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Probabilités La loi géométrique tronquée TI graphiques (83

La loi géométrique a ici pour paramètre 0,5 (probabilité d’un succès lors d’un lancer), et on peut afficher la probabilité des évènements P ( X = k ) pour les valeurs de k allant de 1 à 4 comme le montre l’écran ci-contre

FICHE PRATIQUE: LOI GEOMETRIQUE, MENU STATISTIQUE UE

Loi Géométrique, menu Statistique Les valeurs obtenues seront alors sauvegardées dans la liste 4 Puis, il faut utiliser 2 fois la touche d pour revenir aux listes Ayant les résultats, il est possible de les obtenir sous forme de graphiques : q {GRAPH} Graphiques u {SET} Réglages

Probabilités La loi géométrique tronquée

La loi géométrique tronquée Le problème : L’épreuve consiste à lancer une pièce de monnaie parfaitement équilibrée autant de fois que nécessaire à l’obtention du premier « Pile » X désigne la variable aléatoire qui prend pour valeur le nombre de lancers nécessaire à l’obtention du premier

LOIS DISCRÈTES (Partie 2)

Soit 2 la variable aléatoire qui suit la loi géométrique de paramètre 1 Pour tout entier naturel ( non nul, la loi de probabilité de 2 est : 8(2=()=1(1−1)9;= Exemple : On lance une pièce de monnaie et on s’arrête dès qu’on obtient « pile », que l’on considère comme succès

LOIS ENTREE-SORTIE PAS FERMETURE GEOMETRIQUE Exercice 1

Question 3 : Déterminer, à l’aide d’une fermeture géométrique, la loi entrée-sortie en position λ= αf()de la pompe à palettes Par fermeture géométrique : OO O D DE EO12 2 1+++ =0 JJJJJG JJJJG JJJG JJJJG G −e x1 +d y2 +λ x2 +EO1 =0 or on sait que EO1 =R

Variables aléatoires discrètes : loi et espérance

UniversitéPierreetMarieCurie 2013-2014 Probabilitésélémentaires-LM345 Feuille4(semainedu7au11octobre2012) Variables aléatoires discrètes : loi et espérance

SYSTEME VIS-ECROU - AlloSchool

Le système Vis écrou est réversible si la condition géométrique selon l'angle de frottement est respectée IV Couple et Effort axial développé 1 ) Liaison parfaite : Les frottements supposés négligeables et le rendement est a 100 Couple exercé Effort axial développé : P : pas en mm, X : déplacement en mm,

TD 1 : Quelques rappels de probabilit es

Statistique 2020-2021 TD 1 : Quelques rappels de probabilit es Exercice 1 1 Donner la d e nition d’une variable al eatoire r eelle et de sa loi de probabilit e

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Statistique2021-2022TD 1 : Quelques rappels de probabilites

Exercice 1

1. Donner la d enitiond'une v ariableal eatoirer eelleet de sa loi de probabilit e. 2. Donner la d enitionde la fonction de r epartitiond'une v ariableal eatoirer eelle. 3.

Donner la d enitiond'une densit e.

4. Expliquer les in ter^etsde la fonction de r epartitione tde la densit e.

Exercice 2

1. Soit Xune v.a.r. de fonction de repartition denie par : F

X(x) =8

>:1 six1

3=4 si 2=3x <1

1=2 si 1=4x <2=3

0 six <1=4:

Tracer le graphe de cette fonction de repartition et calculer : P(X= 1=4);P(X2=3);P(X <2=3);P(X >2=3);P(X= 2=3);P(X2[1=4;2=3]): Cette v.a.r. est-elle de loi discrete ? A densite ? 2. M ^emesquestions p ourune v.a.r. don tla fonction de r epartitionest d eniepar : F

X(x) =8

:1 six2=3

3x=2 si 0x <2=3

0 six <0:

3. M ^emesquestions p ourune v.a.r. don tla fonction de r epartitionest d eniepar : F

X(x) =8

:1 six2=3 14 (x+ 1) si 0x <2=3

0 six <0:

Exercice 3

1. Calculer l'esp eranceet la v arianced'une v.a. r.de loi absolumen tcon tinuede densit efXdenie par f

X(x) =12

exp(jxj): 2. M ^emequestion p ourune v.a.r. de densit efXdenie par f

X(x) =8

:1=x3six <1;

0 si1x <1;

1=x3six1:Statistique1TD 1

Exercice 4

SoitXune variable aleatoire reelle de densitefdenie par f (x) = (1)1[1=2;0](x) + (1 +)1]0;1=2](x); ouest un parametre reel tel quejj 6= 1. 1. Quelles conditions doit v erierpour quefsoit bien une densite de probabilite par rapport a la mesure de Lebesgue surR? 2.

Calculer l'esp erancede X.

3. Soien tX1;:::;Xnnvariables aleatoires independantes et de m^eme loi de densitef. SoientUnet V nles variables aleatoires denies par U n=nX i=11 ]1;0](Xi) etVn=nX i=11 ]0;+1[(Xi): (a) Mon trerque UnetVnsuivent des lois binomiales dont on precisera les valeurs des parametres. (b)

Calculer E[Un],E[Vn] et en deduireE[(VnUn)=n].

(c)

Calculer E[UnVn] etcov(Un;Vn).

(d)

Mon trerque

VVnUnn

tend vers 0 lorsquentend vers l'inni.

Exercice 5

SoitXla variable aleatoire reelle de densite

f

X(x) =2xexsix >0 ( >0);

0 six0:

Determiner la loi des variables suivantes :X, 1=X,X2,pX.

Exercice 6

1.

Donner la d enitiond'un v ecteural eatoire.

2. Donner la d enitionde la fonction de r epartitiond'un v ecteural eatoire. 3. Donner la d enitionde la densit ed'un v ecteural eatoire. 4. Expliquer les i nter^etsde la fonction de r epartitionet de la densit e.

Exercice 7

Soit (X;Y) un couple aleatoire de densite conjointefdenie par : f(x;y) =cxy1[0;2][0;5](x;y): 1. D eterminerla v aleurde c, puis la fonction de repartition conjointe du couple (X;Y). 2. D eterminerles lois marginales de XetYde deux facons dierentes. 3.

Calculer P(X1;Y1),P(XY).

Exercice 8

Soit (X;Y) un couple aleatoire dont la densite conjointe est denie par : f(x;y) =eysi 0xy

0 sinon.Statistique2TD 1

1.D eterminerla fonction de r epartitionconjoin tedu couple ( X;Y).

2.

D eterminerles lois marginales de XetY.

3.

Calculer P(X1;Y2),P(X=Y1=2).

Exercice 9

CalculerP(X2+Y21) si (X;Y) est un couple aleatoire de densite conjointefdenie par f(x;y) =2 si 0xy1;

0 sinon.

Exercice 10

SoitXetYdeux variables aleatoires reelles independantes de lois absolument continues, de densites respectives denies par f X(x) = 2exp(2x)1[0;+1[(x) etfY(y) =yexp(y)1[0;+1[(y): 1.

Donner la densit econjoin tedu couple ( X;Y).

2. Calculer p ourtout u2[0;+1[,P(2X+Y=u),P(2X+Yu). Que peut-on en deduire ?

Exercice 11

SoitX= (X1;:::;Xn) un vecteur aleatoire dont les variables marginales sont independantes identique- ment distribuees (echantillon), chacune de fonction de repartition noteeF. 1. D eterminerla loi de max fX1;:::;Xng, et celle de minfX1;:::;Xng. 2. Dans le cas d'un couple de v ariablesal eatoires,d eterminerla loi conjoin tede (maxfX1;X2g;minfX1;X2g):

Exercice 12

Soit (X;Y) un couple aleatoire dont la densite conjointe est la fonctionfdenie par f(x;y) =12 (x+y)exp((x+y))1[0;+1[2(x;y): 1.

D eterminerla loi de la v ariableX+Y.

2. D eterminerla loi conjoin tedu couple al eatoire( X+Y;XY), puis celle du couple aleatoire (X+Y;Y).

Exercice 13

Soit (X;Y) un couple aleatoire dont la densite conjointe est donnee par : f(x;y) =12 px ey1x>0;y>0;xD eterminerles densit esmarginales de XetY. 2. Les v ariablesmarginales XetYsont-elles independantes ? 3.

Les v ariablesXetYpXsont-elles independantes ?

4. Les v ariablesYetX=Y2sont-elles independantes ?Statistique3TD 1 Statistique2021-2022TD 2 : Theorie de l'estimation

Exercice 1

On dispose denobservationsx1;:::;xna valeurs dans une espaceH. 1. Expliquer les di erentes etapesde la mo delisationstatistique. On donnera notamme ntla d enition precise d'un modele. 2. Quelle est la distinction en treun mo deleparam etriquee tun mo delenon-param etrique? 3.

Qu'est-ce qu'un estimateur ?

4. Qu'est-ce que le biais d'un estimateur ? Sa v ariance?

Exercice 2

On considerenvariables aleatoiresX1;:::;Xni.i.d. d'esperanceet de variance2nie. 1.

Prop oserun estimateur (raisonnable) de .

2.

Calculer son biais et sa v ariance.

3.

M ^emequestion p our2.

Exercice 3

SoitX1;:::;Xnnvariables aleatoires i.i.d. de loi de Bernoulli de parametrepinconnu. 1.

Prop oserun estimateur (raisonnable) de p.

2.

Calculer son biais et sa v ariance.

Exercice 4

SoitX1;:::;Xnnvariables aleatoires i.i.d. de loi de Poisson de parametreinconnu. 1.

Prop oserun estimateur (raisonnable) de .

2.

Calculer son biais et sa v ariance.

Exercice 5

SoitX1;:::;Xnnvariables aleatoires i.i.d. de loi normaleN(;2). 1.

On supp oseici que 2est connu.

(a)

Prop oserun estimateur (raisonnab le)de .

(b)

Calculer son biais et sa v ariance.

2.

On supp osemain tenantque est connu.

(a)

Prop oserun estimateur (raisonnab le)de 2.

(b)

Calculer son biais.

3. On supp oseenn que et2sont inconnus.Statistique5TD 2 (a)Prop oserun estimateur raisonnab lede . Calculer son biais et sa variance. (b)

Prop oserun estimateur raisonnable de 2.

(c)

Calculer son biais. On p ourra ecrire

1n n X i=1(XiX)2=1n n X i=1 (Xi) + (X)2:

Exercice 6

SoitX1;:::;Xnnvariables aleatoires i.i.d. de loi de Uniforme sur [0;] avec2R+inconnu. On considere les estimateurs^m= 2Xnet^MV= max(X1;:::;Xn): 1. Expliquer la logique de construction de ces estimateurs. 2.

Discuter du biai sde

^MV. 3. Calculer le biais, la v arianceet le risque quadratique de ^m. 4.

Calculer la fonction de r epartition

^MVet montrer que la densite de^MVest donnee par f ^MV(x) =nxn1 n1]0;[(x): 5. D eduirede la question pr ecedentel'esp erance,la v ariancedequotesdbs_dbs11.pdfusesText_17