Les polynômes : exercices
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POLYNOMES exercices - bagboutonfileswordpresscom
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Exercice no 1 : Multiplication des polynômes
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Polynômes - Licence de mathématiques Lyon 1
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Exercices de révisions : Polynômes Attention, seuls les correctifs des 3 premières questions sont disponibles sur le site internet Exercice 1 Soit ( ) ( ) ( ) 1 Réduis, si nécessaire, les termes semblables et ordonne les polynômes par rapport aux puissances décroissantes de la variable 2 Les polynômes précédents sont-ils complets
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Corrigé exercices : les polynômes Exercice 1 : Développer, réduire et ordonner chacun des polynômes suivants selon les termes de degrés décroissants :
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NOM : POLYNOMES 1ère S
Exercice 1
Parmi les 5 affirmations suivantes, dire si elles sont vraies ou fausses. Si elles sont vraies, les démontrer, si elles
sont fausses, donner un contre-exemple.1)Si une fonction polynôme est de degré3, alors son carré est de degré9.
2)Une fonction polynôme admet toujours une racine réelle.
3)La fonction polynômePdéfinie parP(x) =x5+x4+ 7x+ 1n"a pas de racines positives.
4)Deux fonctions polynômes qui ont les mêmes racines sont égales.
5)Siest une racine de deux fonctions polynômesRetS, alors,R(x)S(x)est factorisable parx.D. LE FUR 1/ 50
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Exercice 2
Démontrer que la fonction polynômePdéfinie parP(x) =x2+x1possède une racine réelledans l"intervalle
[0 ; 1].Il n"est pas demandé de la calculer.
IllustrationO~
i~ j(Cf)65432101234563210123456789D. LE FUR 2/ 50
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Exercice 3
On considère les fonctionsfetgdéfinies surRparf(x) =x3etg(x) =x2+x1. On note(Cf)et(Cg)leurs représentations graphiques respectives. Calculer les coordonnées des points d"intersections de(Cf)et(Cg).IllustrationO~
i~ j(Cf)(Cg)65432101234563210123456789D. LE FUR 3/ 50
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Exercice 4
On considère la fonctionPdéfinie parP(x) =x3+ 6x29x+koùkest un nombre réel.1)Déterminer la valeur du réelkpour que4soit une racine deP.
2)Pour la valeur dekdonnée à la question précédente, résoudre l"inéquationP(x)<0.Illustration
O~ i~ j(Cf)32101234563210123456789D. LE FUR 4/ 50
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Exercice 5
Résoudre l"inéquation
2x2+ 3x10x3+ 7x214x+ 8>0.
On pourra, s"il y a lieu, factoriser le numérateur et le dénominateur puis faire un tableau de signes.Illustration
O~ i~ j(Cf)654321012345620161284048121620D. LE FUR 5/ 50
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Exercice 6
On considère la fonction polynômePdéfinie par :P(x) =x35x2+ 3x+ 1.On note,et
ses racines (elles existent!).1)Ecrire en fonction de,et
la forme (totalement) factorisée deP(x).2)Montrer que :++
= 5,+ = 3et =1.3)Sachant que= 2p5et= 1, calculer (simplement) la troisième racine
IllustrationO~
i~ j(Cf)65432101234561210864202468D. LE FUR 6/ 50
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Exercice 7
On considère la fonctionPdéfinie parP(x) =x2+ 12(4x+ 2)2.1)Montrer quePest une fonction polynôme dont on précisera le degré.
2)Résoudre l"équationP(x) = 0.Illustration
O~ i~ j(Cf) 6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 120110
100
90807060504030201001020
D. LE FUR 7/ 50
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Exercice 8
Le but de cet exercice est de montrer qu"un entierNest divisible par9si et seulement si la somme de ses chiffres
est divisible par9. A l"entierNqui s"écritanan1a2a1a0dans le système décimal, on associe le polynômeP(x) =anx2+an1xn1++a2x2+a1x+a0:
Ainsi, on a :N=P(10).
Un exemple.
Au nombreN= 9873, on associe la fonction polynômeP(x) = 9x3+ 8x2+ 7x+ 3. On a bien :N=P(10).1)SoitSla somme des chiffres deN. Montrer queS=P(1).
2)On poseP0(x) =P(x)S. Montrer que1est racine deP0(x).
3)En déduire queP(x) = (x1)Q(x) +SoùQest un polynôme de degrén1.
4)Montrer queN= 9Q(10) +S. En déduire queNest divisible par9si et seulement siSest divisible par9.D. LE FUR 8/ 50
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Exercice 9
On considère l"expression :f(x) =
x+p1 +x23+ xp1 +x23.1)Démontrer que(a+b)3=a3+ 3a2b+ 3ab2+b3et que(ab)3=a33a2b+ 3ab2b3.
2)Démontrer quefest une fonction polynôme dont on précisera le degré.
3)Résoudre l"inéquationf(x)>0.
IllustrationO~
i~ j(Cf) 6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 20 18 16 14 12 10 864202468101214161820
D. LE FUR 9/ 50
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Exercice 10
On considère la fonction polynômePdéfinie parP(x) =x4+x37x213x6.1)Quel est le degré deP?
2)Montrer quex=1est une racine deP.
3)Déterminer une fonction polynômeQdu troisième degré telle queP(x) = (x+ 1)Q(x).
4)Déterminer les racines deQ. On pourra s"inspirer des questions précédentes.
5)Résoudre l"inéquationP(x)>0.Illustration
O~ i~D. LE FUR 10/ 50
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Exercice 11
Résoudrex46x2+ 8 = 0etx4x212 = 0.D. LE FUR 11/ 50NOM : POLYNOMES 1ère S
Exercice 12
Soientfetgles fonctions définies parf(x) = 1x2etg(x) =x24x+ 2pour toutxréel. On note(Cf)et(Cg)leurs courbes représentatives respectives dans un repère(O;!i ;!j).1)Dresser les tableaux de variations defetg.
2)Résoudre l"inéquationg(x)60et interpréter graphiquement.
3)Tracer(Cf)et(Cg)en précisant les coordonnées des points d"intersection éventuels.
IllustrationO~
i~ j(Cf)(Cg) 6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 87654321012345678
D. LE FUR 12/ 50
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Exercice 13
Factoriser surR:P(x) =x41.
IllustrationO~
i~ j(Cf)65432101234562101234567891011121314D. LE FUR 13/ 50
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Exercice 14
On donne la fonction rationnellefdéfinie par :f(x) =2x3+ 11x27x20x 22x3.1)Quel est l"ensemble de définition def?
2)Factoriser le numérateur et le dénominateur def, puis simplifier l"expression def(x).
3)Résoudre l"inéquationf(x)>0.
IllustrationO~
i~ j(Cf)A654321012345684048121620
D. LE FUR 14/ 50
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Exercice 15
Résoudre les équations :
x3+x2+x+ 1 = 0On pourra remarquer quex3+x2=x2(x+ 1).
3x3+x2+ 3x+ 1 = 0On pourra remarquer que3x3+x2=x2(3x+ 1).D. LE FUR 15/ 50
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Exercice 16
Déterminer une fonction polynômePde degré3admettant1,3et4pour racines et telle queP(2) = 90.
IllustrationO~
i~ j(Cf) 6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 56403632282420161284048121620
D. LE FUR 16/ 50
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Exercice 17
On considère la fonction polynôme définie par :Q(x) = 2x37x+ 2:
1)Vérifier que2est une racine deQ.
2)FactoriserQet résoudre l"équationQ(x) = 0.
IllustrationO~
i~ j(Cf) 6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 4036
32282420161284048121620
D. LE FUR 17/ 50
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Exercice 18
On donne la fonction rationnellefdéfinie par :f(x) =x3+ 2x232x23x+ 5.1)Quel est l"ensemble de définition def?
2)Factoriser le numérateur et le dénominateur def, puis simplifier l"expression def(x).
3)Résoudre l"inéquationf(x)60.
IllustrationO~
i~ j(Cf)A 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 20 18 161412108642024681012
D. LE FUR 18/ 50
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Exercice 19
On considère la fonction polynômePdéfinie par :P(x) =2x33x2+ 12x+ 20:
1)Vérifier que=2est une racine deP.
2)En déduire une factorisation maximale deP.
3)Résoudre l"inéquation :3x(4x)62(x310).
IllustrationO~
i~ j(Cf)9876543210123456840481216202428D. LE FUR 19/ 50
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Exercice 20
On considère la fonction polynômePdéfinie par :P(x) =x32x29x+ 18:
1)CalculerP(2). En déduire quex1= 2est une racine deP.
2)FactoriserP.
3)Résoudre l"inéquationP(x)>0.Illustration
O~ i~ j(Cf)9876543210123456840481216202428D. LE FUR 20/ 50
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Exercice 21
Résoudre l"équation :x2(J+M)x+JM= 0.D. LE FUR 21/ 50NOM : POLYNOMES 1ère S
Exercice 22
Résoudre l"inéquation :
x41 + (M+ 1)2x2+ (M+ 1)2>0:
Indication : on pourra poserX=x2, puis factoriser et enfin faire un tableau de signes.D. LE FUR 22/ 50
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Exercice 23
Soit la fonction définie surRparf(x) =x3+ 3Mx23M21x+ 1.1)Calculer la dérivéef0de la fonctionfet étudier son signe.
2)Dresser le tableau de variations de la fonctionf.
On ne précisera pas les valeurs des éventuels extremums ...D. LE FUR 23/ 50NOM : POLYNOMES 1ère S
Exercice 24
Le but de l"exercice est d"établir l"égalité : 3 q2 + p5 +3q2p5 = 1:
1)On pose=3p2 +
p5et=3p2p5.Calculer3+3et.
2)Démontrer que, pour tous réelsAetB, on a :
(A3+B3) = (A+B)(A2AB+B2)puis que(A3+B3) = (A+B)(A+B)23AB.3)En déduire que le réel+est solution de l"équationx3+ 3x4 = 0.
4)Résoudre l"équationx3+ 3x4 = 0puis conclure.D. LE FUR 24/ 50
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Exercice 25
1)Factoriser surRl"expression :x31.
2)Déterminer les réelsA,BetCtels que :
1x31=Ax1+Bx+Cx
2+x+ 1:D. LE FUR 25/ 50
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Exercice 26
SoitA(n) =1n(n+ 1)oùn2N.
1)Déterminer deux réelsaetbtels que :A(n) =an
+bn+ 1.2)Exprimer, en fonction den, la somme suivante :
n X k=11k(k+ 1):D. LE FUR 26/ 50NOM : POLYNOMES 1ère S
Exercice 27
Résoudre l"équation :
x+x3+x5+x7= 0: Aide : réfléchir au signe d"une éventuelle solution.D. LE FUR 27/ 50NOM : POLYNOMES 1ère S
Exercice 28
Soit la fonction numériquefdéfinie parf(x) =3x2x3surRnf3g. On appelle(Cf)sa courbe représentative dans le repère orthonormé direct(O;!i ;!j). Soitgla fonction numérique définie parg(x) =3x2+ 14x8. On appelle(Cg)sa courbe représentative dans le repère précédent. 1) a) Montrer que l"équationf(x) =g(x)est équivalente pourx6= 3à l"équation3x2 = (x3)(3x2)(4x):
b)Déterminer l"intersection de(Cf)et(Cg). On donnera les valeurs exactes des coordonnées.2)On considére l"inéquation :3x2+ 14x8>3x2x3.
a)La résoudre graphiquement à l"aide de votre calculatrice graphique. Indiquer votre méthode sur votre
copie. b)Retrouver ses solutions par une résolution algébrique.