Chapitre I : LES SUITES I- Généralités sur les suites 1) Définition et notations Définition 1 : 1) Définir une suite par une formule explicite, c’est donner une relation entre le terme et l’entier , pour tout ∈ℕ (ou ℕ∗ ou )
a) Les suites de Héron On choisit un réel A>0, par exemple 2 On part d'une valeur proche de 2, par exemple 1 qui est notre premier terme Le terme suivant se calcul en prenant la moyenne du terme précédent et du double (A fois si A≠2) de l'inverse du terme précédent Voyons voir si vous arrivez à calculer les valeurs successives
Théorème sur les suites croissantes non majorées Si une suite est croissante et non majorée, alors elle tend vers Si une suite est décroissante et non minorée, alors elle tend vers Question 2 [Solution n°10 p 27] ROC : Démontrer ce théorème Attention Les réciproques de ces théorèmes sont fausses une suite peut tendre vers l'infini
NIVEAU : 1 Sc expérimentale Suites numériques page - 3 - دمحم ىسومنب :ذاتسلأا La suite v n s’appelle suite arithmétique de raison r2 03 Définition : n n n 0 (u ) est une suite numérique r est un nombre réel non nul La suite u n
Chapitre 1 : Les suites T-ES, 2016-2017 1 Suites géométriques 1 1 Définition Définition 1 Une suite (u n)est dite géométrique s’il existe un réel qnon nul appelé raison de la suite tel que pour tout nentier naturel : u n+1 =q×u n Remarque 1 Autrement dit, on passe d’un terme de la suite au suivant en multipliant toujours par
Ces suites s’appelle des suites réurrentes, elle sont définies par le (ou les) premier (s) terme (s) et une relation entre deux ou plusieurs termes consécutifs Suites récurrente du premier ordre { 0=2 +1=2 +3 { 0=1 +1= ????+3 2 ???? +1 { 0=−4 1=√2 ²+3
On définit les deux suites an et bn parb a0 0 0, n a a b¥, n n n 1 et 1 2 n n n a b b Montrer que ces deux suites sont bien définies et convergent vers la même limite Exercice 14 Soient deux suites(n) n u ˛¥ et(n) n v ˛¥ deux suites à valeurs dans[0,1] On suppose que lim 1n n n u v fi+¥ = Montrer que les deux suites convergent
Ce chapitre regroupe toutes les dé nitions et propriétés que vous devez connaître sur les suites réelles Il sera également l'occasion de rappeler les techniques classiques étudiées en terminale pour étudier la nature des suites, et de les compléter 39
Soit et les suites définies sur par et , pour tout entier naturel étant un axe rapporté au repère , pour tout entier naturel , on désigna par et les points de d’abscisses respectives et 1) Placer les points et sur l’axe ∆ et De même, et
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I H H I) ACTIVITES 1) En géométrie : un demi-cercle de diamètre avec - Etape1 Etape2 Etape3 On partage successivement le segment en deux, puis trois puis quatre segments de même longueur. A chaque étape, on construit sur les segments obtenus des demi-cercles et on sintresse laire du domaine color en ert. On note et lair du domaine color en ert au tapes 1,2 et 3 décrites ci-dessus 1- Calculer et . 2- A ltape , on partage le segment en segments de même longueur, vérifier que . 2) Que choisir ? Une personne a reçu deux offres de deux société commerciales pour une durée de 4 ans. La société propose un salaire de 4500 Dh pour le premier mois et un augmentation de salaire de 75 Dh chaque mois. La société propose un salaire de 3500 Dh pour le premier mois et un augmentation de salaire de 3% chaque mois. Soient et les salaires proposés respectivement par les sociétés et pour le nième mois. 1- Calculer les salaires des 4 premiers mois pour les deux sociétés. 2- Trouver une relation entre et puis entre et . 3- Calculer les salaires du 10 ème mois pour les deux sociétés. 4- Quelle est la société la plus bénéfique pour la personne ? II) GENERALITES 1) Définitions et notations. Définition : On appelle suite numérique toute application de (ou une partie de ) vers . Notation : Si est une suite numérique définie sur . limage de lentier par se note et sappelle le terme pour lentier Lentier sappelle lindice du terme La suite numérique se note : . ou
1 Bac SM F Suites numériques Lycée Oued eddahab A. KARMIM 2 Une suite numérique peut être définie de deux manières différentes : Suite définie par : une expression explicite Dans laquelle le terme de la suite est définie en fonction de ; ; Une suite définie par :une expression récurrente Ces suites sappelle des suites rcurrentes, elle sont définies par le (ou les) premier (s) terme (s) et une relation entre deux ou plusieurs termes consécutifs. Suites récurrente du premier ordre - - -( Suites numériques du second ordre. - - Remarque : Il faut bien écrire les indices : nest pas 2) Suites majorées, suites minorées, suites bornées. Activité : Soit la suite récurrente définie par : - - 1- Calculer les 3 premiers termes. 2- Montrer par récurrence que : - 3- Montrer par récurrence que : - Définition : Soit une suite numérique. ( On dit que la suite est majorée sil eiste un rel tel que : On dit que la suite est minorée sil eiste un rel tel que : On dit que la suite est bornée si elle est majorée et minorée. Exercice : Soit la suite récurrente définie par : Montrer que est minorée par 1 et majorée par 3. Propriété : Une suite est borne si et seulement sil eiste un rel positif tel que
1 Bac SM F Suites numériques Lycée Oued eddahab A. KARMIM 3 3) Monotonie dune suite. Activité 1 : Soit la suite récurrente définie par : - - Montrer que Activité 2 : Soit la suite récurrente définie par : Etudier la monotonie de la suite (vous pouvez utiliser que : ) Définition : Soit une suite numérique. ( On dit que la suite est croissante si : On dit que la suite est décroissante si : On dit que la suite est monotone si elle est croissante ou décroissante sur . Théorème : Soit une suite numérique. ( La suite est croissante si et seulement si: (P) La suite est décroissante si et seulement si: Démonstration : On suppose que la suite est croissante donc do (et puisue alors : On suppose que la suite vérifie la propriété (P). Soit et deux entiers tels que on a : donc la suite : est croissante. III) SUITES ARITHMETIQUES ; SUITES GEOMETRIQUES 1) Suite arithmétique. 1.1 Définition Activité : Soit la suite définie par : Soit un entier naturel, calculer : Définition : On appelle suite arithmétique toute suite définie par son premier terme et par la relation récurrente : où est un réel fixe. Le réel sappelle la raison de la suite . Exemple :
1 Bac SM F Suites numériques Lycée Oued eddahab A. KARMIM 4 - la suite est une suite arithmétique de raison et de premier terme - Le premier terme et la raison dune suite arithmtiue sappellent aussi les éléments de la suite arithmétique. 1.2 Terme général Soit une suite arithmétique de raison et lun de ses termes. Soit un entier naturel on a : En faisant la somme membre à membre on obtient : Do : Propriété : Soit une suite arithmétique de raison et lun de ses termes, on a : ) Remarque : Si est le premier terme dune suite arithmtiue de raison alors : Si est le premier terme dune suite arithmtiue de raison alors : Applications : Soit une suite arithmétique tel que et -- 1- Déterminer sa raison 2- Déterminer son premier terme . Soit tel que : - - Déterminer son terme arithmétique. Activité Montrer que - Preue dune proprit : Soient une suite arithmétique de raison , un entier naturel et On a daprs le terme gnral dune suite arithmtiue : ) Do :
1 Bac SM F Suites numériques Lycée Oued eddahab A. KARMIM 5 - En faisant la somme membre à membre on obtient : - Do : En factorisant par : , on obtient : - et par suite : En remarquant que : Finalement : Propriété : Soient une suite arithmétique, un entier naturel et On a : arithmétique. Soient et trois termes conscutifs dune suite arithmtiue de raison on a donc : En faisant la différence membre à membre on obtient : par suite : - Inversement : si et sont trois réels tels que - alors et par suite, et sont trois termes conscutifs dune suite arithmtiue de raison Propriété : et sont trois termes conscutifs dune suite arithmtiue si et seulement si - Application : Déterminer le réel pour que les nombres ; et soient les termes conscutifs dune suite arithmétique pour laquelle il faut déterminer la raison. 2) Suite géométrique. Définition : On appelle suite géométrique toute suite définie par son premier terme et par la relation récurrente : où est un réel fixe. Le réel sappelle la raison de la suite . Exemple : Nombre des termes Premier terme de S Dernier terme de S
1 Bac SM F Suites numériques Lycée Oued eddahab A. KARMIM 6 - la suite est une suite géométrique de raison et de premier terme - Le premier terme et la raison dune suite gomtriue sappellent aussi les lments de la suite gomtriue. Soit une suite géométrique de raison ; et un entier naturel on a : En faisant les produits membre à membre on obtient : do Propriété : Si est une suite géométrique de raison et si est un entier naturel alors : Cas particuliers : Soient une suite géométrique de raison , et lun de ses termes. soit Si tous les sont égaux et Si On a : Donc : Par suite : Donc Finalement : Propriété :
1 Bac SM F Suites numériques Lycée Oued eddahab A. KARMIM 7 Soient une suite géométrique de raison , et lun de ses termes. soit Si alors : Si alors : Propriété : et sont trois termes conscutifs dune suite gomtriue si et seulement si Preuve : (En exercice) Application : Déterminer le réel pour que les nombres ( et - soient les termes conscutifs dune suite géométrique dans cet ordre et déterminer sa raison. Nombre des termes Premier terme dans S La raison de la suite
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Chapitre 1 les suites