[PDF] Limites et continuité

LIMITES ET CONTINUITÉ (Partie 1)

Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www maths-et-tiques 1 LIMITES ET CONTINUITÉ (Partie 1) I Limite d'une fonction à l'infini 1) Limite finie à l'infini Intuitivement : On dit que la fonction f admet pour limite L en +∞ si f (x) est aussi proche de L que l’on veut pourvu que x soit suffisamment grand Exemple :

Exercices avec solutions : LIMITE ET CONTINUITE

S donc 0 4 xh S o o 0 4 tan tan 1 4 lim lim 4 x h h x x S S o S o §· ¨¸ ©¹ or : tan tan 4 tan 1 tan 4 1 tan 1 tan tan 4 h h h h S S §· ¨¸ ©¹ u 0 4 tan 1 2 tan 2 lim lim 1 2 1 tan 1 4 x h xh x hh S S o o u u Exercice2 : (Limites à droite et à gauche) Soit la fonction 1²: ²1 x fx x Etudier la limite de f en x 0 1 Solution

LIMITESET CONTINUITÉ - Free

Supposons que k soit l’image de deuxréels distincts c etc′avecc

LIMITES ET CONTINUITE - Unisciel

Limites et continuité - 1 - ECS 1 LIMITES ET CONTINUITE I – Limites On va appeler voisinage de +∞ les intervalles de la forme ] , [A +∞ avec A >0 On va appeler voisinage de −∞ les intervalles de la forme ] , [−∞ −A avec A >0 On va appeler voisinage d’un réel a les intervalles de la forme ] , [a a−ε +ε avec ε>0

Fonctions : limites, continuit´e, d´erivabilit´e

Soient f, g, et h trois fonctions d´efinies sur le mˆeme ensemble D et x0 ∈ R On suppose que f et h admettent la mˆeme limite ℓ ∈ Ren x0 et que au voisinage de x0 on a f 6g 6h Alors lim x0 g = ℓ Le th´eor`eme pr´ec´edent est souvent appel´e th´eor`eme des gendarmes

Limites et continuité

2Théorèmes de comparaison et composition de fonc-tions 2 1Théorème des Gendarmes ou d’encadrement Théorème 3 : Limites et ordre 1) Théorème des « Gendarmes » f, g, et h sont trois fonctions définies sur l’intervalle I =]b;+¥[ et ‘ un réel Si pour tout x 2I, on a : g(x) 6 f(x) 6 h(x) et si g et h ont même limite ‘ en

Limite, continuité, théorème des valeurs intermédiaires

Limite, continuité, théorème des valeurs intermédiaires, dérivabilité, théorèmes de Rolle et des accroissements finis I Limites Continuités Exercice 1 : Soit ]:−1,+∞[→ℝla fonction définie par : ( T)= T √1+ T2−√1+ T Déterminer les limites de , si elle existent, en 0 et en +∞ Allez à : Correction exercice 1 :

LIMITES – EXERCICES CORRIGES - Free

courbe représentative de f et les positions relatives de la courbe et de chaque asymptote Exercice n°23 Soit f la fonction fx xx x ()= +− + 231 2 2 1) Déterminez trois nombres réels a,b et c tels que fx ax b c x ()=++ +2 pour x ≠−2 2) Etudier le comportement de f en+∞ (limite, asymptote sur la courbe) Exercice n°24

Cf - Free

b Limite finie en + ¥ et en – ¥ et asymptote horizontale Soit f une fonction définie sur un intervalle I Intuitivement, dire que f a pour limite L en + ¥ , signifie que lorsque x prend des valeurs de plus en plus grandes vers + ¥ , les nombres f (x) viennent s’accumuler autour de L On note : lim x fi +¥ f ( x ) = L

[PDF] limite et continuité exercices

[PDF] limite et continuité exercices corrigés bac science

[PDF] limite et continuité exercices corrigés pdf

[PDF] limite et continuité pdf

[PDF] limite et continuité terminale s

[PDF] Limite et Factoriel

[PDF] Limite et image de fonction

[PDF] Limite et suite

[PDF] limite exponentielle en 0

[PDF] limite exponentielle et logarithme

[PDF] Limite finie de suite

[PDF] limite fonction

[PDF] limite fonction racine nième

[PDF] limite fonction rationnelle en 0

[PDF] limite fonction trigonométrique exercice corrigé

1

Limites et continuité

Table des matières

1 Limites - Rappels de première

2

1.1 Définition

2

1.2 Asymptotes parallèles aux axes

3

1.3 Limites des fonctions élémentaires

3

1.4 Opérations sur les limites

3

1.4.1 Somme de fonctions

3

1.4.2 Produit de fonctions

3

1.4.3 Quotient de fonctions

4

1.4.4 Conclusion

4

1.5 Théorème sur les fonctions polynomes et les fonctions rationnelles

4

1.5.1 Fonction polynôme

4

1.5.2 Fonction rationnelle

5

1.6 Asymptote oblique

6

2 Théorèmes de comparaison et composition de fonctions

7

2.1 Théorème des Gendarmes ou d"encadrement

7

2.2 Limite d"une fonction composée

10

3 Continuité et théorème des valeurs intermédiaires

11

3.1 Définition

11

3.2 Continuité et dérivabilité

12

3.3 Fonctions continues

13

3.4 Théorème des valeurs intermédiaires

13 PAUL MILAN10 octobre 2011 TERMINALES

21 LIMITES - RAPPELS DE PREMIÈRE1Limites - Rappels de première

1.1

Définition

La définition rigoureuse des différentes limites n"est pas au programme, ce- pendant il est important de définir en langage ordinaire la signification de celles- ci.Définition 1 :Voici les définitions que l"on peut se donner en terminale. lim x!+¥f(x) =`: tout intervalle ouvert de centre` contient toutes les valeurs def(x) prises pour tous lesxd"un inter- valle]A;+¥[. (en¥intervalle]¥;A[)lim x!+¥f(x) = +¥: tout intervalle ouvert]M,+¥[con- tient toutes les valeurs def(x)pri- ses pour tous lesxd"un intervalle ]A;+¥[. (transposer en¥)lim x!af(x) = +¥: tout intervalle]M,+¥[contient toutes les valeurs def(x)prises pour tous lesxd"un intervalle ou- vert centré ena. (]ah;a+h[etx6=a)lim x!af(x) =`: tout intervalle ouvert de centre` contient toutes les valeurs def(x) prises pour tous lesxd"un inter-

valle ouvert centré ena.On peut aussi définir la limite à gauche ou à droite dex=alorsque la limite

enx=an"existe pas. On notera alors : limite à gauche : lim x!axaf(x)PAUL MILAN10 octobre 2011 TERMINALES

1.2 ASYMPTOTES PARALLÈLES AUX AXES31.2Asymptotes parallèles aux axes

Résultat surfInterprétation géométrique sur la courbeCflim x!¥f(x) =lLa droitey=lest asymptote horizontale àCflim x!af(x) =¥La droitex=aest asymptote verticale àCf1.3Limites des fonctions élémentaires Les fonctions élémentaires vues en première sont :

êxn,1x

navecn2N pxet1px

Limites en l"infinif(x)x

n1 x npx1px lim x!+¥f(x)+¥0+¥0 lim x!¥f(x)+¥sinpair

¥sinimpair0non défininon défini

Limites en 0

f(x)1 x n1px lim x!0x>0f(x)+¥+¥lim x!0x<0f(x)+¥sinpair

¥sinimpairnon défini

1.4

Opérations sur les limites

1.4.1 Somme de fonctions Sifa pour limite```+¥¥+¥Siga pour limite`

0+¥¥+¥¥¥alorsf+ga pour limite`+`0+¥¥+¥¥F. Ind.

1.4.2

Produit de fonctions

Sifa pour limite``6=00¥

Siga pour limite`

0¥¥¥

alorsfga pour limite``0¥*F. ind.¥**Appliquer la règle des signesPAUL MILAN10 octobre 2011 TERMINALES

41 LIMITES - RAPPELS DE PREMIÈRE1.4.3Quotient de fonctions

Sifa pour limite``6=00`¥¥

Siga pour limite`

06=000¥`

0¥ alors fg a pour limite`

0¥*F. ind.0¥*F. ind.

*Appliquer la règle des signes 1.4.4

Conclusion

Il existe donc quatre formes indéterminées où les opérations sur les limites ne permettent pas de conclure. Dans certains cas, les limites sur les polynômes et les fonctions rationnelles permettent de lever l"indétermination. Lorsque ce n"est pas le cas, il faudra chercher à simplifier, à multiplier par la quantité conjuguée (pour les fonctions irrationnelles), à utiliser un théorème de comparaison, à effectuer un changement de variable ... 1.5 Théorème sur les fonction spolynomes et les fonctions ra- tionnelles 1.5.1

Fonction polynôme Théorème 1 :Un polynôme a même limite en+¥et¥que son monôme

du plus haut degré.

SiP(x) =anxn+an1xn1++a1x+a0x0alors

lim

x!+¥P(x) =limx!+¥anxnet limx!¥P(x) =limx!¥anxnExemples :Déterminer les limites en+¥et¥des polynômes suivants :

P(x) =5x33x+1 etQ(x) =2x4+x+3

On applique le théorème sur les limites des polynômes : lim x!+¥P(x) =limx!+¥5x3= +¥et limx!¥P(x) =limx!¥5x3=¥ lim x!+¥Q(x) =limx!+¥2x4=¥et limx!¥Q(x) =limx!¥2x4=¥ Les limites des polynômes ne posent donc aucun problème avec ce théorème

que vous pouvez démontrer facilement.(pensez à la limite du produit!)PAUL MILAN10 octobre 2011 TERMINALES

1.5 THÉORÈME SUR LES FONCTIONS POLYNOMES ET LES FONCTIONS RATIONNELLES51.5.2Fonction rationnelle

Théorème 2 :Une fonction rationnelle a même limite en+¥et¥que son monôme du plus degré de son numérateur sur celui de son dénomina- teur.

Sif(x) =anxn+an1xn1++a1x+a0x0b

mxm+bm1xm1++b1x+b0x0alors lim x!+¥f(x) =limx!+¥a nxnb mxmet limx!¥f(x) =limx!¥a nxnb mxmExemples :Déterminer les limites en+¥et¥des fonctions rationnelles suivantes : f(x) =2x+3x2;g(x) =x31x2eth(x) =1xx 2+2x3 On applique le théorème sur les limites des fonction rationnelles : lim x!+¥f(x) =limx!+¥2xx =limx!+¥2=2 et lim x!¥f(x) =limx!¥2xx =limx!¥2=2 lim x!+¥g(x) =limx!+¥x

3x2=limx!+¥x=¥et

lim x!¥g(x) =limx!¥x

3x2=limx!¥x= +¥

lim x!+¥h(x) =limx!+¥xx

2=limx!+¥1x

=0 et lim x!¥h(x) =limx!¥xx

2=limx!¥1x

=0 Les limites en+¥et¥des fonctions rationnelles ne posent donc pas de problème grâce à ce théorème (que vous pouvez aussi démontrer facilement). Pour déterminer les limites des fonctions rationnelles aux valeurs interdites, on utilise la limite du quotient. Exemples :Déterminer la limite enades fonctions suivantes : f(x) =x2+3x+1ena=1 g(x) =x+2(x+3)2ena=3 h(x) =2x2(x1)(2x)ena=2PAUL MILAN10 octobre 2011 TERMINALES

61 LIMITES - RAPPELS DE PREMIÈREComme on cherche les limites aux valeurs interdites le dénominateurs des

trois fonctions tend vers 0 donc il faut déterminer le signe du dénominateur sui- vant que l"on tend à droite ou à gauche de la valeur interdite. Le mieux consiste à faire un tableau de signes lorsque cela n"est pas immédiat (pour le second degré particulièrement comme c"est le cas de la fonctionh(x)). On a alors :

Pour la fonctionf

lim x!1x2+3=4 lim x!1x<1x+1=0 lim x!1x>1x+1=0+9 >>>>>;par quotient, on a lim x!1x<1f(x) =¥ lim x!1x>1f(x) = +¥

Pour la fonctiong

lim x!3x+2=1 lim x!3(x+3)2=0+9 ;par quotient, on a lim x!3g(x) =¥quotesdbs_dbs47.pdfusesText_47