[PDF] Les vecteurs - Free

COURS SUR LES VECTEURS (S ) COURS (1/3)

www mathsenligne com ECONDE COURS SUR LES VECTEURS (S ) COURS (2/3) III OPERATIONS SUR LES VECTEURS a Addition de deux vecteurs : La somme de deux vecteurs et un vecteur - Quand les deux vecteurs sont représentés par des flèches ayant la même origine, on trace le vecteur somme en construisant un parallélogramme

Les vecteurs - Free

Démontrons que les droites (BC) et (EF) sont parallèles Pour démontrer que les droites (BC) et (EF) sont parallèles, nous allons montrer que les vecteurs BC et EF sont colinéaires EF= EA AF (relation de Chasles) EF= 3 5 BA 3 5 AC (utilisation de l'énoncé) EF= 3 5 BA AC (propriété de la multiplication) EF= 3 5 BC (relation de Chasles

Vecteurs - Translations - Cours

Si les droites ont même direction, c’est à dire si elles sont parallèles, nous pourrons comparer les sens et préciser si les sens choisis sur les droites sont les mêmes sens ou sont opposés Si les droites n’ont pas même direction, nous ne comparerons pas les sens des droites NOTION DE VECTEUR Nom utilisé par Hamilton en 1865

Exercices sur les vecteurs - LMRL

Exercices sur les vecteurs Démontrer les propriétés vectorielles suivantes à l’aide d’une figure Démontrer que les droites AI, BJ et CK sont

Seconde - Les vecteurs - ChingAtome

Exercice 493 Dans le quadrillage ci-dessous : 1 Tracer un représentant du vecteur u ayant pour extré- mité le point A 2 Tracer un représentant du vecteur u ayant pour origine

2nde Vecteurs Geometrie analytique

Remarque : lorsque les vecteurs u et v sont tous les deux non nuls , la condition de colinéarité xy’ – x’y = 0 qui s’écrit encore xy’ = x’y traduit la proportionnalité des cordonnées Calcul de la distance entre deux points : A x ;y(A A) et B x ;y(B B) sont deux points dans un repère orthonormal ( O ; i, j)

Seconde - Des vecteurs en plus - ChingAtome

a Prouver que A et B sont sur le cercle de centre I et de rayon 5 b Tracer ce cercle et placer le point B 3 a Placer le point C, symétrique de A par rapport à I b Prouver que le triangle ABC est rectangle en B Exercice 504 On considère le plan munit de la base (i;j) de vecteurs 1 Montrer que les vecteurs u et v, définis ci

Géométrie 1 Vecteurs Translation et vecteurs

Géométrie 1 Vecteurs Translation et vecteurs Compétences Liens internet Construire l’image d’un point (d’une figure) par une translation Exemples 1 à 5 Ici et ici

mathsbdpfr Vecteurs, droites et plans de lespace

Les règles de construction géométrique et de calculs sont les mêmes (ou s’étendent facilement à l’espace) : somme de vecteurs vue comme un enchaînement, égalité de vecteurs comme un parallélogramme, relation de Chasles, associativité,

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Les vecteursA - Vecteurs égaux1- DéfinitionDeux vecteurs sont égaux lorsqu'ils ont même longueur, même direction et même sens. C'est pour

cette raison qu'on représente les vecteurs par des flèches.Les vecteurs AB et CD sont égaux, en effet ils ont :•même longueur : AB = CD•même direction : (AB) // (CD)

•même sens : le sens de A vers B est le même que le sens de C vers D.

AttentionL'égalité

AB=CD regroupe trois informations ; il faut donc que les trois propriétés soient

vérifiées pour qu'elle ait lieu.2- Vecteurs et milieu d'un segmentConsidérons trois points A, I et B.

Le point I est le milieu du segment [AB] si et seulement si

AI=IBLa propriété géométrique I est le milieu du segment [AB] et l'égalité vectorielle

AI=IB sont donc équivalentes.3- Vecteurs et parallélogrammesConsidérons quatre points A, B, C et D. Le quadrilatère ABCD est un parallélogrammesi et seulement si

AB=DCLa propriété géométrique ABCD est un parallélogramme et l'égalité vectorielle

AB=DCsont donc

équivalentes. AttentionIl ne faut pas oublier de tenir compte du sens des vecteurs : pour le parallélogramme ABCD,

l'égalité de vecteurs est AB=DC et non AB=CD. RemarqueLe parallélogramme ABCD peut aussi être nommé BCDA, CDAB, DABC, ADCB, DCBA, CBAD

ou BACD. Chaque façon de le nommer fournit une nouvelle égalité vectorielle; on a finalement

les 4 égalités suivantes : AB=DC,BA=CD,AD=BC,DA=CBKB 1 sur 4ADB C AIB AB C D

Si l'une de ces 4 égalités est vérifiée, les 3 autres le sont aussi.B - Somme de vecteursOn peut définir une addition des vecteurs qui a des propriétés semblables à celles de l'addition des

nombres.1- Relation de ChaslesQuels que soient les points A, B et C : AC=ABBCLe vecteur

AC est la somme des vecteurs AB et BC. RemarqueOn peut interpréter la relation de Chasles de la façon suivante : le vecteur AB représente un déplacement de A vers B et le vecteur BC représente un déplacement de B vers C ; la somme de ces deux déplacements est un déplacement de A vers C qu'on représente par le vecteur AC.

AttentionLa relation de Chasles

ABBC=AC (qui concerne des vecteurs) est vraie quels que soient les points A, B et C.

La relation AB + BC = AC (qui concerne des distances) n'est vérifiée que si le point B est sur le

segment [AC]; de manière générale on ne peut affirmer que AB + BC  AC.

2- Règle du parallélogrammeQuels que soient les points A, B, C et D :

On a l'égalité

ABAD=ACsi et seulement siABCD est un parallélogramme.3- Propriétés de l'addition des vecteursL'addition des vecteurs a des propriétés semblables à celles de l'addition des nombres réels.a) Suite d'additions de vecteursLorsqu'on effectue une somme de plusieurs vecteurs, on peut modifier l'ordre des termes ou

regrouper plusieurs termes sans modifier le résultat.b) Vecteur nulPour tout point A, le vecteur AA est appelé vecteur nul; on le note 0. On ne modifie pas un

vecteur en lui ajoutant le vecteur nul.c) Vecteurs opposésDeux vecteurs sont opposés lorsque leur somme est égale au vecteur nul, ils ont alors même

longueur et même direction mais des sens différents. KB 2 sur 4AB C AB C D

Ainsi, quels que soient les points A et B, les vecteurs AB et BAsont opposés. On écrit :

BA=-AB .

d) Soustraction des vecteursPour soustraire un vecteur il suffit d'ajouter son opposé. Quels que soient les points A, B et C,

C - Multiplication d'un vecteur par un réel1- DéfinitionPour multiplier un vecteur par un nombre réel k:

•on conserve la direction du vecteur•on multiplie la longueur du vecteur par |k|

•si k est positif, on conserve le sens du vecteur, mais si k est négatif on le change.ExemplesSur la figure on peut constater :•

CD=3 AB car (CD) // (AB), CD = 3AB et le sens de C vers D est le même que le sens de A vers B. EF=-2 AB car (EF) // (AB), EF = 2AB et le sens de E vers F est le sens inverse de celui allant de A vers B. •Les deux égalités précédentes sont équivalentes à AB=1

3 CD et

AB=-1

2 EF2- PropriétésConsidérons deux vecteurs

ABet CD, ainsi que deux nombres réels x et y. Les égalités suivantes sont vérifiées :

xABCD=xABxCDCes propriétés montrent que le calcul vectoriel est très voisin du calcul sur les nombres.3- ApplicationsOn dit que deux vecteurs sont colinéaires lorsqu'on peut passer de l'un à l'autre en effectuant une

multiplication par un réel. Ainsi deux vecteurs colinéaires ont même direction, le sens et la

longueur pouvant être différents.a) Droites parallèlesSoient A, B, C et D quatre points. Si les vecteurs

ABet CD sont colinéaires, alors les droites (AB) et (CD) sont parallèles.Ainsi, il suffit de trouver un nombre réel k tel que CD=kAB pour démontrer que les droites (AB) et (CD) sont parallèles.KB 3 sur 4AB CD EF

b) Points alignésSoient A, B et C trois points. Si les vecteurs ABet ACsont colinéaires, alors les points A, B et C

sont alignés.Ainsi, il suffit de trouver un nombre réel k tel que AC=kAB pour démontrer que les points A, B et

C sont alignés.Exemple d'applicationOn considère un triangle ABC, ainsi que les points E et F définis par

AE=3

5 AB et AF=3

5 AC.

Démontrons que les droites (BC) et (EF) sont parallèles.Pour démontrer que les droites (BC) et (EF) sont parallèles, nous allons montrer que les vecteurs

BCet EFsont colinéaires. EF=EAAF(relation de Chasles) EF=3

5 BA3

5 AC(utilisation de l'énoncé)

EF=3

5 BAAC(propriété de la multiplication)

EF=3

5 BC(relation de Chasles)L'égalité

EF=3

5 BC montre que les vecteurs BC et EFsont colinéaires, donc que les droites

(BC) et (EF) sont parallèles.KB 4 sur 4A BCEFquotesdbs_dbs46.pdfusesText_46