P-PAM-307B Ondes et Acoustique dans les Fluides

On peut add itionner les intensités sonores en un point donné On calcule alors : Itot = I1 + I2 + I2 à partir des niveaux N 1, N 2, N3, Le niveau N tot sera calculer par la formule donnant N I 2 5 Niveau acoustique de SENSATION SONORE : en phones ou dB(A) L’oreille humaine n’a pas la même sensibilité à toutes les fréquences

Cahier option facultative musique Lycée Marcel Gimond Année

instrumentales, qu’il s’agisse de celles apportées par les élèves, parfois instrumentistes, ou des sources sonores disponibles en classe (piano, percussions, etc ) ; enfin, les outils de l’informatique musicale (TICCE1) peuvent encore diversifier cet ensemble Sommaire

1 Ondes acoustiques New - École Polytechnique

ì ñ l ì ð l î ì í õ í ì 3 $57,(,9 3 î ì

00page de garde TOM2-Ondes mécaniques - cours, examens

A trois dimension : Ondes sonores Les ondes mécaniques présentent une double périodicité : Périodicité temporelle : Caractérisée par la période T (s) Périodicité spatiale : Caractérisée par la longueur d’onde w (m) Le phénomène de diffraction est une des caractéristiques importante des ondes

P-PAM-307B Ondes et Acoustique dans les Fluides

Les ondes sonores se propagent, quant a elles, sans force de rappel externe Dans le cas des ondes sonores, la force de rappel equilibrant l’inertie du uide est tout enti ere produite par la compres-sibili e propre du uide 1 2 Equations d’ondes Consid erons, pour l’exemple, une perturbation du milieu qui se propage sans d eformation dans la

Physique 2 : Les ondes mécaniques progressives

les ondes sonores émises par l'un des interlocuteurs ne sont pas affectées par les ondes sonores émises par les autres, lorsqu'elles se croisent De même, si nous provoquons des déformations transversales, simultané- ment, en chacune des extrémités d'un long ressort, les ondes se croisent sans subir de modification

Cours de propagation de ondes - Université Grenoble Alpes

Ondes harmoniques Cette équation d’onde a un grand nombre de solutions, les solutions les plus simples sont des fonctions qui varient dans le temps et dans l’espace de façon sinusoïdale: on parle alors d’ondes harmoniques: k Cas d’une onde se propageant selon les z positifs on a: on a bien une fonction : f(z-vt) 0 v 1 2 2 w w ' t

I- L’oreille, organe de l’audition - e-monsite

Les sons sont des informations de notre environnement Pour être perçus par l’être humain, ils doivent parvenir aux récepteurs sensoriels de l’oreille Objectif : on se propose de comprendre comment les ondes sonores sont transmises aux récepteurs sensoriels A) La réception des ondes sonores

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| P-PAM-307B |

Ondes et Acoustique dans les Fluides

Notes de cours

(Version du 30 janvier 2017)

Table des matieres

1 Generalite sur les ondes 4

1.1 Modeles d'ondes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.2 Equations d'ondes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.3 Ondes harmoniques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.4 Phase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.5 Ondes longitudinales et transverses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.6 Intensite de l'onde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.7 Relation de dispersion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2 Paquets d'ondes9

2.1 Qu'est-ce qu'un paquet d'ondes? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.2 Vitesse de groupe et dispersion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.3 Transport de l'energie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3 Ondes acoustiques12

3.1 Observations sur le son . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.2 Equation d'onde de l'acoustique lineaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.3 Solutions de type ondes planes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.4 Vitesse du son . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.5 Energie acoustique et intensite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.6 Eet de la gravite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.7 La source simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.8 Le dip^ole acoustique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.9 Probleme aux limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4 Ondes gravito-capillaires 24

4.1 Ondes de gravite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.1.1 Equation d'onde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.1.2 Ondes harmoniques en eaux profondes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.1.3 Ondes de gravite en eau peu profonde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.2 Ondes capillaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.3 Vitesse de groupe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.4 Attenuation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5 Ondes de gravite internes 33

5.1 Stratication continue du milieu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5.2 Approximation de Boussinesq . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5.3 Relation de dispersion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5.4 Vitesses de phase et de groupe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6 Ondes dans les

uides en rotation 37

6.1Equation d'onde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .37

6.2 Relation de dispersion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6.3 Ondes geophysiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

40
2

7 Equations d'ondes non-lineaires 42

7.1 Fronts et chocs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7.2 Solitons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7.3 Collision de solitons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7.4 Methode des caracteristiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7.5 L'equation de Schrodinger non-lineaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

46
3

Chapitre 1

Generalite sur les ondes

Sommaire1.1 Modeles d'ondes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4

1.2 Equations d'ondes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.3 Ondes harmoniques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.4 Phase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.5 Ondes longitudinales et transverses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.6 Intensite de l'onde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.7 Relation de dispersion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7 1.1 Modeles d'ondes

Pour illustrer les propos qui suivent, on pourra prendre pour exemple les ondes a la surface de l'eau

engendrees par une pierre jetee a la surface lisse d'un lac. Des anneaux concentriques de vaguelettes sont

emis depuis le point source, ou la pierre a perce la surface de l'eau, et se propagent radialement avec une

amplitude de cr^ete qui va diminuant a mesure que l'ondulation d'eloigne de la source. Une denition possible pourrait ^etre la suivante : Perturbation d'un milieu, qui se propage dans le milieu, eventuellement en se deformant, avec une vitesse mesurable. Cette denition, tres generale, precise peu les choses et quelques remarques peuvent d'hors et deja ^etre faites. La vibration du milieu p eut^ etremo deliseepar une grandeur scalaire, , par exemple dans le cas

des ondes de pression, en acoustique. Elle peut aussi ^etre represetee par une grandeur vectorielle,~ , comme dans le cas d'une onde electro-magnetique, ou la grandeur oscillante peut ^etre lapola-

risation, ou plus fondamentalement les champs electrique et magnetique. La propagation de la p erturbationn 'impliquepas la propagation de la mati ere.Il faut di erencier la vitesse de l'onde,c, de celle de l'element materiel,~u. Propagation de l'energie contenue dans la perturbation, mais generalement pas de la matiere, dont les deplacements nets sont en moyenne nuls, en premiere approximation. Les ondes on tb esoind'un m ilieumat erielp ourse propager. Une exception (de taille) pro vient de la lumiere : on a longtemps pense que la lumiere se propageait dans un milieu subtil, l'ether,

remplissant l'espace inter-planetaire. Aujourd'hui, l'idee d'un ether emplissant l'espace a ete aban-

donnee et les ondes electro-magnetiques seraient ainsi capables de se propager dans le vide. L'onde mo deliseun c hampde d eformation,d enien tout p ointde l 'espace, ac haqueinstan t.

L'onde est irreductible au corpuscule. Toujours?

4 |Comme le souligne J. Ligh thilldans s onPrologue, les ondes sonores son tles plus fond amentales dans les uides, parce qu'elles peuvent exister sans champ de force externe. En general, une onde, ou un systeme vibrant, suppose l'equilibre entre une force de restauration et l'inertie du systeme. Les ondes sonores se propagent, quant a elles, sans force de rappel externe. Dans le cas des ondes sonores, la force de rappel equilibrant l'inertie du uide est tout entiere produite par la compres- sibilie propre du uide.

1.2 Equations d'ondes

Considerons, pour l'exemple, une perturbation du milieu qui se propagesans deformationdans la direction desx >0. Par commodite, la source se trouve enO, l'origine du repere cartesien. On observe l'arrivee de la perturbation au pointM, situe a la distancexdeO. Le signal O(t= 0), envoye enOa l'instantt= 0, se retrouve, identique a ce qu'il etait au pointOat= 0, au pointMau tempsx=c, de sorte que

M(t) (x;t) = O(tx=c) (tx=c):(1.1)

Un signal de cette nature est solution de l'equation @@t +c@@x (x;t) = 0;(1.2)

qui est l'equation d'ondedecrivant la propagation de la perturbation dans le milieu. Cette equation est

manifestement lineaire, de sorte que leprincipe de superpositions'applique a ces ondes. Cependant, les

equations d'onde peuvent ne pas ^etre lineaires (en ), comme nous en verrons certains exemples au

Chapitre 7.

Notons que (tx=c) est aussi solution de l'equation @2@t

2c2@2@x

2 (x;t) = 0;(1.3) composition de deux operateurs lineaires, 2@t

2c2@2 @x

2=@@t +c@@x @@t c@@x ;(1.4)

le second admettant des solutions du type (x+ct), c'est-a-dire une onde se propageant dans la direction

desx <0. Dans un esapce de dimension 1, l'equation (1.3) est plus riche que l'Eq. (1.2) puisqu'elle rend

compte de la propagation d'ondes dans les deux directions de cet espace. Exercice: On s'interesse a l'equation d'onde suivante : @ @t +c0@ @x +@3 @x

3= 0:(1.5)

ou (x;t) est l'amplitude de la vibration consideree,c0>0 etsont reels. Verier la linearite de cette equation. Quelles en sont les consequences physiques?

1.3 Ondes harmoniques

Les ondes harmoniques, de la forme cos, sin, e

i, sont solutions d'equations aux derivees partielles hyperboliques, c'est-a-dire de la forme

A(x;t)@2 @t

2+B(x;t)@2 @t@x

+C(x;t)@2 @x

2+D(x;t)@ @t

+E(x;t)@ @x +F(x;t) +G(x;t)= 0 ; avecB24AC >0. SiB24AC <0, l'equation aux derivees partielles est diteelliptique, siB24AC= 0 elle estparabolique. 5

Pour de telles ondes, (~r;t) =aei'(~r;t), la perturbation du milieu est periodique, a la periode tem-

porelleT. Parceque l'onde se propage dans l'espace a la vitessec, il en resulte une periodicite spatiale,

=cT, appeleelongueur d'onde. L'amplitudeade l'onde mesure la deformation maximale du milieu par rapport a son etat d'origine. Exercice: Rappeler quel phenomene physique chacune de ces equations decrit, et si elles sont hy- perbolique, parabolique, ou elliptique : i)@2 @t

2c2@2 @x

2= 0; ii)@ @t

=@2 @x 2:

1.4 Phase

Ecrivons la perturbation du milieu sous la forme d'une amplitude scalaire complexe =aexp(i'(x;t)),

ouaet'sont reelles. Le caractere cyclique de la perturbation se traduit par une orbite fermee dans le

portrait de phase d'axes<( ),=( ), cf gure 1.1.<( )=( )a Figure1.1 { Portrait de phase d'une onde harmonique Si l'on xex, l'orbite fermee, alors parametree par le temps, est parcourue a la vitesse angulaire != _', denie comme lapulsationde l'onde. Si au tempt= 0 la phase vaut'= 0, au bout d'un temps t=T, qui est laperiodede l'onde, elle vaudra'= 2, au tempsT=2,'=, etc. Dans le cas d'une onde harmonique, cette vitesse angulaire est constante, de sorte que l'on peut ecrire : '= 2tT =!t:

Notons que si l'onde n'est pas harmonique, mais quelconque, et que la courbe fermee n'est pas circulaire,

on fera dependre par exemple!det. Lafrequencef= 1=Tcompte le nombre de cycles complets realises par la phase en une unite de temps.

La discussion se transpose identiquement a l'espace. La \vitesse de variation" de la phase, spatiale-

ment, est donnee par le vecteur d'onde~k=r'. Une translation spatiale, atxe, d'une periode spatiale (longueur d'onde), fait egalement varier la phase de 2. Pour une onde harmonique, il en resulte : '= 2x ~k~r: Le nombre d'onden= 1=est la frequence spatiale de l'onde. La dependance en espace et en temps de la phase se generalise simplement en : '=!t~k~r=~k(~r~ct);(1.6) ou~c= (!=k)~ekest la vitesse du front d'onde, avec~k=k~ek. Rappelons que lefront d'ondeest deni

comme le lieu dans l'espace ou la phase est partout identique, par exemple le ligne de cr^ete d'une onde se

propageant a la surface de l'eau, ou plus generalement une surface dans un milieu tri-dimensionnel. Pour

une onde plane par exemple, la phase est constante dans un plan perpendiculaire au vecteur d'onde, de

sorte que l'on peut ecrire (~r;t) = (xct), le propagation se faisant sans deformation du front. Pour une onde spherique, le front d'onde est une sphere, de sorte que (~r;t) = (rct).

1.5 Ondes longitudinales et transverses

Une onde se propageant dans la m^eme direction que la vibration du milieu est ditelongitudinale,~k^~ =~0,transversesi elle se propage dans une direction perpendiculaire aux vibrations du milieu,~k~ =~0.

Exercice:~ represente une grandeur vectorielle ayant un comportement periodique dans le temps et/ou l'espace, de vecteur d'onde~ket de pulsation!reels (sauf indication contraire). Sa dimension physique n'est pas indiquee. Les vecteurs unitaires dans le systeme de coordonnees cartesiennes sont notes ^ei. 1.

On donne = x(z;t)^ex+ y(z;t)^ey+ z(z;t)^ez.

(a)

Quelle est la direction du v ecteurd'onde

~kde chaque composante de ce champ? (b)

A quelle condition l'onde est-elle transv erse?

On donne

~ =Acos(kz!t)^ex: (a)

T racer

~ (z;t= 0). Cette onde est-elle transverse ou longitudinale? (b)

D ecrirecomme ntle c hamp

~ (z;t) evolue avec le temps. 3.

On donne

~ =A(cos(kz!t)^ex+ sin(kz!t)^ey). (a)

T racer

~ (z;t= 0). Cette onde est-elle transverse ou longitudinale? Comment evolue-t-elle dans l'espace? Que vaut son amplitude localej (z;t= 0)j? (b)

D ecrirecomme ntle c hamp

~ (z;t) evolue avec le temps.

1.6 Intensite de l'onde

Le module carre de la deformation,j (~r;t)j2, en un point donne a un instant donne, represente

l'intensite de l'onde, c'est-a-dire la puissance qu'elle transporte par unite de surface. L'unite d'intensite

est le Wm2. Si l'onde se propage sans dissipation, la puissance de la source,P(t1), emise a l'instantt1,

doit se retrouver, a l'instantt2, sur le front d'onde situe a la distancer=c(t2t1) de la source, si la

propagation est isotrope et la source ponctuelle, c'est-a-dire sur la surface d'une sphere dans un espace

a 3 dimensions :

P(t1) =ZZ

frontd

0ondej (c(t2t1);t2)j2dS= 4r2I;

ouI=j (c(t2t1);t2)j2est uniforme, dans les hypotheses du probleme, sur tout le frond d'onde. A puissance constante,I/1=r2.

1.7 Relation de dispersion

Le milieu selectionne les modes oscillants susceptibles de se propager : ainsi, a un vecteur d'onde ~k donne sera associee une pulsation!, c'est-a-dire !=!(~k):(1.7) Dans l'exemple de l'equation (1.3), une solution harmonique progressive, du typeaei(kx!t)conduira a la relation de dispersion!2=k2c2, c'est-a-dire, en prenant la racine,!=kc. On retrouve bien les modes de propagation gauche et droit.

Cette relation impose de severes restrictions aux ondes, notamment lorsque celles-ci interagissent en

echangeant de l'energie (!) et de l'impulsion (~k), comme cela se produit lorsque le modele de propagation

cesse d'^etre lineaire. Par exemple, lorsque le couplage est quadratique en , deux modes elementaires

(!1;~k1) et (!2;~k2) peuvent interagir pour engendrer un troisieme mode, (!3;~k3), tel que!3=!1+!2 et~k3=~k1+~k2. Mais ce mode n'est eectivement engendre que si sa pulsation et son vecteur d'onde verient la relation de dispersion des ondes dans le milieu :

3=!(~k3):

Cette condition de resonance non-lineaire, en presence de non-linearites quadratiques (melange a trois

ondes), est typique d'une turbulence d'ondes. 8

Chapitre 2

Paquets d'ondes

Sommaire2.1 Qu'est-ce qu'un paquet d'ondes? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .9

2.2 Vitesse de groupe et dispersion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.3 Transport de l'energie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11 2.1 Qu'est-ce qu'un paquet d'ondes?

On s'est essentiellement interesse dans les cas precedents aux ondes monochromatiques, c'est-a-dire composees d'une seule longueur d'onde. Ce type d'ondes, bien que fondamental, n'epuise cependant pas la denition generale que nous avons donnee d'une onde. Nous nous interessons ici a une perturbation quelconque, bornee dans l'espace, pouvant ^etre decrite par une fonction compacte de carre sommable, (~r;t). Ces fonctions peuvent ^etre decomposees sur une base de Fourier, c'est-a-dire une base de fonctions harmoniques : (~r;t) =Z 1

1^ ~kei(!(~k)t~k~r)d~k(2.1)

ou ^ ~k, la transformee de Fourier de , est le poids relatif que represente la composante harmonique ~kdans . L'integrale s'etend de1a +1pour tenir des ondes se propageant dans les deux sens,

!t~k~r. Une premiere consequence de l'ecriture (2.1) resulte de la dualite qui existe entre espaces direct

et reciproque : plus un paquet d'onde est \pique" dans un espace, plus il est \etendu" dans l'autre. Par

exemple, un paquet d'onde gaussien, d'extension spatialexdans l'espace reel, sera decrit comme la superposition de composantes harmoniques, avec une distribution gaussienne, autour de la composante moyenne, d'extension spectralek= 1=x. Le cas extr^eme est la distribution de Dirac, par exemple dans

l'espace reciproque, qui correspond a une ondes harmonique, totalement delocalisee puisque d'extension

innie, dans l'espace reel. Lorsque l'equation d'onde est lineaire, il sut de resoudre le probleme pour un

couple (~k;!) donne pour que le probleme soit resolu dans son entier, les dierentes composantes etant

independantes les unes des autres. Exercice: On s'interesse a une onde, non monochromatique, dont la signature spectrale est un paquet d'onde centre sur le vecteur d'ondek0, et d'extension spectralekk0. 1.

Calculer l'in tegrale:

(x) =12kZ k0+k k

0keikxdk:(2.2)

2. La distribution spatiale (x) peut se voir comme la superposition de composantes de Fouriereikx, ponderees par une distribution spectrale ^ (k) : (x) =Z 1

1^ (k)eikxdk:(2.3)

Que vaut

^ (k)? Representer approximativement le signal (x) ainsi que sa distribution spectrale ^ (k). 3. Iden tierdans l'expression (2.2) ce qui corresp ond ala p orteuse(p etitel ongueurd'onde ) et a la modulation (grande longueur d'onde ).

2.2 Vitesse de groupe et dispersion

Les dierentes composantes spectrales,

~k, qui composent le paquet d'onde peuvent se propager a des

vitessesc(~k) dierentes. Si le principe de superposition s'applique1, cela signie que le paquet d'onde

perd sa coherence initiale au cours de la propagation. Apparaissent alors des oscillations a l'avant et a

l'arriere du paquet au cours du temps. On dit que le paquet sedisperse.

Aux c^otes de la vitesse de phase, on introduit une nouvelle vitesse, qui est celle du paquet d'onde.

Considerons pour cela un paquet d'onde centre sur la composantek0, dans l'espace reciproque, et d'ex-

tension spectrale kk0. La relation de dispersion, developpee en puissance dekk0, s'ecrit !(k) =!(k0) + (kk0)@!@k k

0+O((kk0)2):(2.4)

Dans l'hypothese d'un paquet d'onde compact dans l'espace reciproque,kk0est un inniment petit

d'ordre 1, de sorte que les termes d'ordre superieur dans le developpement (2.4) peuvent ^etre negliges. Il

en resulte, pour le paquet d'onde, en notantk=kk0, (~r;t) =Z 1

1^ (~k)ei(!(~k)t~k~r)d~k(2.5)

= e i(!(~k0)t~k0~r)Z 1

1^ (~k0+~k)ei~k(~r(r~k!)~k0t)d(~k)(2.6)

=G(~r~vgt)ei~k0(~ct~r):(2.7)

A l'approximation lineaire de la relation de dispersion, le paquet d'onde appara^t comme le produit d'une

onde porteuse, e i~k0(~r~ct), dont la phase se propoage a la vitesse de phase,c, et d'une enveloppe,

G(~r~vgt) =Z

1^ (~k0+~k)ei~k(~r(r~k!)~k0t)d~k;(2.8)

qui se propage a la vitessevg. On denit ainsi ~v g=r~k!(2.9) comme lavitesse de groupedu paquet d'onde.

Remarquons que

v g= d(kc)=dk=c+kdc=dk=cdc=d:(2.10) Ainsi, sicest une fonction decroissante de, alorsvg> c: ce sera le cas des ondes capillaires, comme nous le verrons au Chapitre 4. Exercice: Prenons l'exemple de l'equation de Korteweg-de Vrie lineaire : @ @t +c0@ @x +@3 @x

3= 0:(2.11)

ou (x;t) est l'amplitude de la vibration consideree,c0>0 etsont reels. 1. Etablir la relation de disp ersion!=!(k) pour une onde harmonique monochromatique plane.

En deduire la vitesse de phasec(k) =!=kdu modek.

2. Calculer la vitesse de group evg=d!=dkd'un paquet d'onde. Le milieu dans lequel l'onde se propage est-il dispersif?1. C'est-a-dire si l'equation d'onde est lineaire. 10

3.Mon trerque si la vitesse d ependde l'amplitude de l'onde : c0= (equation de Korteweg-de

Vries), l'equation d'onde cesse d'^etre lineaire. Quelle(s) consequence(s) cela implique-t-il? Exercice: Comparaison des vitesses de phase et de groupe. On considere maintenant un paquet de deux ondes =12 (cos1+ cos2), dont les phasesi= k ix!itverient, pour!i, la relation de dispersion des ondes de gravite a la surface d'un uide : !=pgk. On a de plusk1=k0ketk2=k0+k, aveckk0. Tracer l'evolution de cette onde au cours du temps et commentez son allure (on choisira par exemplek0= 8ket on ecrira sous la forme d'un produit). Exercice: On considere dans cette partie le paquet d'onde : (x;t) =12kRe Zk0+k k

0kei(kx!(k)t)dk!

;(2.12) ouRe(a) indique la partie reelle dea. La relation de dispersion est!=ck. 1. Eectuer l'in tegralep ourexprimer (x;t) sous la forme d'une porteuse et d'une modulation. Les identier. 2. Donner la longu eurd'onde et la periodede la porteuse. 3. M ^emesquestions p ourla mo dulationd'amplitude, a vec et Trespectivement. 4. Donner les vitesses de phase vet de groupevg. Comparervac. Commenter.

2.3 Transport de l'energie

Dans un systeme satisfaisant des equations lineaires a coecients constants, il ne peut y avoir aucun

transfert d'energie d'une region du spectre vers une autre. Dans le cadre lineaire, l'intensite de l'onde est

une fonction quadratique de l'amplitude des perturbations,

I(~r;t) =j (~r;t)j2;

la forme (2.7) du paquet d'onde implique donc

I=jG(~r~vgt)j2;(2.13)

c'est-a-dire que l'energie est transportee, dans l'onde, a la vitesse de groupe,~vg. 11

Chapitre 3

Ondes acoustiques

Sommaire3.1 Observations sur le son . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .12

3.2 Equation d'onde de l'acoustique lineaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.3 Solutions de type ondes planes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.4 Vitesse du son . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.5 Energie acoustique et intensite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.6 Eet de la gravite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.7 La source simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.8 Le dip^ole acoustique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.9 Probleme aux limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

22 3.1 Observations sur le son

La theorie des ondes acoustiques, developpee dans la section suivante, doit rendre compte des elements

d'observations suivants : 1. Une observ ationrapide indique que les ob jetssonores son tdans un etatvibratoire. Mais cela est insusant pour decrire le phenomene acoustique : il faut qu'un \lien" continu existe entre l'objet et l'oreille. Le son cesse en eet si l'objet vibrant est place dans une cloche a vide. 2. Le passage du son n'est pas instan tane,comme l emon trel'in tervallede temps qui s' ecouleen tre un eclair et le bruit qu'il engendre. De ce point de vue, la lumiere voyage plus rapidement que le son. Les premieres experiences precises ont ete menees en 1738 par des membres de l'Academie

francaise des Sciences, a l'aide de tirs de canon releves a dierentes distances. Il est une precaution

necessaire a prendre dans ces experiences, a savoir se positionner symetriquement par rapport au canon, an d'eliminer l'in uence du mouvement propre de l'air en masse. Sous le vent, en eet, le son se propage plus vite. Dans un air sec au repos, a 0

C, des observateurs francais1ont mesures

c= 337 m/s. Les mesures donnent generalementcautour de 332 m/s. On remarque l'in uence de la temperature et de la pression surc. 3. T outesles comp osantessp ectralesv oyagent ala m ^emevites se.Dan sle cas con traire,une pi ece musicale deviendrait rapidement confuse et dissonante a quelque distance de l'orchestre. 4. De la m ^ememani ere,la vitesse est ind ependantede l'in tensitede l'onde. On note toutefois des exceptions, lorsque par exemple la perturbation du milieu est violente ou abrupte, ou les variations sont de l'ordre de la densite moyenne du milieu. 5. L'air n'est pas le seul milieu c apablede propager le son. En 1826, Colladon & Stur mme surentla vitesse dans le lac de Geneve, a 8quotesdbs_dbs6.pdfusesText_11

[PDF] P-PAM-307B Ondes et Acoustique dans les Fluides

Ondes et Acoustique dans les Fluides

Notes de cours

Table des matieres

1 Generalite sur les ondes 4

1.1 Modeles d'ondes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.2 Equations d'ondes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.3 Ondes harmoniques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.4 Phase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.5 Ondes longitudinales et transverses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.6 Intensite de l'onde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.7 Relation de dispersion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2 Paquets d'ondes9

2.1 Qu'est-ce qu'un paquet d'ondes? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.2 Vitesse de groupe et dispersion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.3 Transport de l'energie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3 Ondes acoustiques12

3.1 Observations sur le son . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.2 Equation d'onde de l'acoustique lineaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.3 Solutions de type ondes planes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.4 Vitesse du son . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.5 Energie acoustique et intensite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.6 Eet de la gravite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.7 La source simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.8 Le dip^ole acoustique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.9 Probleme aux limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4 Ondes gravito-capillaires 24

4.1 Ondes de gravite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.1.1 Equation d'onde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.1.2 Ondes harmoniques en eaux profondes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.1.3 Ondes de gravite en eau peu profonde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.2 Ondes capillaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.3 Vitesse de groupe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.4 Attenuation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5 Ondes de gravite internes 33

5.1 Stratication continue du milieu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5.2 Approximation de Boussinesq . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5.3 Relation de dispersion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5.4 Vitesses de phase et de groupe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6 Ondes dans les

6.1Equation d'onde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .37

6.2 Relation de dispersion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6.3 Ondes geophysiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7 Equations d'ondes non-lineaires 42

7.1 Fronts et chocs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7.2 Solitons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7.3 Collision de solitons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7.4 Methode des caracteristiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7.5 L'equation de Schrodinger non-lineaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Chapitre 1

Generalite sur les ondes

1.2 Equations d'ondes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.3 Ondes harmoniques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.4 Phase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.5 Ondes longitudinales et transverses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.6 Intensite de l'onde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.7 Relation de dispersion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7 1.1 Modeles d'ondes

L'onde est irreductible au corpuscule. Toujours?

1.2 Equations d'ondes

M(t) (x;t) = O(tx=c) (tx=c):(1.1)

Chapitre 7.

2c2@2@x

2c2@2 @x

3= 0:(1.5)

1.3 Ondes harmoniques

Les ondes harmoniques, de la forme cos, sin, e

A(x;t)@2 @t

2+B(x;t)@2 @t@x

2+D(x;t)@ @t

2c2@2 @x

2= 0; ii)@ @t

1.4 Phase

1.5 Ondes longitudinales et transverses

On donne = x(z;t)^ex+ y(z;t)^ey+ z(z;t)^ez.

Quelle est la direction du v ecteurd'onde

A quelle condition l'onde est-elle transv erse?

On donne

T racer

D ecrirecomme ntle c hamp