Fiche 3 Limites

Utilisation d’une quantité conjuguée Exemple 4 Trouver lim x→+∞ p x2 +x −x Quand x est grand, √ x2 +x vaut environ √ x2 =x Aucun des termes √ x2 +x et x ne va l’emporter devant l’autre Il faut maintenant voir plus explicitement le face à face √ x2 −x =x −x et pour cela élever au carré √ x2 +x et x

CHAPITRE 4 : LIMITES - Free

En présence d’une forme indéterminée, il faut lever l’indétermination, si c’est possible, en transformant l’écriture de la fonction de façon à pouvoir conclure Parmi ces transformations, on peut citer : • la technique de mise en facteur du terme dominant

Fiche 3 Limites

On a une forme indéterminée 1 1 Pour lever l’indétermination, on factorise au numérateur et au dénominateur par le terme qui croit le plus vite en valeur absolue Dans notre cas, on factorise le numérateur par x3 et le dénominateur par x2 Ainsi, pour x > 0, on a : f (x) = x3 + p x x2 +1 = x3 † 1+ p x x3 ‰ x2 † 1+ 1 x2 ‰= x 1

Savoir Faire CONTINUITE

SF 1 Lever une forme indéterminée •Procéder par opérations, y compris la composition de limites •Encadrer f pour appliquer le théorème d’encadrement •Utiliser le théorème de la limite monotone (ne donne pas la valeur de la limite) •Revenir à la déﬁnition de la limite « avec les "» SF 2 Montrer que f possède une limite en a

7 Suites convergentes

7 2 4 Techniques pour lever une forme indéterminée 7 3 Limites et inégalités 13 7 4 Convergences des suites monotones 16 7 5 Suites adjacentes 18 En mathématiques, on ne comprend pas les choses, on s’y habitue John von Neumann Ce chapitre est consacré à la deuxième partie de l’étude des suites réelles Plus précisé-

LIMITES, CONTINUITÉ, CONVEXITÉ

Méthode : Lever une forme indéterminée sur les fonctions avec des radicaux Vidéo https: Il s'agit d'une forme indéterminée du type "∞−∞"

1 Limiteenl’inﬁnid’unefonction

• Pour lever une forme indéterminée de la forme +∞+(−∞), on peut essayer de changer de forme en factorisant l’expression par le terme prépondérant Pour une fonction polynôme, le terme pré-pondéranten+∞ou −∞estle termedeplus hautdegré • Pour lever une forme indéterminée de la forme ∞ ∞ ou 0 0

Les limites et la fonction exponentielle Les techniques pour

forme indéterminée mais ne jamais l’écrire Dans la rédaction, on justifie en écrivant « par croissance comparée » Pour lever une indétermination avec des exponentielles, il y a donc deux nouvelles méthodes : Factoriser par l’exponentielle de plus haut degré Utiliser la croissance comparée Exemple 1

math 1er S2 et S4 - examens-concoursnet

- Lever une forme indéterminée Programmes de mathématiques du second cycle- Premières S2 et S4 - Année 2006 43 Contenus Commentaires Compétences exigibles

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UNIVERSITÉ DELILLEMATHÉMATIQUES POUR LASVTFiche 3. Limites

Savoir.

Connaître les limites des fonctions usuelles. Connaître les opérations sur les limites.

Savoir-faire.

Savoir déterminer la limite en un réela, en+1ou en1d"une fonction donnée. Savoir appliquer les différentes méthodes de calcul de limites.

Savoir lever une indétermination.La notion de limite permet d"étudier le comportement d"une fonctionf:R!Ren un point, en1ou

+1.

Notion de limite en+1

Limite finie en+1

Soit`un réel. Si tout intervalle ouvert]`",`+"[, avec" >0, contient toutes les valeurs def(x)pour xsuffisamment grand alors on dit queftend vers`en+1et on note limx!+1f(x) =`ouf(x)!x!+1`.xy

Limite infinie en+1

Si tout intervalle [M,+1[avecM2Rcontient toutes les valeurs def(x)pourxsuffisamment grand alors on dit queftend vers+1en+1et on note limx!+1f(x) = +1. Si tout intervalle ] 1,M]avecM2Rcontient toutes les valeurs def(x)pourxsuffisamment grand alors on dit queftend vers1en+1et on note limx!+1f(x) =1. 1 xy lim x!+1f(x) = +1xy lim x!+1f(x) =1Remarque Une fonction fn"admet pas obligatoirement de limite en+1. Par exemple, les fonctions sinus et cosinus n"admettent pas de limite que ce soit en+1ou en1. La notion de limite en 1ne sera pas explicitée, elle est similaire à celle en+1.

Notion de limite en un réela

Limite finie ena

Soit`2R. Si tout intervalle ouvert]`",`+"[, avec" >0 contient toutes les valeurs def(x)pourx suffisamment proche deaalors on dit queftend vers`enaet on note limx!af(x) =`.xy a

Limite infinie ena

Si tout intervalle [M,+1[avecM2Rcontient toutes les valeurs def(x)pourxsuffisamment proche deaalors on dit queftend vers+1enaet on note limx!af(x) = +1. Si tout intervalle ] 1,M]avecM2Rcontient toutes les valeurs def(x)pourxsuffisamment proche deaalors on dit queftend vers1enaet on note limx!af(x) =1.xy axy a 2

Limite à gauche, limite à droite ena

P ourdéfinir la notion de limite à gauche en a, on remplace la locution "xsuffisamment proche dea"

de la définition par "xsuffisamment proche deaavecxP ourdéfinir la notion de limite à droite en a, on remplace la locution "xsuffisamment proche dea"

de la définition par "xsuffisamment proche deaavecx>a". La notation devient limx!a+f(x).

L"étude de la fonction inverse est un exemple

montrant l"importance de la notion de limite à gauche et de limite à droite. En effet, la li- mite en 0 n"existe pas mais lim x!01x =1et lim x!0+1x = +1.xy 0

Opérations sur les limites

Lorsque l"on connaît la limite de deux fonctionsfetgen un point ou en l"infini, que se passe-t-il pourkf

(aveckun réel),f+g,fg,fg,fg (si cela existe),fg(composée degparfsi cela existe)? Toutes

ces opérations sont naturelles, à l"exception notable des formes indéterminées (notées FI).

Limite d"une somme de fonctionsSif(x)!x!a`etg(x)!x!a`0alorsf(x)+g(x)!x!a`+`0.Cette formule est encore valable si on se place ena= +1(oua=1).

Ces formules sont aussi valables dans certains cas pour`= +1ou`0= +1en utilisant les conventions : `+1= +1+1+1= +1 Exemple. f(x) =exp(x)etg(x) =x21. On a limx!1f(x) =0 et limx!1g(x) = +1donc limx!1f(x)+ g(x) = +1. On a aussi limx!1f(x)g(x) =1. Par contre sif(x)!x!a+1etg(x)!x!a1, alors il s"agit d"une forme indéterminée "+1 1". On

ne peut rien dire sur la limite def+g. Il faut étudier la situation à la main sur chaque exemple.lim

x!af(x)```+11+1lim x!ag(x)`

0+11+111

lim x!af(x)+g(x)`+`0+11+11FI

Limite d"un produit de fonctions

Ces formules s"étendent dans certains cas pour`= +1ou`0= +1en utilisant les conventions : (+1)(+1) = +1(1)(1) = +1(+1)(1) =1 `(+1) = +1si` >0`(+1) =1si` <0 Par contre "0(+1)" est une forme indéterminée à étudier au cas par cas.lim x!af(x)`` >0` <00+1+11 lim x!ag(x)`

0+1+1+1+111

lim x!af(x)g(x) =``

0+11FI+11+1Limite de l"inverse d"une fonction

Sif(x)!x!a`avec`6=0 alors et1f(x)!x!a1`

.La forme " 10 " est indéterminée, mais par contre on peut dire "10 += +1" et "10 =1".lim x!af(x)`6=0+110 +0 lim x!a1f(x)1 `0 +0 +11

Pour une fraction

fg on écritf(x)g(x)=f(x)1g(x).

2+1

P ourtout x>0 on a :xx

2+1=xx

1+1x 2 =1x 1+1x 2

On sait que lim

x!+11x

2=0 et donc que limx!+11+1x

2=1. Donc limx!+11x

1+1x 2 =0. D"où lim x!+1xx

2+1=0.

On sait que lim

y!0ln(y) =1.

Ainsi, par le théorème de composition, lim

2+1

=1.

Comment lever une indétermination?

Les opérations sur les limites ne permettent pas de conclure dans tous les cas. Il existe des formes indéter-

minées. Les plus courantes sont du type : +110(+1)00
11

Dans ce cas, il faut lever l"indétermination. Pour cela, il existe différentes méthodes que nous expliquerons

par des exemples. 4

Factorisation

Considérons la fonction polynomiale définie par f(x) =3x67x5+x+12. On cherche à déterminer

limx!1f(x). Pour cela, on factorise par le monôme de plus haut degré. Ici il s"agit du monôme3x6.

Pourx<0 on a donc :

17x53x6+x3x6+123x6

1+73x13x54x

Or lim

x!173x=limx!113x5=limx!14x

6=0, donc la fonction dans la parenthèse tend vers 1 et comme

lim x!13x6=1, on obtient lim x!1f(x) =1. On considère la fonction définie par f(x) =x3+px x

2+1. On cherche à déterminer limx!+1f(x). On a une

forme indéterminée 11 . Pour lever l"indétermination, on factorise au numérateur et au dénominateur

par le terme qui croit le plus vite en valeur absolue. Dans notre cas, on factorise le numérateur par

3et le dénominateur parx2. Ainsi, pourx>0, on a :

f(x) =x3+px x 2+1=x 1+px x

3x

1+1x 2 =x1+px x 31+1x

2=x1+x52

1+1x 2.

Or lim

x!+11x

2=0 et limx!+1px

3=limx!+1x52

=0. Donc limx!+11+x52 1+1x

2=1 et limx!+1f(x) = +1.

Utilisation de l"expression conjuguée

À partir de l"identité remarque(ab)(a+b) =a2b2, on déduit que(papb)(pa+pb) =ab. Considérons la fonction définie parf(x) =px+1px x . On cherche à déterminer limx!+1f(x). Nous utilisons la quantité conjuguée depx+1px, qui estpx+1+px. Ainsi, pourx>0, on a : f(x) =px+1px x =px+1px x px+1+pxpx+1+px =(px+1px)(px+1+px)x(px+1+px)

Or lim

x!+1x(px+1+px) = +1. Donc limx!+1f(x) =limx!+1px+1px x =0. Utilisation de la définition de la dérivée Considérons la fonction définie parf(x) =cos(x)1x . On veut déterminer limx!0f(x). Pour cela, on pose

g(x) =cos(x). La fonction cosinus est dérivable en 0 et, par définition,g0(0) =limx!0g(x)g(0)x0. Or

g(0) =cos(0) =1. Donc lim x!0f(x) =limx!0cos(x)1x =g0(0)

Il ne reste plus qu"à calculerg0(0)à l"aide deg0. On sait queg0(x) =sin(x)pour tour réelx. Ainsi

0(0) =sin(0) =0. On obtient finalement que limx!0f(x) =0.

En exercice, calculez lim

x!0e x1x et limx!0sin(x)x 5

Règle de l"Hôpital

Soientfetgdeux fonctions définies et dérivables avec : f(a) =0g(a) =0 etg0(a)6=0.

Alors: lim

x!af(x)g(x)=f0(a)g

0(a).Exemple.Considérons la fonction définie parh(x) =x31x1. On veut déterminer limx!1h(x). On posef(x) =

31 etg(x) =x1. Ces deux fonctions sont définies et dérivables surRcar ce sont des fonctions

polynomiales. De plus,f(1) =g(1) =0,g0(x) =3x,g0(1) =36=0,f0(x) =1 etf0(1) =1. Alors, en utilisant la règle de l"Hôpital, on a : lim x!1h(x) =limx!1f(x)g(x)=f0(1)g

0(1)=3.

Exercice. Calculer lim

x!0e x1x

Croissances comparées

Ce sont des situations où l"on peut lever l"indétermination car une fonction "l"emporte" sur l"autre. Par

exemple le comportement de l"exponentielle l"emporte sur le comportement d"une fonction polynôme, qui

elle l"emporte sur le logarithme.a)lim x!+1e xx k= +1 b) lim x!1jxjkex=0 c) lim x!+1ln(x)x k=0 d) lim x!0+xkln(x) =0 oùk>0 est un entier ou un réelExemple.Calculons limx!+1x1x .Soitx>0.Onax1x ln(x) .Or,parcroissancecomparée, lim x!+11x ln(x) =

0. On sait que lim

x!0exp(x) =1. Ainsi, limx!+1x1x =1. Une fonction croissante et majorée admet une limite Proposition.Soitf:R!Rune fonction croissante et majorée (c"est-à-dire il existeM>0 tel que f(x)Exemple.Soitf(x) =cos(1x ) +1x f

0(x) =sin(1x

)1x doncfest décroissante et minorée par1, doncfadmet une limite`en+1. La proposition ne donne pas la valeur de la limite (en fait ici`=1). 6quotesdbs_dbs5.pdfusesText_10

[PDF] Fiche 3 Limites

Savoir.

Savoir-faire.

Notion de limite en+1

Limite finie en+1

Limite infinie en+1

Notion de limite en un réela

Limite finie ena

Limite infinie ena

Limite à gauche, limite à droite ena

L"étude de la fonction inverse est un exemple

Opérations sur les limites

0+11+111

Limite d"un produit de fonctions

0+1+1+1+111

0+11FI+11+1Limite de l"inverse d"une fonction

Sif(x)!x!a`avec`6=0 alors et1f(x)!x!a1`

Pour une fraction

2+1

P ourtout x>0 on a :xx

2+1=xx

On sait que lim

2=0 et donc que limx!+11+1x

2=1. Donc limx!+11x

2+1=0.

On sait que lim

Ainsi, par le théorème de composition, lim

2+1

Comment lever une indétermination?

Factorisation

Pourx<0 on a donc :

17x53x6+x3x6+123x6

1+73x13x54x

Or lim

6=0, donc la fonction dans la parenthèse tend vers 1 et comme

2+1. On cherche à déterminer limx!+1f(x). On a une

3et le dénominateur parx2. Ainsi, pourx>0, on a :

3x

2=x1+x52

Or lim

2=0 et limx!+1px

3=limx!+1x52

2=1 et limx!+1f(x) = +1.

Utilisation de l"expression conjuguée

Or lim

0(0) =sin(0) =0. On obtient finalement que limx!0f(x) =0.

En exercice, calculez lim

Règle de l"Hôpital

Alors: lim

0(a).Exemple.Considérons la fonction définie parh(x) =x31x1. On veut déterminer limx!1h(x). On posef(x) =

31 etg(x) =x1. Ces deux fonctions sont définies et dérivables surRcar ce sont des fonctions

0(1)=3.

Exercice. Calculer lim

Croissances comparées

0. On sait que lim

0(x) =sin(1x

2+1

2+1

17x53x6+x3x6+123x6

3x