ère Devoir de Mathématiques n°2
Les vecteurs n et v sont colinéaires donc les droites 2 d et sont parallèles (On peut aussi démontrer que det ; 0 nv ) Exercice 3 : 1 a DE HI DF b AJ EI AD c HF BC CD CD DH d IJ CF JC FE IE 2 AD CB (ADBC est un parallélogramme) AE AB AC (ABEC est un parallélogramme)
DS n°10 : Vecteurs 2nde 4 - Les MathémaToqués
Les vecteurs ⃗IM et ⃗MG sont colinéaires donc I, M et G sont alignés CORRIGÉ du D S n°10 : Vecteurs Sujet D 2nde 4 Exercice 1 Graphiquement Placez sans justification les points demandés sur la figure ci-contre dans laquelle tous les petits triangles en pointillés sont identiques 1) Placer M tel que ⃗AB+⃗AC=⃗AMpar le règle du
DS n°9 : Vecteurs 2nde 7 - Les MathémaToqués
que les vecteurs ⃗BG et ⃗BD sont colinéaires et comme ils ont un point en commun, les points B, G et D sont alignés Partie II : Cas général 5) Par la relation de Chasles, en introduisant le point B dans tous les vecteurs où il ne figure pas encore :
Manipuler les vecteurs du plan - WordPresscom
Manipuler les vecteurs du plan I Généralités sur les vecteurs Exemple 1 : On considère le triangle ABC suivant : 1 Donner son image par la translation de vecteur ⃗u 2 Donner son image par la translation de vecteur ⃗v 3 Donner son image par la translation de vecteur ⃗w ⃗u Exemple 2 : Maths Seconde séq2 «Géométrie» chap 3
DS de spécialité mathématiques n°2
1) Placer les points J et K sur la figure ci-dessous (laissez vos traits de construction) 2) a) Exprimer les vecteurs ⃗⃗⃗ et ⃗⃗⃗⃗⃗ comme combinaison linéaire des vecteurs ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ et ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
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Corrigés - AlloSchool
a S’ils étaient colinéaires, les vecteurs , seraient soit colinéaires soit vecteurs directeurs d’un plan Dans tous les cas, les vecteurs , , seraient coplanaires b Cherchons s’il existe des réels α et β tels que = + On obtient le système : 1 3 = + 2 − = − 0 = + 3 = + 2
FEUILLE 1 : ESPACES VECTORIELS - LeWebPédagogique
6 Les syst`emes de vecteurs suivants de R3 sont-ils des syst`emes libres ou li´es? Sont-ils des bases? Pour chacun de ces syst`emes, donner son rang Pour les syst`emes li´es en extraire un syst`eme libre et pour les syst`emes libres les compl´eter par des vecteurs de la base canonique pour obtenir une base de R3 – {(1,1,1),(−1,1,1)};
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MP-Spé Mécanique de solide 2019-2020 DM n 2 : QUELQUES OSCILLATIONS Dans tout ce problème, les vecteurs sont surmontés d’un chapeau ba s’ils sont unitaires, d’une flèche →−a
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MP-SpéMécanique de solide2019-2020DM n
◦2 : QUELQUES OSCILLATIONSDans tout ce problème, les vecteurs sont surmontés d"un chapeau ?as"ils sont unitaires, d"une flèche .-→a dans le cas contraire. Les nombres complexes sont soulignées :z?C.Lorsqu"une bille sphérique roule sur une piste de forme circulaire suspendue en un point, le couplage entre
la bille et la piste engendre un mouvement spectaculaire, objet de ce problème. Une sphère homogène, de
centre C, de rayon r et de masse m, est mobile dans un plan vertical en restant en contact avec un rail
PP", de masse M, que l"on modélise par une portion de cercle de centre O et de rayon R, dont l"axe de
symétrie est vertical. Le moment d"inertie de la sphère par rapport à un axe passant par C estJ=2mr25 . Le référentiel fixe orthonormé directRg= (O,?i,?j,?k)où?iest vertical dirigé vers le bas est supposé galiléen (voir Figure 1). On pourra également utiliser les vecteurs mobiles polaires unitaires ?ret?α représentés sur la Figure 1. Le mouvement de la sphère est repéré par deux paramètres : l"angle αque fait-→OCavec?iet l"angle de rotationθ autour de l"axe horizontal qui porte bk. à chaque instant t, on appelle I le point de contact de la sphère avec le rail. On note A le point du rail situé sur son axe de symétrie. L"accélération de la pesanteur est-→g=g?i.Figure 1 : Sphère mobile sur un rail fixe1 Rail fixe :
La sphère roule sans glisser sur le rail fixe. Initialement, elle est au repos et-→OCfait un angleα0avec
?i. Le système comprend deux degrés de liberté cinématiques,αetθ. 1.Éc rirela condition de roulemen tsans glissemen tde la sphère sur le rail sous la fo rmed"une relation
linéaire liant r, R,θ=dθdt etα=dαdt . Contrôler la pertinence de la relation obtenue, d"une part en comparant les signes respectifs de θet deα, et d"autre part en analysant la situation lorsque r = R. 2.Déte rminerl"expression de l"énergie mécanique totale Et du système .En déduire l"équation différen tielle
vérifiée par la fonctionα(t). 3.Déte rminerla p ériodeTpodes petites oscillations. On considère deux rails circulaires de même
rayon R. Sur chaque rail, on place à l"instant initial une sphère de rayon r, de masse m en des
points repérés par le même angleαo(situation déjà représentée sur la Figure 1). Les sphères sont
lâchées au même instant, avec une vitesse initiale nulle. Les deux rails sont de nature différente, de
sorte que la première sphère roule sans glisser et que la seconde glisse sans rouler. 4.En utilisan tdes argumen tsénergétiques qualitatifs, déterminer quelle est la sphère qui arriv ela
premi'ere au point le plus bas A. Le résultat est-il modifié si les masses des sphères sont différentes?
5.Etabli rune expression in tégraledu temps τmis par la sphère la plus rapide pour atteindre le point
A. Comment peut-on, sans calcul supplémentaire, obtenir le tempsτ?mis par la sphère la plus lente
pour atteindre ce point? Déterminer le rapport http://prepanouar.wordpress.com1 / 2 Durée :2heure MP-SpéMécanique de solide2019-20202 Rail suspendu :Les points P et P" sont attachés en O par
des fils inextensibles de masse négligeable, ce qui permet au rail d"osciller autour de l"axe horizontal passant par O. La position du milieu A du rail est repérée par l"angleβreprésenté sur la Figure 2. Le centre de masse G du rail se trouve à chaque instant sur la droite OA à une distance l de O. On noteJ?=MR2le moment d"inertie du rail par rapport à son axe de rotation. On appelle respectivement N et T les composantes de la force de réaction du rail sur la sphère au point I selon ?retα. La sphère roule sans glisser sur le rail, qui est maintenant en forme de quart de cercle, les grandeursαetθ sont les m.emes que celles utilisées dans la partie (1).6.Écr irela condition de roulemen tsans glissemen trelian tθ,αetβ=dβdt
7.Exprime rdans Rgle moment cinétique-→σ1Cde la sphe're en C et en déduire l"expression du moment
cinétique-→σ1Ode la sphère en O. 8.Exprime rdans Rg le momen tcinétique
-→σ2Odu rail en O. 9.Exprime rdans Rg, l"énergie cinétiqueECSde la sphère, l"énergie cinétiqueECRdu rail et enfin
l"énergie cinétiqueECTde l"ensemble rail-sphère. 10.Appliqu erle théorème du momen tcinétique en O à l"ensem blerail-sphère e ten déduire une équation
différentielle liant les fonctionsα(t)etβ(t). 11.Applique rle théorème du momen tcinétique en C à la sphère seule et en déduire l"expre ssionde
T en fonction de¨θ=d2θdt
2, puis, en utilisant le résultat de la question 6, en fonction de¨α=d2αdt
2et¨β=d2βdt
2. 12.Appliq uerle théorème du momen tcinétique en O au rail seul et en déduire la relation différen tielle
A d2βdt2-Bd2αdt
2=Mglsinβ(1)
On exprimera la constante A en fonction de M, m et R et la constante B en fonction de m, r et R 13. Déduir edes résultats précéden tsla relation A ?d2αdt2-Bd2βdt
2=-Mg(R-r)sinα(2)
On exprimera la constante A" en fonction de m, r et R. Vérifier que l"équation (2) est en accord
avec le résultat de la question 2. 14.R etrouvezles équatio ns(1) et (2) à part irde considérations énergétiques. Démo ntrerque AA?> B2.
15. Q uetraduit l"absence de termes en αetθdans les équations (1) et (2)? http://prepanouar.wordpress.com2 / 2 Durée :2heurequotesdbs_dbs5.pdfusesText_10