I-Oscillations forcées d’un pendule

Exercice 1 (6½ points) Oscillations d'un pendule élastique horizontal Un pendule élastique (R) est constitué d'un solide (S) de masse m, attaché à l'extrémité A d'un ressort horizontal de constante k = 80 N/m ; l'autre extrémité B du ressort est fixée à un support fixe comme l’indique le document (Doc 1) ci-contre

Etude des effets non linéaires observés sur les oscillations

Etude des effets non linéaires observés sur les oscillations d’un pendule simple BUP 891 p 167 - Fév 2007 Par Thomas Gibaud 1 et Alain Gibaud 2 1- Université de Fribourg, Département de Physique, Chemin du Musée 3, 1700 Fribourg, Suisse

Cour physique : Oscillation d’un pendule élastique

Cour physique : Oscillation d’un pendule élastique 4éme M - S exp A- Etude des oscillations mécaniques non amorties L’élongation X(t), prend des valeursnégatives et positive au cour du temps L’élongationX(t) change leur signe sans diminutiond’amplitude (les frottements sons négligeables)

I-Oscillations forcées d’un pendule

I-Oscillations forcées d’un pendule Un pendule simple est constitué d'un point matériel M de masse m, suspendu à un point A situé sur l'axe Ox d'un repère R(Oxyz) (fixe par rapport au référentiel du laboratoire R supposé ici galiléen) par un fil de masse négligeable et de longueur ℓ On note θ l'angle que fait le fil que l'on

aSalle Les oscillations libres - AlloSchool

Les oscillations d’un pendule simple non amorti sont périodiques(c’est un système mécanique oscillant) Pour des oscillations d’amplitudeassez faibles (θm

Chapitre 5: Oscillations d’un pendule élastique horizontal

5 Oscillations d'un pendule élastique horizontal 2 Expérience fondamentale: pendule élastique horizontal a) Description du pendule élastique Disposons sur un rail à coussin d’air un chariot pouvant glisser pratiquement sans frottement Il est attaché à l’une des extrémités d’un ressort L’autre extrémité du ressort est fixe Les

Chapitre 15 : Études énergétiques en mécanique

Activité expérimentale 3 : Étude d’un pendule avec un smartphone Présentation Cette activité propose d’étudier les oscillations d’un pendule à l’aide de l’accéléromètre d’un smartphone Cette étude sera réalisée à l’aide de l’application Phyphox pour smartphone Durée estimée 80 minutes :

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O M (m) xe ye A g ze θe re Physique PCSI DS8 Questionnaire à Choix Multiples Lundi 27 avril 2020 Le nombre de points attribués diffère selon les questions. Il y a une seule bonne réponse à chaque question.

Des points négatifs sont attribués en cas de réponse fausse (en général -0,5 point pour les questions à +1point, -1 points pour les questions à +2 points).

De nombreuses questions sont indépendantes, ne pas abandonner " trop vite » un exercice.

I-Oscillations forcées d'un pendule

Un pendule simple est constitué d'un point matériel M de masse m, suspendu à un point A situé sur l'axe O x d'un repère R(Oxyz) (fixe par rapport au référentiel du laboratoire R supposé ici galiléen) par un fil de masse négligeable et de longueur ℓ. On note θ l'angle que fait le fil que l'on supposera constamment tendu avec la verticale Oy de R(Oxyz) (cf. figure ci-contre). xe, yeet ze sont les vecteurs unitaires de la base cartésienne. re, θe et ze sont les vecteurs unitaires de la base cylindropolaire dont A est un point fixe (voir figure). On néglige tout frottement. Le point de suspension A est animé d'un mouvement de translation rectiligne sinusoïdal suivant l'axe O x de R(Oxyz), d'amplitude x

0 et de pulsation ω. On note xA = x0.sin(ω.t) l'abscisse instantanée de A.

0 et ω sont des constantes positives.

On pose ω

0 = ℓ

g : pulsation propre du pendule.

1°) Exprimer dans la base polaire, l'accélération ade M par rapport au référentiel du laboratoire.

A : ra . .e . ².eθ= θ + θ ɺɺ ɺℓ ℓ ; B : ()()r00e.)sin().t.sin(.x².²..e.)cos().t.sin(.x²..aθωω+θ-θωω-θ=θɺℓɺɺℓ ;

C :

()()00 ra . ².x .cos( .t).cos( ) .e . ² ².x .sin( .t).sin( ).eθ= θ+ω ω θ - θ +ω ω θ ɺɺ ɺℓ ℓ ;

D :

()()00 ra . ².x .sin( .t).sin( ) .e . ² ².x .sin( .t).cos( ).eθ= θ-ω ω θ + θ +ω ω θ ɺɺ ɺℓ ℓ ;

()()00 ra . ².x .sin( .t).cos( ) .e . ² ².x .sin( .t).sin( ).eθ= - θ+ω ω θ + θ +ω ω θ ɺɺ ɺℓ ℓ ;

F :

()()00 ra . ².x .sin( .t).cos( ) .e . ² ².x .sin( .t).sin( ).eθ= θ+ω ω θ - θ +ω ω θ ɺɺ ɺℓ ℓ

2°) Projection des forces dans la base cylindropolaire :

a) Le poids A :

rP m.g.cos( ).e m.g.sin( ).eθ= θ + θ ; B : rP m.g.sin( ).e m.g.cos( ).eθ= θ + θ

rP m.g.cos( ).e m.g.sin( ).eθ= θ - θ ; D : rP m.g.sin( ).e m.g.cos( ).eθ= θ - θ

b) La force de tension du câble A:

rT T .e= + ; B : rT T .e= - ; C: rT T. cos( ).e T .sin( ).eθ= θ - θ ; D : rT T. cos( ).e T .sin( ).eθ= θ + θ

3°) Appliquer le principe fondamental de la dynamique et en déduire l'équation différentielle vérifiée par θ.

A :

0. g.sin( ) ².x .sin( .t).cos( )θ- θ = ω ω θɺɺℓ ; B : 0. g.cos( ) ².x .sin( .t).sin( )θ+ θ = ω ω θɺɺℓ

0. g.sin( ) ².x .sin( .t).cos( )θ+ θ = -ω ω θɺɺℓ ; D : 0. g.cos( ) ².x .sin( .t).sin( )θ+ θ = -ω ω θɺɺℓ

)cos().t.sin(.x².)sin(.g.0θωω=θ+θɺɺℓ ; F : 0. g.sin( ) ².x .sin( .t).cos( )θ- θ = -ω ω θɺɺℓ

4°) Que devient cette équation différentielle si on se limite à l'étude des mouvements de faibles amplitudes, (hypothèse

des petits angles) ? A : 0g ².x. .sin( .t)ωθ- θ = ωɺɺ ℓ ℓ ; B : 0g ².x. .sin( .t). 0ωθ+ θ- ω θ =ɺɺ C:

0g ².x. .sin( .t)ωθ- θ = ωɺɺ

ℓ ℓ ; D : 0g ².x. .cos( .t)ωθ+ θ = - ωɺɺ E:

0g ².x. .sin( .t)ωθ- θ = ωɺɺ

ℓ ℓ ; F : 0g ².x. .sin( .t)ωθ+ θ = ωɺɺ

5°) La solution de cette équation différentielle peut s'écrire :

θ (t) = θ

1(t) + θ2 (t) où θ1 (t) est le régime libre (solution de l'équation sans second membre) et θ2(t) est une solution

particulière de l'équation différentielle (ici une sinusoïde de pulsation ω : θ

2 = θm.sin(ω.t +?).

a) Donner l'expression générale (définie à deux constantes près que nous noterons A et B et que l'on ne peut pas

déterminer dans un premier temps puisque la solution particulière n'est pas connue) de la solution de l'équation sans

second membre : θ 1(t).

A : ))

99
8: 99
8: =θt.gsin.Bt.gcos.A C: E:

b) On s'intéresse à présent la solution particulière de l'équation différentielle θ2 (t) que nous écrirons sous la forme :

2 (t)= θm.sin(ω.t + φ). En utilisant la notation complexe et notamment le nombre complexe

θ= θm.exp(j(ωt + ?)) = )t(j

me?+ωθ, on a θ2 (t) = Im (θ).

On note par ailleurs

)t.jexp(.xx0Aω=, le nombre complexe associé à xA(t), on a xA (t) = Im (Ax).

Donner l'expression de la fonction de transfert

Ax.Hθ=

ℓ ; On donnera H en fonction de g, l et ω puis en fonction de ω et ω 0. A : A 0 . . ² ²Hx g . ² ² ² ℓ ; B : A 0 . . ² ²Hx g . ² ² ² C : A 0 . . ² ²Hx g . ² ² ² ℓ ; D : A 0 . . ² ²Hx g . ² ² ² c) Déterminer l'expression littérale de θ

2(t) pour : ω < ω0.

A : ( ))t.sin(.².x².2

2ωω-ωω=θℓ ; B : ( )

0 22

0².x.sin( .t). ²-ωθ = ωω -ωℓ

C : 0 22

0².x.sin( .t). ²-ωθ = ωω + ωℓ ; D: ( )

0 22

0².x.sin( .t). ²ωθ = - ωω + ωℓ

d) Déterminer l'expression littérale de θ

2(t) pour : ω > ω0.

A : 0 0 22

0² ² .x.sin( .t). ²ω +ωθ = ωω -ωℓ ; B : ( )

0 22

0².x.sin( .t). ²-ωθ = ωω -ωℓ

C : ( ))t.sin(.².x². 020 2

π+ωω-ωω=θℓ ; D: ( )

0 22

0².x.sin( .t). ²ωθ = - ωω + ωℓ

e) Que se passe-t-il si ω= ω 0 ?

A : θ

2 = 0 ; B : θ2 = diverge et l'hypothèse des petits angles n'est plus valable

C : 0

2xθ = -ℓest position d'équilibre ; D : 0

2xθ = +ℓest position d'équilibre

A : B :

C : D : f) Nous avons ω ≠ ω

0. Déterminer les valeurs des coefficients A et B de θ1 (t) et donner ainsi l'expression complète de

θ(t) en fonction de x

0, ω, ℓ, ω0 et t sachant qu' à l'instant initial : t = 0, nous avons (θ)t = 0 = 0 et

0tdtd=)

8: = 0. A : ( )( )0 02

00².x. sin( .t) sin .t. ²

C : ( )( )0 02

00².x. sin( .t) cos .t. ²

00².x. sin( .t) sin .t. ²

E : ( )( )0 02

00².x. sin( .t) cos .t. ²

00².x. sin( .t) sin .t. ²

g) Le graphe du module de la fonction de transfert en fonction de la pulsation

H ( )ω est le suivant :

h) Le facteur de qualité de ce système mécanique est noté Q. A : Q est infini ; B : Q = 10 ; C : Q est nul ; D : Q = 1

2 ; E :

Qω=ω

Sol re

L θ O

ze xe ye g θe M (m) L

II- Modèle réduit en rotation

On considère un avion de modélisme

(de masse m et assimilable à un point matériel M) qui vole en rotation circulaire de rayon L, autour d'un poteau (axe O ze où O est un point fixe) grâce à un câble qui le relie à ce poteau.

On considère donc ici que, durant

tout le mouvement étudié, l'avion vole dans un plan horizontal x yO,e ,e (plan tel que z = 0 t?).

L'accélération de la pesanteur sera

notée g= -g. ze.

Cet avion est propulsé par un moteur

à hélice qui fournit une force

F= F.θe

où F est une constante strictement positive et

θele second vecteur unitaire du système

de coordonnées cylindro-polaires. Les deux autres vecteurs unitaires de ce système

étant

rOMeOM= et ze (voir figure ci-contre). Le câble, toujours tendu, est relié à l'avion par l'une de ses extrémités et à l'axe O ze par l'autre extrémité. Grâce à un anneau, le câble ne s'entoure pas autour de l'axe, il est donc toujours colinéaire à

OM et l'on a OM L= où L est une constante.

On nomme T la force de tension exercée par le câble sur l'avion.

On nomme

µ la force de portance, µest orientée selon le vecteur unitaire ze : zµ.eμ = où µ= μ

(force exercée essentiellement sur les ailes et qui permet à l'avion de se maintenir en l'air).

L'air oppose par ailleurs une force de frottement fluide que l'on modélise ici par f .v= -λ où λ est une constante positive et dOMvdt=

est la vitesse du point M par rapport au référentiel terrestre, considéré ici comme galiléen.

M est repéré dans sa trajectoire par l'angle θ entre xeet OM.

On nomme ω =

dt dθ la vitesse angulaire du point M.

Le référentiel du laboratoire R pourra être considéré comme Galiléen dans ce problème.

1°) Donner l'expression littérale du moment cinétique OL du point M par rapport à O (grandeur à exprimer en

coordonnées cylindro-polaires). A :

O zm.L². .eL= θ ɺɺ ; B : Om.L. .eLθ= θ ɺɺ; C : O zm.L. ².eL= θ ɺ; D : O rm.L². ².eL= - θ ɺ;

E : O rm.L. ².eL= θ ɺ; F : O zm.L². .eL= θ ɺ;

2°) Donner le moment par rapport à O : O/PM du poids P de l'avion.

A : zP/Om.g.L.sin .eM= θ ; B : P/Om.g.L.eMθ= ; C : zP/Om.g.L.cos .eM= θ ;

D :

rP/Om.g.L.cos .eM= θ ; E : zP/Om.g.L.eM= ; F : P/Om.g.L.sin .eMθ= - θ ;

3°) Donner le moment par rapport à O : T/OMde la tension T du câble

A : T/O0M= ; B : rT/OL.T.eM= ; C : T/OL.T.eMθ= ; D : zT/OL.T.eM= - ; E : T/OL.T.eMθ= - ; F : rT/OL.T.eM= - ;

4°) Donner le moment par rapport à O :

µ/OMde la force de portance µ

A :

µ/Oµ.L.eMθ= ; B : zµ/Oµ.L.eM= ; C : zµ/Oµ.L.cos .eM= θ ;

D :

rµ/Oµ.L.eM= - ; E : zµ/Oµ.L.sin .eM= - θ ; F : µ/Oµ.L.eMθ= - ;

5°) Donner le moment par rapport à O :

f/OMde la force de frottement fluide f A :

rf/O.L.eM= -λ ɺ ; B : zf/O.L. ².eM= λ θ ɺ; C : zf/O.L².cos .eM= -λ θ ;

D :

zf/O.L². .eM= -λ θ ɺ; E : f/O.L².sin .eMθ= -λ θ ; F : f/O.L. .eMθ= +λ θ ɺ;

6°) Donner le moment par rapport à O :

F/OMde la force de la force motrice F.

A : F/OL.F.eMθ= - ; B : rF/OL.F.eM= - ; C : F/OL.F.eMθ= ; D : zF/OL.F.eM= - ; E : rF/OL.F.eM= ; F : zF/OL.F.eM= ;

7°) Par application du théorème du moment cinétique par rapport à O, déterminer l'équation différentielle du mouvement.

A :

F.m.L L

λθ- θ =ɺɺ ; B : F.L m

λθ+ θ =ɺɺ ɺ; C : F.m m.L

D : F.L m.L

λθ+ θ =ɺ; E : F.m L

λθ+ θ =ɺɺ ɺ; F : F.m.L m

8°) On sait l'avion est lancé par un manipulateur avec une vitesse initiale

()()0t 0 t 0v v . eθ= == .

Où v

0 est un réel strictement positif.

Résoudre l'équation différentielle vérifiée par la variable d dt θω = et donner ainsi l'expression de la fonction ω (t) :

A : 0vF .t.expL .L m

.L m L

D : 0vF .t F.expL .L m .L

; F :0vF .t F.expL .L m .L

9°) Nous savons que (

θ)t=0 = 0. Déterminer l'expression littérale de θ(t).

B : 0vF m F .tt . . exp 1.L L .L m

A : B : C : D : t (s) v (m.s-1) t (s) v (m.s-1) t (s) v (m.s-1) t (s) v (m.s-1)

10°) On veut calculer le travail de chacune des forces entre l'instant initial et un instant t quelconque (à l'exception du

travail de la force de frottement fluide )t0(fW →que nous calculerons plus tard de manière indirecte). a) Travail du poids A : )t0(PW →= 0 ; B : )t0(PW →= m.g.L.θ ; C: (0 t)PW m.g.L.cos( ) →= θ ; D: (0 t)PW m.g.L.sin( ) b) Travail de la force de portance A : (0 t)µW µ.L.sin( ) →= θ; B : (0 t)µW µ.L.cos( ) →= - θ; C: (0 t)µW µ.L. →= θ ; D: (0 t)µW 0 c) Travail de la tension du câble A : (0 t)TW T .L. →= - θ ; B : (0 t)TW T .L.sin( ) →= - θ ; C: (0 t)TW 0 →= ; D: (0 t)TW T .L.cos( ) d) Travail de la force motrice A : (0 t)FW F.L. →= - θ ; B : (0 t)FW F.L. →= θ ; C: (0 t)FW F.L.sin( ) →= θ ; D: (0 t)FW F.L.cos( )

11°) Donner l'expression littérale de la vitesse limite (notée vlim =

tv ) de l'avion (vitesse à laquelle il finit par se stabiliser). A : t

Fvµ→∞= ; B :

Fvm.→∞=λ

; C: t Fv ; D: tv 0 →∞= ; E : t

Fvm.µ→∞= ;

12°) Tracer le graphe v(t) =v (t) :

13°) On sait qu'à partir de l'instant initial l'avion effectue 5 tours de poteau avant d'atteindre sa vitesse limite.

Calculer le travail

IFW (f)de la force de frottement fluide entre l'état initial " I » et l'état final " F » pour lequel la vitesse

se stabilise (c'est-à-dire au bout de 5 tours de poteau). A : IF 01 F² 1W (f) m. m.v ² 10 .F.L2 2= + - πλ ; B : IF 01 F² 1W (f) m. m.v ² 10 .F.L2 ² 2= - - πλ C: IF 01 F 1W (f) m. m.v ² 5.F.L2 ² 2= - -λ ; D: IF 01 F 1W (f) m. m.v ² .F.L2 2= - -πλ E : IF 01 F² 1W (f) m. m.v ² 5.F.L2 ² 2= - -λ B xe ze E ye • O III- Particule chargée dans un champ électromagnétique uniforme et permanent

Un proton (M) de masse m est placé sans vitesse initiale dans une région de l'espace où règne un champ magnétique

B et un champ électrique E tous deux uniformes et permanents (constants dans l'espace et dans le temps).

On nomme

zyxe,e,e les vecteurs unitaires de la base cartésienne fixes par rapport au référentiel R du laboratoire considéré comme Galiléen. On note x, y et z les paramètres cartésiens de cette base. On a ye.EE= avec E =E > 0 ; xe.BB= avec B=B > 0. A t = 0 le proton, est à l'origine O du repère. Nous rappelons l'expression de la force de Lorentz : )BvE.(qF?+=

On note m la masse du proton et q = + e sa charge

(où e = 1,6.10 -19C > 0).

La région de l'espace où est placé le proton est considérée comme vide et on peut négliger le poids du proton devant

la force de Lorentz. On ne prend en compte aucune force de frottement.

On note v

x, vy, vz , les composantes cartésiennes du vecteur vitesse.

1°) Ecrire Fen coordonnées cartésiennes en fonction de e, vz, vy, B , E et des vecteurs unitaires cartésiens.

A : ()z y y zF e.B.v e.E .e e.B.v .e= - + ; B : ()x y y xF e.B.v e.E .e e.B.v .e= + - ; C: ()y z z yF e.B.v e.E .e e.B.v .e= + - ; D: ()z y y zF e.B.v e.E .e e.B.v .e= + - ; E : ()z y y zF e.B.v e.E .e e.B.v .e= - + + ; F: ()z x x zF e.B.v e.E .e e.B.v .e= + + ;

2°) On veut projeter le principe fondamental de la dynamique dans la base cartésienne et déterminer ainsi le système

d'équations différentielles vérifiées par v x, vy et vz.quotesdbs_dbs5.pdfusesText_10

[PDF] I-Oscillations forcées d’un pendule

I-Oscillations forcées d'un pendule

0 et de pulsation ω. On note xA = x0.sin(ω.t) l'abscisse instantanée de A.

0 et ω sont des constantes positives.

On pose ω

0 = ℓ

1°) Exprimer dans la base polaire, l'accélération ade M par rapport au référentiel du laboratoire.

2°) Projection des forces dans la base cylindropolaire :

3°) Appliquer le principe fondamental de la dynamique et en déduire l'équation différentielle vérifiée par θ.

0. g.sin( ) ².x .sin( .t).cos( )θ- θ = ω ω θɺɺℓ ; B : 0. g.cos( ) ².x .sin( .t).sin( )θ+ θ = ω ω θɺɺℓ

0. g.sin( ) ².x .sin( .t).cos( )θ+ θ = -ω ω θɺɺℓ ; D : 0. g.cos( ) ².x .sin( .t).sin( )θ+ θ = -ω ω θɺɺℓ

4°) Que devient cette équation différentielle si on se limite à l'étude des mouvements de faibles amplitudes, (hypothèse

0g ².x. .sin( .t)ωθ- θ = ωɺɺ

0g ².x. .sin( .t)ωθ- θ = ωɺɺ

5°) La solution de cette équation différentielle peut s'écrire :

θ (t) = θ

1(t) + θ2 (t) où θ1 (t) est le régime libre (solution de l'équation sans second membre) et θ2(t) est une solution

2 = θm.sin(ω.t +?).

A : ))

2 (t)= θm.sin(ω.t + φ). En utilisant la notation complexe et notamment le nombre complexe

θ= θm.exp(j(ωt + ?)) = )t(j

On note par ailleurs

Donner l'expression de la fonction de transfert

Ax.Hθ=

2(t) pour : ω < ω0.

A : ( ))t.sin(.².x².2

2ωω-ωω=θℓ ; B : ( )

0².x.sin( .t). ²-ωθ = ωω -ωℓ

0².x.sin( .t). ²-ωθ = ωω + ωℓ ; D: ( )

0².x.sin( .t). ²ωθ = - ωω + ωℓ

2(t) pour : ω > ω0.

0² ² .x.sin( .t). ²ω +ωθ = ωω -ωℓ ; B : ( )

0².x.sin( .t). ²-ωθ = ωω -ωℓ

π+ωω-ωω=θℓ ; D: ( )

0².x.sin( .t). ²ωθ = - ωω + ωℓ

A : θ

2 = 0 ; B : θ2 = diverge et l'hypothèse des petits angles n'est plus valable

2xθ = -ℓest position d'équilibre ; D : 0

2xθ = +ℓest position d'équilibre

A : B :

C : D : f) Nous avons ω ≠ ω

0. Déterminer les valeurs des coefficients A et B de θ1 (t) et donner ainsi l'expression complète de

θ(t) en fonction de x

0, ω, ℓ, ω0 et t sachant qu' à l'instant initial : t = 0, nous avons (θ)t = 0 = 0 et

0tdtd=)

00².x. sin( .t) sin .t. ²

00².x. sin( .t) sin .t. ²

00².x. sin( .t) cos .t. ²

00².x. sin( .t) sin .t. ²

00².x. sin( .t) cos .t. ²

00².x. sin( .t) sin .t. ²

H ( )ω est le suivant :

2 ; E :

Qω=ω

L θ O

II- Modèle réduit en rotation

On considère un avion de modélisme

On considère donc ici que, durant

L'accélération de la pesanteur sera

Cet avion est propulsé par un moteur

à hélice qui fournit une force

F= F.θe

θele second vecteur unitaire du système

étant

OM et l'on a OM L= où L est une constante.

On nomme

On nomme ω =

1°) Donner l'expression littérale du moment cinétique OL du point M par rapport à O (grandeur à exprimer en

2°) Donner le moment par rapport à O : O/PM du poids P de l'avion.

3°) Donner le moment par rapport à O : T/OMde la tension T du câble

4°) Donner le moment par rapport à O :

µ/OMde la force de portance µ

5°) Donner le moment par rapport à O :

6°) Donner le moment par rapport à O :

F/OMde la force de la force motrice F.

7°) Par application du théorème du moment cinétique par rapport à O, déterminer l'équation différentielle du mouvement.

F.m.L L

λθ- θ =ɺɺ ; B : F.L m

D : F.L m.L

λθ+ θ =ɺ; E : F.m L