Formes indéterminées - MATHEMATIQUES
Utilisation d’une quantité conjuguée Exemple 4 Trouver lim x→+∞ p x2 +x −x Quand x est grand, √ x2 +x vaut environ √ x2 =x Aucun des termes √ x2 +x et x ne va l’emporter devant l’autre Il faut maintenant voir plus explicitement le face à face √ x2 −x =x −x et pour cela élever au carré √ x2 +x et x
CHAPITRE 4 : LIMITES - Free
En présence d’une forme indéterminée, il faut lever l’indétermination, si c’est possible, en transformant l’écriture de la fonction de façon à pouvoir conclure Parmi ces transformations, on peut citer : • la technique de mise en facteur du terme dominant
Fiche 3 Limites
On a une forme indéterminée 1 1 Pour lever l’indétermination, on factorise au numérateur et au dénominateur par le terme qui croit le plus vite en valeur absolue Dans notre cas, on factorise le numérateur par x3 et le dénominateur par x2 Ainsi, pour x > 0, on a : f (x) = x3 + p x x2 +1 = x3 † 1+ p x x3 ‰ x2 † 1+ 1 x2 ‰= x 1
Savoir Faire CONTINUITE
SF 1 Lever une forme indéterminée •Procéder par opérations, y compris la composition de limites •Encadrer f pour appliquer le théorème d’encadrement •Utiliser le théorème de la limite monotone (ne donne pas la valeur de la limite) •Revenir à la définition de la limite « avec les "» SF 2 Montrer que f possède une limite en a
7 Suites convergentes
7 2 4 Techniques pour lever une forme indéterminée 7 3 Limites et inégalités 13 7 4 Convergences des suites monotones 16 7 5 Suites adjacentes 18 En mathématiques, on ne comprend pas les choses, on s’y habitue John von Neumann Ce chapitre est consacré à la deuxième partie de l’étude des suites réelles Plus précisé-
LIMITES, CONTINUITÉ, CONVEXITÉ
Méthode : Lever une forme indéterminée sur les fonctions avec des radicaux Vidéo https: Il s'agit d'une forme indéterminée du type "∞−∞"
1 Limiteenl’infinid’unefonction
• Pour lever une forme indéterminée de la forme +∞+(−∞), on peut essayer de changer de forme en factorisant l’expression par le terme prépondérant Pour une fonction polynôme, le terme pré-pondéranten+∞ou −∞estle termedeplus hautdegré • Pour lever une forme indéterminée de la forme ∞ ∞ ou 0 0
Les limites et la fonction exponentielle Les techniques pour
forme indéterminée mais ne jamais l’écrire Dans la rédaction, on justifie en écrivant « par croissance comparée » Pour lever une indétermination avec des exponentielles, il y a donc deux nouvelles méthodes : Factoriser par l’exponentielle de plus haut degré Utiliser la croissance comparée Exemple 1
math 1er S2 et S4 - examens-concoursnet
- Lever une forme indéterminée Programmes de mathématiques du second cycle- Premières S2 et S4 - Année 2006 43 Contenus Commentaires Compétences exigibles
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LIMITES, CONTINUITÉ, CONVEXITÉ
I. Limite d'une fonction à l'infini
1) Limite finie à l'infini
Intuitivement :
On dit que la fonction admet pour limite en +∞ si ()est aussi proche de que
l'on veut pourvu que soit suffisamment grand.Exemple :
La fonction définie par
=2+ a pour limite 2 lorsque x tend vers +∞. En effet, les valeurs de la fonction se resserrent autour de 2 dès que x est suffisamment grand. La distance MN tend vers 0. Si on prend un intervalle ouvert quelconque contenant 2, toutes les valeurs de la fonction appartiennent à cet intervalle dès que x est suffisamment grand.Définition :
On dit que la fonction admet pour limite en +∞ si tout intervalle ouvert contenant
contient toutes les valeurs de () dès que est suffisamment grand et on note :
lim Définitions : - La droite d'équation = est asymptote horizontale à la courbe représentative de la fonction f en +∞ si lim - La droite d'équation = est asymptote horizontale à la courbe représentative de la fonction f en -∞ si limRemarque :
Lorsque x tend vers +∞, la courbe de la fonction "se rapproche" de son asymptote.La distance MN tend vers 0.
22) Limite infinie à l'infini
Intuitivement :
On dit que la fonction admet pour limite +∞ en +∞ si ()est aussi grand que l'on
veut pourvu que soit suffisamment grand.Exemple :
La fonction définie par
a pour limite +∞ lorsque tend vers +∞. En effet, les valeurs de la fonction deviennent aussi grandes que l'on souhaite dès que est suffisamment grand. Si on prend un réel quelconque, l'intervalle contient toutes les valeurs de la fonction dès que est suffisamment grand.Définitions : - On dit que la fonction admet pour limite +∞ en +∞ si tout intervalle
, réel, contient toutes les valeurs de () dès que est suffisamment grand et on note : lim - On dit que la fonction admet pour limite -∞ en +∞ si tout intervalleréel, contient toutes les valeurs de () dès que est suffisamment grand et on
note : limRemarques :
- Une fonction qui tend vers +∞ lorsque x tend vers +∞ n'est pas nécessairement croissante. 3 - Il existe des fonctions qui ne possèdent pas de limite infinie. C'est le cas des fonctions sinusoïdales.3) Limites des fonctions usuelles
Propriétés :
- lim =+∞, lim - lim =+∞, lim - lim =+∞, lim =+∞ (pour n pair) - lim =+∞, lim =-∞ (pour n impair) - lim - lim 1 =0, lim 1 =0 - lim =+∞, lim =0II. Limite d'une fonction en un réel A
Intuitivement :
On dit que la fonction admet pour limite +∞ en si () est aussi grand que l'on
veut pourvu que soit suffisamment proche de .Exemple :
La fonction représentée ci-dessous a pour limite +∞ lorsque tend vers . En effet, les valeurs de la fonction deviennent aussi grandes que l'on souhaite dès que x est suffisamment proche de . Si on prend un réel quelconque, l'intervalle contient toutes les valeurs de la fonction dès que est suffisamment proche de . 4 Définitions : - On dit que la fonction admet pour limite en si tout intervalle , réel, contient toutes les valeurs de ()dès que est suffisamment proche de et on note : lim - On dit que la fonction admet pour limite en si tout intervalle , réel,contient toutes les valeurs de ()dès que est suffisamment proche de et on
note : lim Définition : La droite d'équation = est asymptote verticale à la courbe représentative de la fonction , si : lim =+∞ ou lim