Fonctions de plusieurs variables
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Fonctions de plusieurs variables - MATHEMATIQUES
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Cours d’Analyse 3 Fonctions de plusieurs variables
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Chapitre 00 : Fonctions de plusieurs variables
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Fonctions de plusieurs variables - Exo7
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Exo7
Fonctions de plusieurs variables
* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficileI : Incontournable
Exercice 1** IEtudier l"existence et la valeur éventuelle des limites suivantes : 1. xyx2+y2en(0;0)
2. x2y2x2+y2en(0;0)
3. x3+y3x2+y4en(0;0)
4. px2+y2jxjpjyj+jyjpjxjen(0;0)
5. (x2y)(y2x)x+yen(0;0) 6.1cospjxyjjyjen(0;0)
7. x+yx2y2+z2en(0;0;0)
8. x+yx2y2+z2en(2;2;0)
:xy(x2y2)x2+y2si(x;y)6= (0;0)
0 si(x;y) = (0;0). Montrer quefest de classeC1(au moins)
surR2. :y2sinxy
siy6=00 siy=0.
existent et sont différents. (x;y)7!(exey;x+y)est unC1-difféomorphisme deR2sur lui-même. 1Exercice 5***Soitn2N. Montrer que l"équationy2n+1+yx=0 définit implicitement une fonctionjsurRtelle que :
(8(x;y)2R2);[y2n+1+yx=0,y=j(x)].Montrer quejest de classeC¥surRet calculerR2
0j(t)dt.
l"égalitéex+y+y1=0. donné) si et seulement si8l2]0;+¥[,8x2Rn,f(lx) =lrf(x). Montrer pour une telle fonction l"identité d"EULER:1.f(x;y) =x3+3x2y15x12y
2.f(x;y) =2(xy)2+x4+y4.
A7!A1. Montrer quefest différentiable en tout point deMn(R)nf0get déterminer sa différentielle.1.w= (2x+2y+ex+y)(dx+dy)surR2.
2.w=xdyydx(xy)2surW=f(x;y)2R2=y>xg
3.w=xdx+ydyx
2+y2ydy
4.w=1x
2ydx1xy
2dysur(]0;+¥[)2(trouver un facteur intégrant non nul ne dépendant que dex2+y2).
2 1. 2 (x;y)7!x:yetg:R3R3!R (x;y)7!x^y. x7!x1+kxkest un homéomorphisme. x7! kxk2est différentiable sur Enf0get préciserd f. Montrer quefn"est pas différentiable en 0.2+(ya)2+p(xa)2+y2,aréel donné.
parg(x;y) =fcos(2x)ch(2y) ait un laplacien nul sur un ensemble à préciser. (On rappelle que le laplacien degest rotation affine. Correction del"exer cice1 N1.fest définie surR2nf(0;0)g. Pourx6=0,f(x;0) =0. Quandxtend vers 0, le couple(x;0)tend vers le couple(0;0)etf(x;0)tend vers 0. Donc, sifa une limite réelle en 0, cette limite est nécessairement 0.Pourx6=0,f(x;x) =12
. Quandxtend vers 0, le couple(x;x)tend vers(0;0)etf(x;x)tend vers12 6=0.Doncfn"a pas de limite réelle en(0;0).
2.fest définie surR2nf(0;0)g.
Pour(x;y)6= (0;0),jf(x;y)j=x2y2x
2+y2=jxyjx
2+y2jxyj612
jxyj. Comme12 jxyjtend vers 0 quand le couple (x;y)tend vers le couple(0;0), il en est de même def.f(x;y)tend vers 0 quand(x;y)tend vers(0;0).3.fest définie surR2nf(0;0)g.
Poury6=0,f(0;y) =y3y
4=1y . Quandytend vers 0 par valeurs supérieures, le couple(0;y)tend vers le couple(0;0)etf(0;y)tend vers+¥. Doncfn"a pas de limite réelle en(0;0).4.fest définie surR2nf(0;0)g.
Pourx6=0,f(x;x) =p2x22jxjpjxj=1p2jxj.Quandxtend vers 0, le couple(x;x)tend vers le couple(0;0)et f(x;x)tend vers+¥. Doncfn"a pas de limite réelle en(0;0).5.fest définie surR2nf(x;x);x2Rg.
Pourx6=0,f(x;x+x3) =(x+x2x3)(x+(x+x2)2)x
3x!01x
. Quandxtend vers 0 par valeurs supérieures, le couple(x;x+x3)tend vers(0;0 etf(x;x+x3)tend vers¥. Doncfn"a pas de limite réelle en (0;0).6.fest définie surR2nf(x;0);x2Rg.
1cospjxyjjyj(x;y)!(0;0)(pjxyj)22jyj=jxj2
et doncftend vers 0 quand(x;y)tend vers(0;0).7.fest définie surR3privé du cône de révolution d"équationx2y2+z2=0.
f(x;0;0) =1x qui tend vers+¥quandxtend vers 0 par valeurs supérieures. Doncfn"a pas de limite réelle en(0;0;0).8.f(2+h;2+k;l) =h+kh
2k2+l2+4h+4k=g(h;k;l).g(h;0;0)tend vers14
quandhtend vers 0 etg(0;0;l) tend vers 06=14quandltend vers 0. Donc,fn"a pas de limite réelle quand(x;y;z)tend vers(2;2;0).Correction del"exer cice2 N•fest définie surR2.
•fest de classeC¥surR2nf(0;0)gen tant que fraction rationnelle dont le dénominateur ne s"annule pas sur
R2nf(0;0)g.
•Continuité en(0;0).Pour(x;y)6= (0;0), jf(x;y)f(0;0)j=jxyjjx2y2jx2+y26jxyjx2+y2x
2+y2=jxyj.
Commejxyjtend vers 0 quand le couple(x;y)tend vers le couple(0;0), on a donc lim(x;y)!(0;0) (x;y)6=(0;0)f(x;y) =f(0;0). On en déduit quefest continue en(0;0)et finalementfest continue surR2. fest de classeC0au moins surR2. 4•Dérivées partielles d"ordre1surR2nf(0;0)g.fest de classeC1au moins surR2nf(0;0)get pour(x;y)6=
(0;0), D"autre part, pour(x;y)6= (0;0)f(x;y) =f(y;x). Donc pour(x;y)6= (0;0), f(x;0)f(0;0)x0=00x =0, et donc lim des dérivées partielles premières surR2définies par y(x4+4x2y2y4)(x2+y2)2si(x;y)6= (0;0) x(x44x2y2y4)(x2+y2)2si(x;y)6= (0;0)0 si(x;y) = (0;0).
fonction fest au moins de classeC1surR2.Correction del"exer cice3 NOn poseD=f(x;0);x2RgpuisW=R2nD. •fest définie surR2. •fest de classeC1surWen vertu de théorèmes généraux et pour(x;y)2W, xcosxy • Etudions la continuité defen(0;0). Pour(x;y)6= (0;0), jf(x;y)f(0;0)j=8 :y2sinxy
siy6=00 siy=06(y2siy6=0
0 siy=06y2.
Commey2tend vers 0 quand(x;y)tend vers 0, lim(x;y)!(0;0) (x;y)6=(0;0)f(x;y) =f(0;0)et doncfest continue en(0;0)puis fest continue surR2. • Etudions l"existence et la valeur éventuelle de f(x;0)f(x0;0)xx0=00xx0=0. 5 DoncFinalement, la fonction
:ycosxy siy6=00 siy=0.
• Etudions l"existence et la valeur éventuelle de f(x0;y)f(x0;0)y0=y2sin(x0y )y =ysinx 0yOn en déduit que
existe et :2ysinxy xcosxy siy6=00 siy=0.
• Etudions la continuité de :jyjcosxy siy6=00 siy=06jyj.
La fonction
la fonction • Etudions la continuité de2ysinxy
xcosxy siy6=00 siy=062jyj+jxj.
(0;0). 0y x0cosx 0y . Quandytendvers0, 2ysinx 0y tend vers 0 car2ysinx
0y etx0cosx 0y fest de classeC1surW[f(0;0)g. • Etudions l"existence et la valeur éventuelle de =0. Donc • Etudions l"existence et la valeur éventuelle de 6 )y =1. Donc a montré que de classeC2surW[f(0;0)g.Correction del"exer cice4 NSoit(x;y;z;t)2R4. j(x;y) = (z;t),exey=z x+y=t,y=tx e xetx=z,y=tx (ex)2zexet=0 ,y=tx e x=zpz2+4etouex=z+pz
2+4et ex=z+pz 2+4et y=tx(carzpz2+4et 2=zjzj60)
x=ln(z+pz 2+4et)
y=tln(z+pz 2+4et)(carz+pz
2+4et>z+pz
2=z+jzj>0):
Ainsi, tout élément(z;t)2R2a un antécédent et un seul dansR2parjet doncjest une bijection deR2sur
lui-même. La fonctionjest de classeC1surR2de jacobienJj(x;y) =exey 1 1quotesdbs_dbs35.pdfusesText_40
2=zjzj60)
x=ln(z+pz2+4et)
y=tln(z+pz2+4et)(carz+pz
2+4et>z+pz
2=z+jzj>0):
Ainsi, tout élément(z;t)2R2a un antécédent et un seul dansR2parjet doncjest une bijection deR2sur
lui-même. La fonctionjest de classeC1surR2de jacobienJj(x;y) =exey 1 1quotesdbs_dbs35.pdfusesText_40