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Fonctions de plusieurs variables

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Fonctions de plusieurs variables - MATHEMATIQUES

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Fonctionsdeplusieursvariables

reuse.

1-Introduction

AAE1 2bh. seralafonctiondedeuxvariablesdéniepar f(b,h)AE1 2bh.

²ANotationsetterminologie

Dénition1

f:Df!R, (x1,x2,...,xn)7!f(x1,x2,...,xn).(1)

OnappelleDfledomainededénitiondef.

domainenatureldedénition.

ExempleSoit

f(x,y)AExq

1¡y2.

2TDavecrappelsdecours

1.0-0.5

0.0 y0.5 -2 -12 0 1 -1.0 x -2 201
-1

FIG.1f(x,y)AExp1¡y2

D fAE{(x,y)2R2:x2R,¯

¯y¯

¯·1}.

ExempleSoit

f(x,y)AEln(x2¡y). y -10 -15 -20 5 1 x -2 2 -1 0 1-3-2 2-10 -5 0

FIG.2f(x,y)AEln¡x2¡y¢

²BReprésentationgraphique

ExempleConsidéronslafonctionf(x,y)AEp

couples(x,y,z)solutiondel'équation zAEq

1¡x2¡y2.(2)

Fonctionsdeplusieursvariables3

repèrehabituel(Ox,Oy,Oz). 1.0 0.8 1.2

0.40.6

y0.2 0.0

0.5-1.0

-0.51.0 0.0 1.0 -1.0 0.5x 0.0 -0.5

FIG.3f(x,y)AEp1¡x2¡y2

LExercice1

a)f(x,y)AEp x2¡y2b)g(x,y)AElnµxÅy c)sin³p x2Åy2´

²CLignesdeniveau

yAEK xdanslepland'équationzAEK. danslepland'équationzAEK. x

2Åy2Åz2AEK.

Kcentréeàl'origine.

3.PourKÇ0,Iln'yapasdelignedeniveau.

LExercice2

4TDavecrappelsdecours

x*y -1 20 4-10 -4 -2 -15 y -515 0 5 10 x 4 -4 -2 0 2

FIG.4Lignedeniveauf(x,y)AExyAEK

Soit f(x,y):AExy x2Åy2. passantparl'origine.

LExercice3Loidesgazparfaits

PVAEnRT

13 4 2 5 0 P34 52
V 031
0 2 1

FIG.5LoidesGazparfaits

constante)

Fonctionsdeplusieursvariables5

2-Limitesetcontinuité

lim x!xÅ0f(x),limx!x¡0f(x). gaucheouparladroite. M

²ALimitelelongd'unecourbe

Cestnotée

lim M etestdéniepar lim M traduirecelaparunschéma.

ExempleSoit

f(x,y)AExy x2Åy2. yAE0ainsi lim t2AE0. xAE0,yAEtainsi, lim t2AE0. xAEt,yAEtainsi, lim 2

2t2AE12.

6TDavecrappelsdecours

20-2-44x

0.0 0.2 -0.2 y -0.4 0.4 -22 0 4 -4

FIG.6f(x,y)AExyx2Åy2

²BCoordonnéespolaires

desabcisses(CeciconstituelacourbeCµ).

ExempleSoit

f(x,y)AEsin(x2Åy2) x2Åy2.

Onpeutévaluer

lim (x,y)Cµ¡!(0,0)f(x,y) lim r!0Åsin(r2) r2AE1.

LExercice4

Soitf:(x,y)7!8

:0sixAEyAE0 x

2¡y2

x2Åy2sinon M

Fonctionsdeplusieursvariables7

Dénition2

limite,sielleexiste,suivante: lim h.(3)

Onutiliselessymboles

f

0xj(x1,...,xn),ou@

@xjf(x1,...,xn),ou@xjf(x1,...,xn).

LExercice5

parexemple xj(@xkf(x1,...,xn)), quenousnoterons

2xjxkf(x1,...,xn).

ExempleSoitf(x,y):AEx4sin(xy3).Alors,

AEx4y3cos(xy3)Å4x3sin(xy3).

C xf(x0,y0), resteconstantdeDest xDAEx px2Åy2.

LExercice6

8TDavecrappelsdecours

1.f:(x,y)7!xy2.

2.f:(x,y)7!lnp

x2Åy2¡xpx2Åy2Åx.

3.f:(x,y)7!arctgs

x2¡y2 x2Åy2.

4.f:(x,y,z)7!exp(x/y)Åexp(z/y).

5.T:(P,V)7!(1

R³

PÅaV2´

V¡b)(LoideVanderWalls)

x

2,f00xy,f00yx,...

LExercice7

²AThéorèmed'inversiondeSchwartz

LExercice8

²BFonctionsdifférentiables

lim h!0f(x0Åh)¡f(x0) h autantpascontinuesencepoint. gramme!).

Fonctionsdeplusieursvariables9

²CDérivationenchaine

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