DS n°10 : Vecteurs 2nde 4 - Les MathémaToqués

Les vecteurs n et v sont colinéaires donc les droites 2 d et sont parallèles (On peut aussi démontrer que det ; 0 nv ) Exercice 3 : 1 a DE HI DF b AJ EI AD c HF BC CD CD DH d IJ CF JC FE IE 2 AD CB (ADBC est un parallélogramme) AE AB AC (ABEC est un parallélogramme)

DS n°10 : Vecteurs 2nde 4 - Les MathémaToqués

Les vecteurs ⃗IM et ⃗MG sont colinéaires donc I, M et G sont alignés CORRIGÉ du D S n°10 : Vecteurs Sujet D 2nde 4 Exercice 1 Graphiquement Placez sans justification les points demandés sur la figure ci-contre dans laquelle tous les petits triangles en pointillés sont identiques 1) Placer M tel que ⃗AB+⃗AC=⃗AMpar le règle du

DS n°9 : Vecteurs 2nde 7 - Les MathémaToqués

que les vecteurs ⃗BG et ⃗BD sont colinéaires et comme ils ont un point en commun, les points B, G et D sont alignés Partie II : Cas général 5) Par la relation de Chasles, en introduisant le point B dans tous les vecteurs où il ne figure pas encore :

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D.S. n°10 : Vecteurs 2nde 4

Calculatrices interdites, 55 min. Ce sujet est à rendre avec la copie.

Nom : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Prénom : . . . . . . . . . . . . . . . . .Communication: + 0 -

Technique: + 0 -

Raisonnement : + 0 -Signature des parents :

VuNote :

20• RAPPELS SUR LA FRAUDE AUX EXAMENS : Aucun échange de matériel ou d'informations

n'est autorisé. Les téléphones portables doivent être éteints et rangés dans les sacs.

En cas de similitudes dans les copies, les deux élèves concernés auront zéro : Laisser copier un

camarade, c'est encourager la triche et accepter de pénaliser ceux qui ne trichent pas.

Toute fraude ou tentative de fraude donnera lieu à un rapport qui sera consigné dans le dossier

scolaire des élèves concernés. En cas de triche avec récidive, en plus de ce rapport, une mention figurera

dans le bulletin scolaire des élèves concernés.

• RAPPEL 2 : Il faut toujours prouver vos affirmations (sauf mention contraire de l'énoncé) et, lorsque

vous justifiez vos réponses, la propriété employée doit apparaître clairement. Exercice 1. GraphiquementPlacez sans justification les points demandés sur la figure ci-contre dans laquelle tous les petits triangles en pointillés sont identiques.

1) Placer M tel que

⃗CA+⃗CE=⃗CM.

2) Placer N tel que

⃗DB+⃗ED=⃗AN.

3) Placer P tel que

⃗BP=2

3⃗ED-3

2⃗AB.

Exercice 2.

M, N, P , R et S sont des points tels que

⃗PR=7⃗MN et ⃗SR=-4⃗MN. Sans utiliser de coordonnées, montrez que les droites (PS) et (MN) sont parallèles.

Exercice 3.

Dans le repère orthonormé (O;

⃗i,⃗j), les points N, G et S ont pour coordonnées respectives

N(-2;1),G(-6;-1

3)et S(-1;-2).

1) Faire une figure que vous compléterez au fur et à mesure que de nouveaux objets (points,

droites...) apparaissent dans l'énoncé.

2) Déterminer par le calcul les coordonnées de L, image de S par la translation de vecteur

⃗NG .

3) Soit A le milieu de [SG]. Montrez sans aucun calcul que L, A et N sont alignés.

4) Quelle est la nature du quadrilatère SNGL ? Soyez aussi précis(e) que possible.

5) (SG) coupe l'axe des ordonnées en K. Déterminer par le calcul les coordonnées de K.

6) a) Soit M le point défini par

⃗MS+⃗MN+⃗MG=⃗0. Déterminer par le calcul les coordonnées de M. b) Soit I le milieu de [SN]. Déterminer par le calcul les coordonnées de I puis montrez que I,

M et G sont alignés.SUJET G

/13 /1 /1,5 /2 /2 /2 /2 /2,5 /4

Rappel : Calculatrices INTERDITES.

/3 CORRIGÉ du D.S. n°10 : Vecteurs Sujet G2nde 4

Exercice 1.

GraphiquementPlacez sans justification les points demandés sur la figure ci-contre dans laquelle tous les petits triangles en pointillés sont identiques.

1) M est tel que

⃗CA+⃗CE=⃗CM par la règle du parallélogramme.

2) N est tel que

3) Placer P tel que

⃗BP=2

3⃗ED-3

2⃗AB.

Exercice 2.

⃗PS=⃗PR+⃗RS par la relation de Chasles, d'où ⃗PS=⃗PR-⃗SR=7⃗MN+4⃗MN=11⃗MN. Les vecteurs ⃗PS

et ⃗MN sont donc colinéaires ce qui prouve que droites (PS) et (MN) sont parallèles.

Exercice 3.

Dans le repère orthonormé (O;

⃗i,⃗j), les points N, G et S ont pour coordonnées respectives

N(-2;1),G

(-6;-1

3)et S(-1;-2).

1) Figure :2) L est image de S par la translation de vecteur

⃗NG signifie que ⃗SL=⃗NGc'est à dire (xL+1 yL+2)=(-6+2 -1

3-1)⇔{xL=-6+2-1

yL=-1

3-1-2⇔{xL=-5

yL=-1 3-9 3=-10 3 L (-5;-10 3).

3) L est image de S par la translation de vecteur

⃗NG signifie que ⃗SL=⃗NG donc SNGL est un parallélogramme.

A est le milieu de la diagonale [SG].

Comme les diagonales d'un parallélogramme se coupent en leur milieu, A est aussi le milieu de l'autre diagonale,

qui est [LN]. Les points L, A et N sont donc alignés.

4) On sait déjà que SNGL est un parallélogramme et au vu de la figure, on conjecture que c'est un rectangle.

Montrons qu'il a un angle droit par la réciproque du théorème de Pythagore :

GL2=(-5+6 )2+(-10

3+1 3)2 =(1)2+(-3)2=10; SL2=(-5+1 )2+(-10 3+2)2 =(-4)2+(-4 3)2 =16+16 9et

GS2=(-1+6 )2+(-2+1

3)2 =(5)2+(-5 3)2 =25+25 9.

On a doncSL2+GL2=10+16+16

9=26+16

9=25+1+16

9=25+9

9+16

9=25+25

9=GS2. Par la réciproque du

théorème de Pythagore SL2+GL2=GS2montre que l'angle

̂GLS est droit.

SNGL est donc un parallélogramme qui possède un angle droit, c'est donc un rectangle.

5) K appartient à l'axe des ordonnées donc xK=0. S, G et K sont alignés donc les vecteurs

⃗SK et ⃗SG sont colinéaires. Or ⃗SK(xK+1 yK+2)=(1 yK+2)et ⃗SG (-6+1 -1

3+2)=(-5

3). En comparant les abscisses on voit quex⃗SG=-5x⃗SK.

Le coefficient de colinéarité est donc -5 d'où y⃗SG=-5y⃗SKc'est à dire -5(yK+2)=5

3c'est à dire, en divisant

les deux membres par -5, yK+2=-1

3c'est à dire yK=-1

3-2=-7

3.K (0 ;-7

3)6) a)

-2-yK)+(-2-xM

1-yK)+(-6-xM

-1

3-yM)=(0

0)⇔{-3xM-9=0

-3yM-1-1

3=0⇔{3xM=-9

3yM=-1-1

3=-4 3.

Les coordonnées de M sont donc

M(-3 ;-4

9). b) I est le milieu de [SN] donc xI=xS+xN

2=-1-2

2=-3

2et yI=yS+yN

2=-2+1

2=-1 2. I (-3 2;-1

2)Montrons que I, M et G sont alignés : Pour cela on va montrer que les vecteurs

⃗IM et ⃗MG sont colinéaires. Or ⃗IM (-3+3 2 -4 9+1

2)=(-3

2 -8 18+9

18)=(-3

2 1 18)et ⃗MG (-6+3 -1 3+4

9)=(-3

-3 9+4

9)=(-3

9). -3

2×2=-3 et 1

18×2=1

9donc 2

⃗IM=⃗MG. Les vecteurs ⃗IM et ⃗MG sont colinéaires donc I, M et G sont alignés.

CORRIGÉ du D.S. n°10 :

Vecteurs Sujet D2nde 4

Exercice 1.

GraphiquementPlacez sans justification les points demandés sur la figure ci-contre dans laquelle tous les petits triangles en pointillés sont identiques.

1) Placer M tel que

⃗AB+⃗AC=⃗AMpar le règle du parallélogramme.

2) Placer N tel que

3) Placer P tel que

⃗EP=1

3⃗CD-3

2⃗AB.

Exercice 2.

⃗EF=⃗EC+⃗CF par la relation de Chasles, d'où ⃗EF=⃗EC-⃗FC=3⃗AB+5⃗AB=8⃗AB. Les vecteurs ⃗EF

et ⃗AB sont donc colinéaires ce qui prouve que droites (EF) et (AB) sont parallèles.

Exercice 3.

1) Figure :2) L est image de S par la translation de vecteur

⃗NG signifie que ⃗SL=⃗NGc'est à dire (xL-1 yL+1)=(6-2 -8

3+4)⇔{xL=6-2+1

yL=-8

3+4-1⇔{xL=5

yL=-8 3+9 3=1 3 L(5;1 3).

3) L est image de S par la translation de vecteur

⃗NG signifie que ⃗SL=⃗NG donc SNGL est un parallélogramme.

A est le milieu de la diagonale [SG].

Comme les diagonales d'un parallélogramme se coupent en leur milieu, A est aussi le milieu de l'autre diagonale,

qui est [LN]. Les points L, A et N sont donc alignés.

4) On sait déjà que SNGL est un parallélogramme et au vu de la figure, on conjecture que c'est un rectangle.

Montrons qu'il a un angle droit par la réciproque du théorème de Pythagore : GL2= (5-6 )2+(1 3+8 3)2 =(-1)2+(3)2=10; SL2=(5-1 )2+(1 3+1)2 =(4)2+(4 3)2 =16+16 9et GS2= (1-6 )2+(-1+8 3)2 =(-5)2+(5 3)2 =25+25 9.

On a doncSL2+GL2=10+16+16

9=26+16

9=25+1+16

9=25+9

9+16

9=25+25

9=GS2. Par la réciproque du

théorème de Pythagore

SL2+GL2=GS2montre que l'angle ̂GLS est droit.

SNGL est donc un parallélogramme qui possède un angle droit, c'est donc un rectangle.

5) K appartient à l'axe des ordonnées donc xK=0. S, G et K sont alignés donc les vecteurs

⃗SK et ⃗SG sont colinéaires. Or ⃗SK(xK-1 yK+1)=(-1 yK+1)et ⃗SG(6-1 -8

3+1)=(5

-5

3). En comparant les abscisses on voit quex⃗SG=-5x⃗SK.

Le coefficient de colinéarité est donc

-5 d'où y⃗SG=-5y⃗SKc'est à dire -5(yK+1)=-5

3c'est à dire, en divisant

les deux membres par -5, yK+1=1

3c'est à dire yK=1

3-1=-2

3.K (0 ;-2

3)6) a)

-1-yK)+(2-xM -4-yK)+(6-xM -8

3-yM)=(0

0)⇔{-3xM+9=0

-3yM-5-8

3=0⇔{3xM=9

3yM=-5-8

3=-23 3

Les coordonnées de M sont donc

M(3 ;-23

9). b) I est le milieu de [SN] donc xI=xS+xN 2=1+2 2=3

2et yI=yS+yN

2=-1-4

2=-5 2. I (3 2;-5

2)Montrons que I, M et G sont alignés : Pour cela on va montrer que les vecteurs

⃗IM et ⃗MG sont colinéaires. Or ⃗IM (3-3 2 -23 9+5 2)=(3 2 -46 18+45

18)=(3

2 -1 18)et ⃗MG(6-3 -8 3+23 9)=(3 -16 9+23

9)=(-3

9). -3

2×2=-3 et -1

18×(-2)=1

9donc -2

⃗IM=⃗MG. Les vecteurs ⃗IM et ⃗MG sont colinéaires donc I, M et G sont alignés.

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[PDF] DS n°10 : Vecteurs 2nde 4 - Les MathémaToqués

D.S. n°10 : Vecteurs 2nde 4

Nom : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Technique: + 0 -

Raisonnement : + 0 -Signature des parents :

VuNote :

20• RAPPELS SUR LA FRAUDE AUX EXAMENS : Aucun échange de matériel ou d'informations

1) Placer M tel que

2) Placer N tel que

3) Placer P tel que

3⃗ED-3

2⃗AB.

Exercice 2.

M, N, P , R et S sont des points tels que

Exercice 3.

Dans le repère orthonormé (O;

N(-2;1),G(-6;-1

3)et S(-1;-2).

1) Faire une figure que vous compléterez au fur et à mesure que de nouveaux objets (points,

2) Déterminer par le calcul les coordonnées de L, image de S par la translation de vecteur

3) Soit A le milieu de [SG]. Montrez sans aucun calcul que L, A et N sont alignés.

4) Quelle est la nature du quadrilatère SNGL ? Soyez aussi précis(e) que possible.

5) (SG) coupe l'axe des ordonnées en K. Déterminer par le calcul les coordonnées de K.

6) a) Soit M le point défini par

M et G sont alignés.SUJET G

Rappel : Calculatrices INTERDITES.

Exercice 1.

1) M est tel que

2) N est tel que

3) Placer P tel que

3⃗ED-3

2⃗AB.

Exercice 2.

Exercice 3.

Dans le repère orthonormé (O;

N(-2;1),G

3)et S(-1;-2).

1) Figure :2) L est image de S par la translation de vecteur

3-1)⇔{xL=-6+2-1

3-1-2⇔{xL=-5

3) L est image de S par la translation de vecteur

A est le milieu de la diagonale [SG].

4) On sait déjà que SNGL est un parallélogramme et au vu de la figure, on conjecture que c'est un rectangle.

GL2=(-5+6 )2+(-10

GS2=(-1+6 )2+(-2+1

On a doncSL2+GL2=10+16+16

9=26+16

9=25+1+16

9=25+9

9=25+25

9=GS2. Par la réciproque du

̂GLS est droit.

5) K appartient à l'axe des ordonnées donc xK=0. S, G et K sont alignés donc les vecteurs

3+2)=(-5

3). En comparant les abscisses on voit quex⃗SG=-5x⃗SK.

3c'est à dire, en divisant

3c'est à dire yK=-1

3-2=-7

3)6) a)

1-yK)+(-6-xM

3-yM)=(0

0)⇔{-3xM-9=0

3=0⇔{3xM=-9

3yM=-1-1

Les coordonnées de M sont donc

M(-3 ;-4

2=-1-2

2et yI=yS+yN

2=-2+1

2)Montrons que I, M et G sont alignés : Pour cela on va montrer que les vecteurs

2)=(-3

18)=(-3

9)=(-3

9)=(-3

9). -3

2×2=-3 et 1

18×2=1

CORRIGÉ du D.S. n°10 :

Vecteurs Sujet D2nde 4

Exercice 1.