Les vecteurs - Free
Si les vecteurs AB et AC sont colinéaires, alors les points A, B et C sont alignés Ainsi, il suffit de trouver un nombre réel k tel que AC=k AB pour démontrer que les points A, B et C sont alignés Exemple d'application On considère un triangle ABC, ainsi que les points E et F définis par AE= 3 5 AB et AF= 3 5
1 La classe Point 3 La classe Segment 2 La classe Vecteur
véri er que le point est aligné avec les deux points extrémités du segment Rappel : trois points sont alignés s'ils se situent sur une même droite En termes de vecteurs, les points A , B et C sont alignés si les vecteurs AB et AC sont colinéaires De plus, C appartient au segment [A;B ], si AC = k: AB avec 0 6 k 6 1
Repérage & Vecteurs
Soient A(xA; yA) et B(xB; yB) deux points du plan Alors les coordonnées du vecteur −−→ ABsont : −−→ AB xB−xA yB−yA Propriété Deux vecteurs sont égaux si et seulement si ils ont les mêmes coordonnées dans un repère 3 Somme de vecteurs 3 1 Définition et propriété Soient −→uet −→vdeux vecteurs, et soit Mun point
DS n°10 : Vecteurs 2nde 4 - Les MathémaToqués
Les points L, A et N sont donc alignés 4) On sait déjà que SNGL est un parallélogramme et au vu de la figure, on conjecture que c'est un rectangle Montrons qu'il a un angle droit par la réciproque du théorème de Pythagore :
D emontrer avec des vecteurs et des coordonn ees
D emontrez que les points A;B et C sont align es Pour savoir si trois points A;B et C sont align es ou non, je peux me demander si les vecteurs AB et AC sont colin eaires ou non Exemple : On donne A(2;3);B(5;7) et C( 7; 6) Les points A;B et C sont-ils align es? D emontrez-le 3 D emontrer qu’un point appartient a une droite
NOMBRES COMPLEXES : METHODES Comment calculer module et
Si les points A,B,C ont pour affixes respectives z A, z B, z C pour calculer la longueur AB, on calcule le module de z AB → = z B – z A Pour calculer l'angle (AB →, AC) on calcule l'argument de z AC → z AB → = z C – z A z B – z A comment démontrer que trois points sont alignés ?
Nom :VECTEURS2nde
A et B sont deux points distincts On cherche `a construire le point M tel que : 3 MA+ 4 MB = 0 : 1) Les vecteurs MA et MB sont-ils colin´eaires? Ont-ils le m ˆeme sens? Ont-ils la m ˆeme norme? 2) En utilisant la relation de Chasles, montrer que l’on a l’´egalit ´e : 7 MA+ 4 AB = 0 : 3) En d´eduire AM en fonction de AB
5 Exercices et corrig es´ - Free
Si les vecteurs AB~ et AM~ sont colin´eaires, alors les points A, B et M sont align´es Testons cette colin´earit´e, et calculant tout d’abord les coordonn´ees des vecteurs : AB~ −1 + 3
2 - Travail maison - Interrogation Ecrite n° 11 sur 10 points
les vecteurs et sont donc bien colinéaires 3) On en déduit que les droites (EF) et (BC) sont parallèles Exercice 3 : On considère les points A 0; 2 1; 5; B et C 3;2 1) Déterminons le réel a tel que le point Ea ;8 soit aligné avec les points A et B: A,B et E alignés signifient que les vecteurs AB et AE sont colinéaires 1 3 AB
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NOMBRES COMPLEXES : METHODES
Comment calculer module et argument ?
Exemple : z = 3 - 3 i.
z = a² + b² = 3² + ( -3)² = 9 + 9 = 18 = 9 2 = 3 2.Cos q = a
r = 33 2 = 1
2 = 2
2. On peut dire q = p
4 ou q = - p
4 à 2 p près.
Sin q = b
r = -33 2 = -1
2 = - 2
2 NEGATIF donc q = - p
4 + 2 k p
p4 donc z = [ 3 2 , - p
4 ] = 3 2 e - i p
4 2 2 -22 - p
4Exemple : z = - 3 - 3 i.
z = a² + b² = (-3)² + ( -3)² = 9 + 3 = 12 = 4 3 = 2 3.Cos q = a
r = -32 3 = -3 3
2 3 3 = -3 3
2 x 3 = - 3
2 On sait que, ou on lit sur le formulaire que cos p
6 = 3
2On peut donc dire q = p - p
6 = 6p
6 - p6 = 5 p
6 ou q = -5 p
6 à 2 p près.
Sin q = b
r = -32 3 = - 1
2 NEGATIF donc q = = -5 p
6 + 2 k p
5 p6 p
6 donc z = [ 2 3 , - 5 p
6] = 2 3 e - i 5 p
6 -32 3
2 -5 p6 - 1
2 Comment passer de la forme trigonométrique à la forme algébrique ? r e i q = [ r , q] = r( cos q + i sin q) = r cos q + i r sin q exemple 2 e - i 2 p3 = 2 ( cos -2 p
3 + i sin - 2 p
3) = 2 (-1
2 + i - 3
2 ) = - 1 - i 3
2 p3 p
3 3 2 - 12 1
2 - 2 p3 -3
2S = { 3}
Comment ajouter deux nombres complexes ?
Il faut obligatoirement la forme algébrique.
Exemple ( 2 + 3 i) + 3 ( - 2 - 5 i) = 2 + 3 i - 6 - 15 i = - 4 - 12 i.Exemple 5 e i 2 p
3 + 3 e i - p
6 = 5 ( cos 2 p
3 + i sin 2 p
3 ) + 3 ( cos - p
6 + i sin - p
6) =5 ( - 1
2 + i 3
2 ) + 3 (3
2 - 1
2 i) = - 5
2 + 3 3
2 + i ( 5 3
2 - 3 2 )Comment multiplier deux nombres complexes ?
On peut utiliser les deux formes , mais si on a la forme trigonométrique, les calculs seront plus simples.
Exemple : ( 3 + 4 i) (5 - 2 i ) = 15 - 6 i + 20 i - 8 i² = 15 + 14 i + 8 =23 + 14 i5 e i p
12 x 2 e i p
6 =10 e i ( p
12 + p 6 ) = 10 e i p4 ( = 10( cos p
4 + i sin p
4) = 10 2
2 + i 10 2
2 = 5 2 + 5 2 i.
Comment diviser deux nombres complexes ?
On peut utiliser les deux formes , mais si on a la forme trigonométrique, les calculs seront plus simples.
Exemple : ( 3 + 4 i)
(5 - 2 i ) = ( 3 + 4 i ) (5 + 2 i) (5 - 2 i) (5 + 2 i) = 15 + 6 i + 20 i + 8 i²25 - 4 i² = 15 + 26 i - 8
25 + 4 = 7 + 26 i
29 = 7
29 + 26
29 i.Exemple
5 e i p
122 e i p
6 = 52 e i ( p
12 - p6) = 2,5 e - i p
12 Comment résoudre une équation du second degré ? exemple 3 z ² + 4 z + 1 = 0. D = b ² - 4 a c = 4 ² - 4 x 3 x 1 = 16 - 12 = 4 D > 0 donc 2 solutions réelles z1 = - b + D2 a = - 4 + 4
2 x 3 = - 4 + 2
6 = - 2
6 = - 1
3 z2 = - b - D2 a = - 4 - 4
2 x 3 = - 4 - 2
6 = - 6
6 = -1 S = { - 1
3 ;- 1}
exemple - 3 z ² + 4 z - 2 = 0.D = b ² - 4 a c = 4 ² - 4 x ( - 3) x ( - 2) = 16 - 24 = - 8 D < 0 donc 2 solutions complexes conjuguées
z1 = - b + i -D2 a = - 4 + i 8
2( - 3) = - 4 + i x 2 2
-6 = - 2 + i 2 -3 = 2 - i 2 3 z2 = - b - i -D2 a = - 4 - i 8
2( - 3) = - 4 - i x 2 2
-6 = - 2 - i 2 -3 = 2 + i 23 S ={ 2 - i 2
3 ; 2 + i 2
3 } exemple z ² - 6 z + 9 = 0 D = b ² - 4 a c = ( - 6 ) ² - 4 x 1 x 9 = 36 - 36 = 0 donc une solution double z = - b2 a = - ( - 6)
2 x 1 = 6
2 = 3.
comment calculer une longueur, un angle dans un repère orthonormal? Si les points A,B,C ont pour affixes respectives zA, zB, zC pour calculer la longueur AB, on calcule le module de z¾¾®AB = zB - zA.Pour calculer l'angle (
¾¾®AB,
¾¾®AC) on calcule l'argument de z
¾¾®AC
z¾¾®AB = zC - zA
zB - zA. comment démontrer que trois points sont alignés ? Pour démontrer que A, B, C sont alignés, je démontre que l'argument de z¾¾®AC
z¾¾®AB vaut 0 ( p).
Pour démontrer que les droites (AB) et (CD) sont parallèles, je démontre que l'argument de z
AB z¾¾®CD vaut 0 (p).
comment démontrer que deux droites sont perpendiculaires?Pour démontrer que les droites (AB) et (CD) sont perpendiculaires, je démontre que l'argument de z
¾¾®AB
z¾¾®CD vaut p
2 (p).comment trouver l'image d'un point par une translation ou une rotation de centre W dans un repère
orthonormal ? exemple: A(3, 2) ,¾®u(2,-1) W ( 2 ; 1) q = p
6 Soit A' l'image de A par la translation de vecteur¾¾®u.
zA = 3 + 2 i ; z¾¾®u = 2 - i; zA' = zA + z
¾¾®u = 3 + 2 i + 2 - i = 5 + i .
donc A' a pour coordonnées ( 5 ; 1). Soit B l'image de A par la rotation de centre W et d'angle q.la rotation est associée à la fonction définie dans IC par f (z) - zW = (z - zW ) e i q donc
zB - z W= (zA - z W) e i q = [( 3 + 2 i ) - (2 + i ) ] e i p6 = ( 1 + i ) ( cos p
6 + i sin p
6 ) = (1 + i ) ( 3
2 + 1
2 i ) = 3 2 + 12 i + 3
2 i + 1
2 i ² = 3
2 + 1
2 i + 3
2 i - 1
2 = èçae
2 - 1
2 + i èçae
2 + 3 2 donc B a pour coordonnées èçae 2 - 12 , 3
2 + 1 2 comment prouver qu'une rotation de centre W transforme A en B dans un repère orthonormal ? Pour que cette rotation existe, il faut d'abord que WA = WB, donc que WAWB = 1.
Je calcule z
WB z WA, son module doit être 1 et son argument sera l'angle de la rotation. exemple zA = 2 + 4 i ; zB = - 1 + 3 i et z W = 1 + 2 i. zB - z W zA - z W = - 1 + 3 i - 1 - 2 i2 + 4 i - 1 - 2 i = - 2 + i
1 + 2 i = (- 2 + i)(1 - 2 i)
(1 + 2 i) (1 - 2 i) = - 2 + 4 i + i - 2 i ²1 - 4 i ² = 5 i
5 = i
le module est bien 1 donc WA = WB et l'argument vaut p2 donc l'angle (
¾¾®WA ,
¾¾®WB ) vaut p
2. le point B est l'image du point A par la rotation de centre W et d'angle p 2. comment trouver une rotation d'après la formule z' = a z + b avec ½a ½= 1?On me demande de caractériser la transformation géométrique qui à tout point M d'affixe z, associe le point M'
d'affixe z' définie par z' = z e i q + b. Je cherche d'abord un éventuel point fixe (ou invariant). Il est sa propre image, il vérifie donc z' = z c'est-à-dire z = z e i q + b. donc z - z e i q = b donc z ( 1 - e i q ) = b donc z = b1 - e i q.
on multiplie numérateur et dénominateur par l'expression conjuguée du dénominateur, on trouve alors l'affixe du
point invariant I. On écrit îïíïì z' = z e i q + b z I = z I e i q + b on soustrait membre à membre les deux égalités, il vient alors z' - z I = z e i q + b - z I e i q - b donc z' - z I = (z - z I) e i q ; on reconnaît l'écriture de la rotation de centre I et d'angle q.comment trouver une translation ou homothétie d'après la formule z' = k z + b avec k réel et b complexe.
On me demande de caractériser la transformation géométrique qui à tout point M d'affixe z, associe le point M'
d'affixe z' définie par z' = k z + b avec k réel. Je cherche d'abord un éventuel point fixe (ou invariant). Il est sa propre image, il vérifie donc z' = z c'est-à-dire z = k z + b. donc z ( 1 - k) = b * si k = 1 z' = z + b on reconnaît la translation de vecteur