Exercice 1 (6½ points) Oscillations dun pendule élastique
Exercice 1 (6½ points) Oscillations d'un pendule élastique horizontal Un pendule élastique (R) est constitué d'un solide (S) de masse m, attaché à l'extrémité A d'un ressort horizontal de constante k = 80 N/m ; l'autre extrémité B du ressort est fixée à un support fixe comme l’indique le document (Doc 1) ci-contre
Etude des effets non linéaires observés sur les oscillations
Etude des effets non linéaires observés sur les oscillations d’un pendule simple BUP 891 p 167 - Fév 2007 Par Thomas Gibaud 1 et Alain Gibaud 2 1- Université de Fribourg, Département de Physique, Chemin du Musée 3, 1700 Fribourg, Suisse
Cour physique : Oscillation d’un pendule élastique
Cour physique : Oscillation d’un pendule élastique 4éme M - S exp A- Etude des oscillations mécaniques non amorties L’élongation X(t), prend des valeursnégatives et positive au cour du temps L’élongationX(t) change leur signe sans diminutiond’amplitude (les frottements sons négligeables)
I-Oscillations forcées d’un pendule
I-Oscillations forcées d’un pendule Un pendule simple est constitué d'un point matériel M de masse m, suspendu à un point A situé sur l'axe Ox d'un repère R(Oxyz) (fixe par rapport au référentiel du laboratoire R supposé ici galiléen) par un fil de masse négligeable et de longueur ℓ On note θ l'angle que fait le fil que l'on
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Les oscillations d’un pendule simple non amorti sont périodiques(c’est un système mécanique oscillant) Pour des oscillations d’amplitudeassez faibles (θm
Chapitre 5: Oscillations d’un pendule élastique horizontal
5 Oscillations d'un pendule élastique horizontal 2 Expérience fondamentale: pendule élastique horizontal a) Description du pendule élastique Disposons sur un rail à coussin d’air un chariot pouvant glisser pratiquement sans frottement Il est attaché à l’une des extrémités d’un ressort L’autre extrémité du ressort est fixe Les
Chapitre 15 : Études énergétiques en mécanique
Activité expérimentale 3 : Étude d’un pendule avec un smartphone Présentation Cette activité propose d’étudier les oscillations d’un pendule à l’aide de l’accéléromètre d’un smartphone Cette étude sera réalisée à l’aide de l’application Phyphox pour smartphone Durée estimée 80 minutes :
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Etude des effets non linéaires observés sur les oscillations d'un pendule simple
BUP 891 p 167 - Fév. 2007
Par Thomas Gibaud
1 et Alain Gibaud 21- Université de Fribourg, Département de Physique, Chemin du Musée 3, 1700 Fribourg, Suisse.
thomas.gibaud@unifr.ch2- Université du Maine, Laboratoire de Physique de l'Etat Condensé, Faculté des Sciences, UMR 6087
CNRS, 72085 Le Mans Cedex 09. RÉSUMÉ
Nous présentons dans cet article une étude des effets non linéaires engendrés par l'anharmonicité
du potentiel du pendule simple. Dans un rappel théorique nous mettons en évidence que l'anharmonicité
du potentiel engendre des harmoniques supplémentaires et le non isochronisme des oscillations. Ces
phénomènes sont d'autant plus importants que l'on s'écarte des oscillations aux petits angles, le régime de
validité de l'approximation harmonique. La mesure est appréhendée au moyen du boîtier d'acquisition
SYSAM-SP5 couplé au logiciel Latis pro et du pendule commercialisé par Eurosmart. Nous montrons
que seule une analyse fine par simulation de la courbe enregistrée permet d'obtenir une précision suffisante
pour décrire l'évolution quadratique de la période en fonction de l'amplitude des oscillations. Nousconstatons que nous pouvons détecter les harmoniques supplémentaires dans les oscillations lorsque
l'amplitude devient très élevée. 1. IntroductionLe pendule simple appartient à cette famille de systèmes physiques qui déplacés légèrement de leur
position d'équilibre se mettent à osciller autour de cette position d'équilibre. De tels systèmes sont très communs
en physique aussi bien en mécanique (pendule, ressort... [1]) qu'en électricité (circuitRLC série) ou encore en
physique du solide (vibration d'un atome dans le réseau cristallin [2,3]). Pour peu que le mouvement d'oscillation
soit de faible amplitude, le système se comporte comme un oscillateur linéaire encore appelé oscillateur
harmonique. Mais dès que l'amplitude des oscillations devient grande alors le système devient un oscillateur non
linéaire.L'objectif de cet article est d'aborder d'abord théoriquement puis expérimentalement la non linéarité en
prenant l'exemple du pendule simple. Dans un premier temps nous montrons que les effets non linéaires, à
savoir la présence d'harmoniques supplémentaires dans le régime des oscillations et la dépendance de la période
en fonction de l'amplitude maximale des oscillations, découlent de l'anharmonicité du potentiel du pendule.
Dans la 2ième
et 3 ième partie nous nous attachons à mettre en évidences de façon expérimentale ces deux effetsnon linéaires. Comme ces effets correspondent à de faibles corrections du modèle harmonique, nous attachons
une importance capitale à la mesure et à la précision avec laquelle elle est effectuée. 2. Théorie : origine et conséquences des effets non linéaires
Le système étudié est un pendule simple de longueur, l, de masse, m. L'amplitude des oscillations est
transforme le signal mécanique en signal électrique. La masse est suffisamment éloignée de l'axe de rotation pour
traiter le problème dans l'approximation de la mécanique du point, ce qui revient à admettre que le pendule est
un pendule simple.L'étude des effets non linéaires jouant sur les oscillations d'un pendule simple s'inscrit dans la
thématique plus générale des effets de non linéarité dus à un potentiel anharmonique [4,5]. Un potentiel est
harmonique s'il est quadratique en fonction du paramètre décrivant les variations de position du système autour
de sa position d'équilibre. Il est anharmonique dans le cas contraire. L'exemple typique du potentiel harmonique
est celui du pendule élastique pour lequel E p =½kx 2 , x étant le degré de liberté du système. Un potentiel peutsouvent être approximé par un potentiel harmonique pourvu que le système ne s'écarte pas trop de sa position
d'équilibre stable. Lorsque l'amplitude des oscillations du pendule simple devient trop importante
l'approximation de l'énergie potentielle par un potentiel harmonique est insuffisante. Examinons le cas du
pendule simple.Un pendule simple en absence de frottement est mécaniquement isolé. L'énergie mécanique se conserve. Comme
le système ne possède qu'un degré de liberté, la dérivée de l'énergie mécanique par rapport au temps conduit
directement à l'équation différentielle du mouvement : 2 2 001Energie cinétique : 2
Energie potentielle : 1 cos
Convention: ( 0 ) 0
sin 0, avec c p p cp Eml Emgl E gEE E cstel
L'équation du mouvement est non linéaire du fait de la présence du sinus qui dérive de l'énergie potentielle. Pour
résoudre une telle équation, de façon générale, on développe l'énergie potentielle en série de Taylor autour de la
position d'équilibre. Plus on prend en considération de termes de puissance élevée, meilleure est l'adéquation
entre le potentiel et le développement. On peut alors espérer décrire le comportement du pendule pour des
amplitudes d'oscillations élevées. P 232 23
0
000 par
convention0 car leapproximation 0 car le potentiel potentielharmonique est pair présentedu potentiel E ( )= un minimum en 0
11(0)26
pp p pp dE d E d EEEdd d er P 4 344 0
1 terme non linéaire
E(-)1...24
p dE dDans l'approximation harmonique où approximation des petits angles, on s'arrête dans le développement de
l'énergie potentielle au terme d'ordre 2. L'équation différentielle précédente s'identifie alors à celle d'un
oscillateur harmonique : m l gSystème
d'acquisition e e r T T TTT TZT 2 2 2 0 potentiel harmonique : 21 petit force de rappel :
équation linéaire : + 0
p pEmgl o
dE mgld Fee La période est alors indépendante de l'amplitude des oscillations et s'écrit : 0 022lTcsteg
plus loin pour obtenir une meilleure description de l'énergie potentielle. On se limite à l'ordre 4, l'idée étant que,
TTT T TTT T TZ T 244 3 3 2 0 potentiel anharmonique : 224 1 grand force de rappel : =6
équation non linéaire : + 0
6 p pEmgl o
dE mgld Fe eL'équation différentielle est connue sous le nom d'équation de Duffing sans force motrice et peut être résolue en
utilisant la méthode perturbative de Poincaré-Lindstedt [6-8]. Contrairement au cas de l'oscillateur harmonique la
phénomènes : phénomène non linéaire. Cette non linéarité n'est pas sans conséquences. Le principe de
superposition des solutions n'est désormais plus valable. Il en résulte qu'on ne peut plus appliquer la méthode
traditionnelle des nombres complexes pour résoudre l'équation différentielle. -180 -120 -60 0 60 120 1800.00.51.01.52.00 30 60 90 120 150 1800.11101001000 E p /mgl E p E p,o( 2 E p,o( 4 erreur relative [%]Figure 2 : (a) comparaison entre l'expression exacte de l'énergie potentielle et l'approximation harmonique, développement
au 2 nd ordre et le développement au 4 ième ordre. (b) Erreur relative entre l'expression exacte de l'énergie potentielle et l'approximation harmonique et le développement au 4 ième ordre. 3 dans l'équation engendre des harmoniques d'ordre 3, [2,5,9]. 33sin sin3sin4ttt
0plus simple mathématiquement de procéder par corrections successives que de s'attaquer directement à la
solution sans approximation souvent incalculable de façon littérale. La résolution de l'équation différentielle non
linéaire se fait en y injectant la solution préconisée. TTZ T TTZHZ ZTZTZHZZTZHZ Z H
3 2 0 0 2322 3
0 00
Equation : + 0 6
Solution préconisée : ( ) sin sin3
sin 3 sin3 sin 3 sin3 sin 0 6ttt tt tt toEn regroupant les termes de même harmonicité et en identifiant les préfacteurs, on trouve :
ZTZZZ ZHZ Z H
T TS T H 2322 2 2
0 00 2 2 0 000 2 0 sin sin3 9 0241 avec 2
16192tt o
lTT o Tg
Les effets non linéaires sur le pendule simple se manifestent doublement. L'anharmonicité du potentiel
engendre des harmoniques supplémentaires et le non isochronisme des oscillations. Nous rappelons à ce titre
que les oscillations sont dites isochrones si leur période est indépendante de l'amplitude. On voit très bien que les
oscillations ne peuvent être isochrones que pour des amplitudes très faibles.Il s'agit désormais de mettre en évidence expérimentalement les effets non linéaires observables sur le
pendule, à savoir, la variation de la période avec l'amplitude maximale des oscillations et la présence
d'harmoniques. Comme ces phénomènes correspondent à de faibles corrections par rapport à ce que l'on peut
attendre du modèle de l'oscillateur harmonique, il est pertinent de se demander si on peut détecter
expérimentalement ces corrections. La précision et l'incertitude avec laquelle les mesures sont effectuées sont
donc centrales dans ce travail expérimental. Elles dépendent du matériel utilisé : le boîtier d'acquisition SYSAM-
SP5, le logiciel Latis pro et le pendule commercialisé par Eurosmart.3. Expérience : étude du non isochronisme des oscillations
D'après la partie théorique, la variation absolue de période du pendule évolue de façon quadratique par
0 2 0 00 -16TT T 0 s'exprime en radians ce qui montre que la variation absolue de période reste 0 (rad) 0 (deg)/60). Il est donc utile de prendre un pendule le plus long possible pour que les variations de période en fonction de l'amplitude soient plus facilement détectables.La question importante qui se pose ensuite concerne la précision expérimentale avec laquelle la période peut être
0 =30°.Il faut donc pouvoir mesurer la période à mieux que le 0.1% si l'on veut espérer mesurer l'effet de non
isochronisme. A ceci s'ajoute le problème de l'amortissement du pendule. L'amortissement par frottement
visqueux induit une augmentation de la période d'oscillation du pendule [10]. Pour un pendule donné (et à faible
vitesse) cet effet est constant ce qui permet de l'intégrer à T 0La Figure 3a montre la variation de l'amplitude en fonction du temps. Une vue agrandie correspondant à
plusieurs pseudo-périodes est présentée sur la Figure 3b et une vue détaillée d'une oscillation est donnée Figure
3c. De cette dernière figure, on peut constater que l'incertitude sur la mesure est double et intimement lié à la
numérisation du signal. Elle provient à la fois du pas temporel d'acquisition, encore appelé période
d'échantillonnage, Te et du quantum, q=0.35°qui est la plus petite variation angulaire mesurable. Dans cet article
toutes les acquisitions ont été réalisées avec une période d'échantillonnage Te=1ms.
0 50 100 150 200-50-40-30-20-1001020304050
012345678910-20-1001020
5.08 5.12 5.16 5.20 5.24 5.2812131415161718192021
ca t [s] b t [s] t [s] 0 =20.8°. La courbe en trait pleinreprésente l'ajustement d'une sinusoïdale sur les points expérimentaux. (c) zoom sur les détails de la courbe permettant de
mettre en évidence les paramètres d'acquisition : quantum et échantillonnage.A partir de cette expérience, on peut dégager trois méthodes permettant d'obtenir la période. La première
consiste à effectuer la transformée de Fourier du signal. Cette méthode est toutefois inadaptée car comme on le
voit les oscillations sont amorties ce qui impose de limiter le temps de mesure à quelques périodes pour avoir une
amplitude constante. Cette limitation sur le temps total d'acquisition est un frein à la précision de la mesure de la
fréquence d'oscillation puisque l'incertitude sur la fréquence est égale à l'inverse du temps d'acquisition Le pas
fréquentiel dans l'espace de Fourier est donné par 1/NTe, ou Te est la période d'échantillonnage et N le nombre
de points de mesure. Il s'ensuit que le pas fréquentiel est donné par l'inverse du plus grand temps mesuré lors de
l'acquisition, à savoir la durée totale d'acquisition NTe. A titre d'exemple, pour un temps d'acquisition de 10s
l'amplitude est quasi constante mais la précision sur la fréquence des oscillation dans l'espace de Fourier n'est
que de 0.1Hz soit environ 15% d'erreur relative : f(20.8°)=0.7±0.1 Hz. La seconde méthode consiste à mesurer 5
périodes avec le curseur. On se place non sur la crête de l'oscillation mais sur le milieu de l'oscillation où la pente
est la plus forte pour mesurer la période le plus précisément possible. Cette méthode est presque convenable
puisque sur l'exemple choisi, on obtient la période à 0.2% près : T(20.8±0.2°)=1.532±0.003s. L'incertitude est
plus grande que la période d'échantillonnage, Te. En effet, comme on le voit sur la figure 3c, la fonction varie
par palier de hauteur, le quantum, car le temps nécessaire à l'amplitude pour varier d'un quantum est plus long
que Te. La dernière méthode consiste à ajuster un modèle de sinusoïdal pour déterminer la période. Lors de
l'ajustement, voir graphe 3b, on prend en compte les incertitudes liées à l'acquisition pour évaluer les incertitudes
sur les paramètres ajustés, à savoir l'amplitude, la phase à l'origine et la période. Cette méthode est convenable
puisque sur l'exemple choisi on obtient la période à 0.04% près : T(20.8±0.2°)=1.5314±0.0005s.
Nous avons testé les 2 dernières méthodes de mesure de la période : la méthode du " curseur » et la
méthode de " l'ajustement sinusoïdal ». Les résultats figure sur le graphe 4. La méthode du curseur présente une
ambiguïté. Effectivement, les incertitudes sont telles qu'aussi bien un ajustement linéaire que l'ajustement du
modèle non linéaire s'adapte aux mesures. Comme le système oscille autour de sa position d'équilibre :
dE pmesures ne sont pas assez précises pour infirmer ou confirmer le modèle. Par contre, on constate que la dernière
méthode est suffisamment précise pour valider sans ambiguïté l'effet non linéaire et son modèle. Les résultats
sont en effet en parfaite adéquation avec le modèle pour des angles jusqu'à 30°. Une méthode quantitative pour
2 2 est la grandeur que l'on 2 22Théorique
=n-k ou n est le nombre de points expérimentaux et k est le nombre de paramètres 2 2 théorique, 9, signe que l'on a probablement un peu surévalué les incertitudes. 2 0 0 0 2Modèle : 116
1.5191 0.0003
Ajustement : 1.03 0.03
5.8 TT a
Ts aAu-delà de 30°, la période mesurée est supérieure à celle prédite par le modèle. Cet écart varie dans le bon sens.
Effectivement dans le modèle, nous nous sommes limité au second ordre et les ordres supérieurs on une
contribution additive sur la période, [2, 5].0 3 6 9 12 15 18 21 24 27 301.51501.51751.52001.52251.52501.52751.53001.53251.53501.53751.54001.54251.54500 3 6 9 12 15 18 21 24 27 301.51501.51751.52001.52251.52501.52751.53001.53251.53501.53751.54001.54251.54500 1020304050607080901.501.521.541.561.581.601.621.641.661.681.701.721.74
cba T [s]Figure 4 : (a) Mesure de la période selon la méthode du " curseur ». La courbe en trait plein représente l'ajustement du
modèle non linéaire. La courbe en pointillé représente un ajustement linéaire (b) Mesure de la période selon la méthode de
" l'ajustement sinusoïdal ». La courbe en trait plein représente l'ajustement du modèle non linéaire. Les incertitudes sont plus
importantes aux faibles amplitudes car le rapport entre le quantum et l'amplitude est plus faible donc l'ajustement de la
sinusoïde ou le pointage avec le curseur est moins précis. (c) Variation de la période en fonction de l'amplitude sur une plage
angulaire plus étendue. La courbe en trait plein représente toujours le modèle.4. Expérience : mise en évidence de l'harmonique d'ordre 3
La détection de l'harmonique d'ordre 3 est encore plus délicate car le préfacteur du terme correctif, est en
0 2/192 c'est-à-dire plus de 10 fois plus petit que la correction équivalente sur la période. Compte tenu du
quantum imposé par la carte d'acquisition, la mesure est effectuée à 0.35° près, il faut donc aller à des angles bien
0l'amplitude des harmoniques y est supérieure d'un facteur trois comme on le voit sur les expressions théoriques
au 1 er 0 0 (t)= [sin t+ sin3 t]+o (t)= [cos t+3 cos3 t]+oTZT Z H Z H
On obtient la vitesse angulaire en dérivant l'amplitude par rapport au temps. Comme le signal est numérique, il y
a des discontinuités locales d'amplitude (voir figure 3c), le quantum, qui engendrent des pics dans la dérivée. Ces
pics sont des artéfacts de la numérisation. Une solution consiste à lisser la courbe avant de la dériver.
5a. Contrairement au signal
d'harmoniques impairs. Le graphe 5b représente la densité spectrale normalisée dedensité spectrale est égale au carré de la norme de l'amplitude de la transformée de Fourier du signal. La
transformée de Fourier est un outil mathématique très intéressant puisqu'il permet de visualiser les composantes
sinusoïdales constitutive du signal. On trace plutôt la densité spectrale que l'amplitude spectrale afin de mieux
faire ressortir les harmoniques par rapport au bruit. Comme l'atteste le modèle, on observe bien la présence
d'harmoniques d'ordre 3 dont l'amplitude est respectivement de (3%) 2 et (10%) 2le spectre de la vitesse on observe même l'harmonique d'ordre 5. Cette harmonique trouve sa justification si l'on
développe le modèle à l'ordre 3 en012345678910-180-120-600601201802400.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.510
-5 10 -4 10 -3 10 -2 10 -1 10 0 a v/ et v/ t [s]bDensité spectrale normalisée
f [Hz] v/l'amplitude au préalable lissée sur 10 points. (b) densité spectrale normalisée par rapport au pic du fondamental de
l'amplitude et de la vitesse angulaire. L'harmonique fondamental est situé à f 0 =0.42Hz. Rq1 : Vu que l'on effectue unetransformée de Fourier sur 10s l'axe des fréquences est gradué de 0.1Hz en 0.1Hz. Rq2 : la transformée de Fourier sous
Latis Pro est améliorée par rapport à une transformée de Fourier normale en se sens qu'elle cale l'échantillonnage de l'axe
des fréquence sur la fréquence du fondamental.5. Conclusion
Nous avons mis en évidence les effets non linéaires du à l'anharmonicité du potentiel sur l'exemple du
pendule. Nous avons montré que les effets non linéaires sont facilement observables sur la période pour peu
que la période soit déterminée de façon précise. Le comportement de la période est bien interprété en
développant l'énergie potentielle à l'ordre 4. La période est alors une fonction quadratique de l'amplitude des
oscillations au moins dans une large gamme d'amplitude allant de 0° jusqu'à 30°. Ce développement prévoit aussi
que des harmoniques d'ordre 3 apparaissent dans la solution de l'équation différentielle non linéaire. Les mesures
des oscillations à des amplitudes angulaires élevées permettent de les mettre en évidence.
Bibliographie
[1] R. Duffait, Étude expérimentale des oscillateurs mécaniques, BUP Vol. 98 - Octobre 2004.
[2] C. Kittel; W. Knight; M. Ruderman ; P. Lallemand (Trad.), Mécanique Vol. 1, Berkeley : cours de physique, Paris :A. Colin.
[3] A. Guinier, La structure de la matière, Hachette : CNRS, Collections liaisons scientifiques, p54. [4] Atam P. Arya,Introduction to classical mechanics, 2
nd edition, 1998, Prentice Hall. [5] J.-P. Mathieu, Vibration et phénomène de propagation, tome1 : oscillateurs, Masson et Cie 1974, p195. [6] H. Goldstein, C. Poole, and J. Safko,Classical Mechanics, 3
rd ed. Addison-Wesley, Boston, 2001.[7] R. A. Nelson and M. G. Olsson, "The pendulum: Rich physics from a simple system," Am. J. Phys. 54, 2,
112-121, (1986).
[8] Perturbation of a classical oscillator: A variation on a theme of Huygens, Salvador Gila and Daniel E. Di