiongdéfinie parg(x)=1x surR sont impaire. En eet : f(x)=x=f(x) g(x)=1x=1x =g(x) 2)La fonction fdéfinie surRparf(x)=x3+2xx
2+1est impaire. En eet :
f(x)=(x)3+2(x)(x)2+1=x3+2xx2+1=f(x)
3) P arcontre la fonction fdéfinie surRparf(x)=5x3 n"est pas impaire. Montrons le par un contre exemple : f(1)=2 etf(1)=8 doncf(1),f(1) Remarque :La fonction impaire tire son nom par le fait que les polynôme dont lespuissances sont uniquement impaires vérifient cette propriété.Propriété 2La courbeCfd"une fonction impaire f est symétrique par rapport à
l"origine du repère.Tout pointM(x;f(x)) de la courbeCfpossède un point symétrique M0(x;f(x)=f(x)) sur la courbe.
Remarque :Toute courbe d"une fonction impaire, définie en 0, passe par l"origine.paul milan6 février 2010lma seconde
2.2 Étude de la fonction inverse82.2 Étude de la fonction inverse
Définition 6On appelle fonction inverse, la fonction définie surRpar : f(x)=1x Propriétés :La fonction inverse est une fonction impaire. VariationsSoit deux réels non nulsx1etx2tels quex2>x1. Calculons la quantité : f(x2)f(x1)=1x 21x1 =x1x2x 1x2 commex2>x1alors le numérateur est négatif six2>x1>0 ou six1
2124
1 x4211 21
4
On obtient alors l"hyperbole suivante :
paul milan6 février 2010lma seconde2.4 Fonctions se ramenant`a la fonction inverse9Remarque :
2L"hyperbole possède deux asymmptotes : droites dont la courbe se rapproche de
plus en plus lorsquexse rapproche de 0 ou de l"infini. Ces deux asymptotes sont les axes de coordonnées. L"hyperbole est dite équilatère car les asymptotes sont perpendiculaires.2l"hyperpole est une conique obtenue par la section d"un cone par un plan dont la
pente est supérieure aux génératrices du cone.2L"hyperbole possède deux axes de symétrie : les deux bissectrices des axes de
coordonnées.2L"hyperbole se trouve dans les cadrans 1 et 3 du repère.
2.4 Fonctions se ramenant à la fonction inverseDéfinition 8On définit une fonction f surRpar :
f(x)=ax La représentation de ces fonctions sont des hyperboles. Les variations de f sont identiques à la fonction inverse lorsque a>0. L"hyperbole se situe dans les cadran 1 et 3 du repère. Les variations de f sont contraires à la fonction inverse lorsque a<0. L"hyperbole se situe dans les cadrans 2 et 4 du repère.Variations : paul milan6 février 2010lma seconde2.5 Application10a>0x10+11
x0 &1+1&0a2>a1a<0x10+11
x0 %+11 %0ja2j>ja1j2.5 Application
ABCDest un rectangle tel queAB=2 etAD=1. A tout réel positifx, on aassocie le pointMtel que les pointsA,BetMsont alignés dans cet ordre avecBM=x. On noteI le milieu du segment [BM]. La droiteMC) coupe (AD) enN. Déterminer la position du pointMpour queDN=AI.On fait une figure, pour comprendre le problème :Comme les droites (DC) et (AM) sont paralèlle, nous avons une configuration de
Thalès. Appliquons le théorème de Thalès dans le trianglesDCNetAMN, on a alors : NDNA =DCAM ,DN1+DN=22+x