LIMITES ET CONTINUITÉ (Partie 1)
Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www maths-et-tiques 1 LIMITES ET CONTINUITÉ (Partie 1) I Limite d'une fonction à l'infini 1) Limite finie à l'infini Intuitivement : On dit que la fonction f admet pour limite L en +∞ si f (x) est aussi proche de L que l’on veut pourvu que x soit suffisamment grand Exemple :
Limites et continuité de fonctions
1 Propriétés dans l'ensemble des réels d) Borne supérieure et borne inférieure Exemple 1 11 1 Les ensembles Z, Q et R ne sont ni majorés ni minorés , ils admettent 1 et +1pour borne inférieure et borne supérieure 2 Soit a et b deux réels tels que a
Limites et continuité
2 On prolonge la fonction f2 par continuité en 0 en posant f2(0) = 0 3 On prolonge la fonction f3 par continuité en 0 en posant f3(0) = 3 2 4 On ne peut pas prolonger la fonction f4 par continuité en 0 car la limite de f4 en 0+ est π 2 et la limite de f4 en 0´ est ´π 2: f4 n’a donc pas de limite en 0 5 On prolonge la fonction f5
LIMITE ET CONTINUITE - Moutamadrisma
2Bac S M Limite et continuité A KARMIM 7 (ᥫ)=√ᥦ????ᥡ2ᥫ+1est continue sur ℝ ( justifier la réponse) Exercice : Montrer que ℎ(ᥫ)= ᥢᥦ(1 ) est continue sur ]−∞,0[ et sur ]0,+∞[3) Limite de Théorème : Soit ᥨ une fonction définie sur un intervalle pointé de centre ᥫ0 telle que lim → 0
Limites et continuité
2Théorèmes de comparaison et composition de fonc-tions 2 1Théorème des Gendarmes ou d’encadrement Théorème 3 : Limites et ordre 1) Théorème des « Gendarmes » f, g, et h sont trois fonctions définies sur l’intervalle I =]b;+¥[ et ‘ un réel Si pour tout x 2I, on a : g(x) 6 f(x) 6 h(x) et si g et h ont même limite ‘ en
LIMITE et CONTINUITE - bagbouton
LIMITE et CONTINUITE A DEFINITION, PROPRIETES 1) Limite finie et continuité en x0 ∈ℝ Soit f une fonction définie sur Df Définition 1 Soit x0 ∈ℝ On dit qu’une fonction f est définie au voisinage de x0 s’il existe un intervalle I contenant x0 ∈ℝ, non réduit à un point , tel que I \ x D{0}⊂ f Remarque :
LIMITE et CONTINUITE - bagbouton
LIMITE et CONTINUITE A DEFINITION, PROPRIETES 1) Limite finie et continuité en x0 ∈ℝ Soit f une fonction définie sur Df Définition 1 Soit x0 ∈ℝ On dit qu’une fonction f est définie au voisinage de x0 s’il existe un intervalle I contenant x0 ∈ℝ, non réduit à un point , tel que I \ x D{0}⊂ f Remarque :
Limite et continuité - Mathématiques en ECS1
8 2Limites à gauche et limite à droite - prolongement par continuité 8 2 1Limite à gauche et limite à droite Soit f: I7Ret x 0 un élément ou une extrémité de I Lorsqu'on considèrela limite quand xtend vers x 0 sous la contrainte x
Exercices avec solutions : LIMITE ET CONTINUITE
Prof/ATMANI NAJIB Année Scolaire 2018-2019 Semestre1 1 Exercices avec solutions : Limite et continuité Exercices d’applications et de réflexions PROF : ATMANI NAJIB 2BAC BIOF : PC et SVT
Limites et fonctions continues - Exo7
LIMITES ET FONCTIONS CONTINUES 1 NOTIONS DE FONCTION 4 x y f (x) f (y) Exemple 2 • La fonction racine carrée ¤ [0,+1[ R x 7 p x est strictement croissante • Les fonctions exponentielle exp : Ret logarithme ln :]0,+1[ sont strictement croissantes
[PDF] Limite et Factoriel
[PDF] Limite et image de fonction
[PDF] Limite et suite
[PDF] limite exponentielle en 0
[PDF] limite exponentielle et logarithme
[PDF] Limite finie de suite
[PDF] limite fonction
[PDF] limite fonction racine nième
[PDF] limite fonction rationnelle en 0
[PDF] limite fonction trigonométrique exercice corrigé
[PDF] limite forme indéterminée exponentielle
[PDF] Limite indeterminée
[PDF] Limite infinie d'une suite
[PDF] limite ln usuelles
Limites et
fonctions continuesVidéo"partie 1. Notions de fonctionVidéo"partie 2. Limites
Vidéo"partie 3. Continuité en un point
Vidéo"partie 4. Continuité sur un intervalle Vidéo"partie 5. Fonctions monotones et bijectionsFiche d"exercicesLimites de fonctions
Fiche d"exercicesFonctions continues
MotivationLes équations en une variablexqu"on sait résoudre explicitement, c"est-à-dire en donnant une formule pour la solution,
sont très particulières : par exemple les équations du premier degréax+b=0, celles du second degréax2+bx+c=0.
Mais pour la plupart des équations, il n"est pas possible de donner une formule pour la ou les solutions. En fait il n"est
même pas évident de déterminer seulement le nombre de solutions, ni même s"il en existe. Considérons par exemple
l"équation extrêmement simple : x+expx=0Il n"y a pas de formule explicite (utilisant des sommes, des produits, des fonctions usuelles) pour trouver la solutionx.
Dans ce chapitre nous allons voir que grâce à l"étude de la fonctionf(x) =x+expx, il est possible d"obtenir
beaucoup d"informations sur l"ensemble des solutions de l"équationx+expx=0, et même de l"équation plus générale
x+expx=y(oùy2Rest fixé).xyx+exp(x)Nous serons capables de prouver que pour chaquey2Rl"équation "x+expx=y» admet une solutionx, que cette
solution est unique, et nous saurons dire comment variexen fonction dey. Le point clé de cette résolution est l"étude
de la fonctionfet en particulier de sa continuité. Même s"il n"est pas possible de trouver l"expression exacte de la
solutionxen fonction dey, nous allons mettre en place les outils théoriques qui permettent d"en trouver une solution
approchée. LIMITES ET FONCTIONS CONTINUES1. NOTIONS DE FONCTION21. Notions de fonction
1.1. DéfinitionsDéfinition 1.Unefonctiond"une variable réelle à valeurs réelles est une applicationf:U!R, oùUest une partie deR. En
général,Uest un intervalle ou une réunion d"intervalles. On appelleUledomaine de définitionde la fonctionf.Exemple 1.
La fonction inverse :
f:]1,0[[]0,+1[!R x7!1x Legraphed"une fonctionf:U!Rest la partiefdeR2définie parf=(x,f(x))jx2U. Le graphe d"une fonction (à gauche), l"exemple du graphe dex7!1x (à droite).xf(x)(x,f(x)) fxy 1 x1.2. Opérations sur les fonctions
Soientf:U!Retg:U!Rdeux fonctions définies sur une même partieUdeR. On peut alors définir les fonctions
suivantes : lasommedefetgest la fonctionf+g:U!Rdéfinie par(f+g)(x) =f(x)+g(x)pour toutx2U; leproduitdefetgest la fonctionfg:U!Rdéfinie par(fg)(x) =f(x)g(x)pour toutx2U; lamultiplication par un scalaire2Rdefest la fonctionf:U!Rdéfinie par(f)(x) =f(x)pour toutx2U. Comment tracer le graphe d"une somme de fonction?xf(x)g(x)(f+g)(x)gff+g LIMITES ET FONCTIONS CONTINUES1. NOTIONS DE FONCTION31.3. Fonctions majorées, minorées, bornéesDéfinition 2.
Soientf:U!Retg:U!Rdeux fonctions. Alors :
f>gsi8x2U f(x)>g(x); f>0 si8x2U f(x)>0; f>0 si8x2U f(x)>0; fest diteconstantesurUsi9a2R8x2U f(x) =a; fest ditenullesurUsi8x2U f(x) =0.Définition 3.Soitf:U!Rune fonction. On dit que :
festmajoréesurUsi9M2R8x2U f(x)6M; festminoréesurUsi9m2R8x2U f(x)>m;festbornéesurUsifest à la fois majorée et minorée surU, c"est-à-dire si9M2R8x2Ujf(x)j6M.Voici le graphe d"une fonction bornée (minorée parmet majorée parM).xy
M m1.4. Fonctions croissantes, décroissantes
Définition 4.
Soitf:U!Rune fonction. On dit que :
festcroissantesurUsi8x,y2U x6y=)f(x)6f(y)• feststrictement croissantesurUsi8x,y2U xcroissante ou strictement décroissante) surU.Un exemple de fonction croissante (et même strictement croissante) :
LIMITES ET FONCTIONS CONTINUES1. NOTIONS DE FONCTION4xyf(x)f(y)Exemple 2.La fonction racine carrée¨[0,+1[!R
x7!px est strictement croissante. Les fonctions exponentielle exp :R!Ret logarithme ln :]0,+1[!Rsont strictement croissantes. •Lafonctionvaleurabsolue¨R!R
x7! jxj n"estnicroissante,nidécroissante. Parcontre,lafonction¨[0,+1[!R
x7! jxj est strictement croissante.1.5. Parité et périodicitéDéfinition 5.
SoitIun intervalle deRsymétrique par rapport à0(c"est-à-dire de la forme]a,a[ou[a,a]ouR). Soit
f:I!Rune fonction définie sur cet intervalle. On dit que : festpairesi8x2I f(x) =f(x), festimpairesi8x2I f(x) =f(x).Interprétation graphique:fest paire si et seulement si son graphe est symétrique par rapport à l"axe des ordonnées (figure de gauche).
fest impaire si et seulement si son graphe est symétrique par rapport à l"origine (figure de droite).xy
xyExemple 3.
La fonction définie surRparx7!x2n(n2N) est paire. La fonction définie surRparx7!x2n+1(n2N) est impaire. La fonction cos :R!Rest paire. La fonction sin :R!Rest impaire. LIMITES ET FONCTIONS CONTINUES1. NOTIONS DE FONCTION5xy x 2x3Définition 6.Soitf:R!Rune fonction etTun nombre réel,T>0. La fonctionfest ditepériodiquede périodeTsi
8x2Rf(x+T) =f(x).xx+T~
if f(x) =f(x+T)Interprétation graphique :fest périodique de périodeTsi et seulement si son graphe est invariant par la translation de vecteurT~i, où~iest le premier vecteur de coordonnées.Exemple 4.
Les fonctions sinus et cosinus sont 2-périodiques. La fonction tangente est-périodique.xy cosxsinx023+11Mini-exercices. 1. SoitU=] 1,0[etf:U!Rdéfinie parf(x) =1=x.fest-elle monotone? Et surU=]0,+1[? Et surU=]1,0[[]0,+1[?
2.Pour deux fonctions paires que peut-on dire sur la parité de la somme? du produit? et de la composée? Et pour
deux fonctions impaires? Et si l"une est paire et l"autre impaire? 3.On notefxg=xE(x)la partie fractionnaire dex. Tracer le graphe de la fonctionx7! fxget montrer qu"elle
est périodique. 4.Soitf:R!Rla fonction définie parf(x) =x1+x2. Montrer quejfjest majorée par12, étudier les variations de
f(sans utiliser de dérivée) et tracer son graphe. 5.On considère la fonctiong:R!R,g(x) =sinf(x), oùfest définie à la question précédente. Déduire de
l"étude defles variations, la parité, la périodicité deget tracer son graphe.LIMITES ET FONCTIONS CONTINUES2. LIMITES6
2. Limites
2.1. Définitions
Limite en un point
Soitf:I!Rune fonction définie sur un intervalleIdeR. Soitx02Run point deIou une extrémité deI.Définition 7.
Soit`2R. On dit quefa pour limite`enx0si8 >09 >08x2Ijxx0j< =) jf(x)`j< On dit aussi quef(x)tend vers`lorsquextend versx0. On note alors limx!x0f(x) =`ou bien limx0f=`.xy
x 0`Remarque.
L"inégalitéjxx0j< équivaut àx2]x0,x0+[. L"inégalitéjf(x)`j< équivaut àf(x)2]`,`+[.
•On peut remplacer certaines inégalités strictes "<» par des inégalités larges "6» dans la définition :8 >
09 >08x2Ijxx0j6=) jf(x)`j6
Dans la définition de la limite
8 >09 >08x2Ijxx0j< =) jf(x)`j<
le quantificateur8x2In"est là que pour être sûr que l"on puisse parler def(x). Il est souvent omis et l"existence
de la limite s"écrit alors juste :8 >09 >0jxx0j< =) jf(x)`j< .
N"oubliez pas que l"ordre des quantificateurs est important, on ne peut pas échanger le8avec le9: ledépend
en général du. Pour marquer cette dépendance on peut écrire :8 >09()>0...Exemple 5.
limx!x0px=px0pour toutx0>0,
la fonction partie entièreEn"a pas de limite aux pointsx02Z.LIMITES ET FONCTIONS CONTINUES2. LIMITES7xy
1 01px x 0px 0xy 101E(x)x
02ZSoitfune fonction définie sur un ensemble de la forme]a,x0[[]x0,b[.Définition 8.
On dit quefa pour limite+1enx0si
8A>09 >08x2Ijxx0j< =)f(x)>A
On note alors lim
x!x0f(x) = +1.On dit quefa pour limite1enx0si
8A>09 >08x2Ijxx0j< =)f(x) On note alors lim
x!x0f(x) =1.xy A x 0x 0+x 0Limite en l"infini
Soitf:I!Rune fonction définie sur un intervalle de la formeI=]a,+1[.Définition 9. Soit`2R. On dit quefa pour limite`en+1si
8 >09B>08x2I x>B=) jf(x)`j<
On note alors lim
x!+1f(x) =`ou lim+1f=`. On dit quefa pour limite+1en+1si
8A>09B>08x2I x>B=)f(x)>A
On note alors lim
x!+1f(x) = +1.On définirait de la même manière la limite en1pour des fonctions définies sur les intervalles du type]1,a[.
LIMITES ET FONCTIONS CONTINUES2. LIMITES8xy
Exemple 6.
On a les limites classiques suivantes pour toutn>1 : limx!+1xn= +1et limx!1xn=¨+1sinest pair 1sinest impair
1x n 1x n =0. Exemple 7.
SoitP(x) =anxn+an1xn1++a1x+a0avecan>0 etQ(x) =bmxm+bm1xm1++b1x+b0avecbm>0. lim x!+1P(x)Q(x)=8 :+1sin>m a nb msin=m 0 sin Limite à gauche et à droite
Soitfune fonction définie sur un ensemble de la forme]a,x0[[]x0,b[.Définition 10. On appellelimite à droiteenx0defla limite de la fonctionf]x0,b[enx0et on la note lim x+ 0f. On définit de même lalimite à gaucheenx0def: la limite de la fonctionf]a,x0[enx0et on la note lim
x 0f. On note aussi limx!x0x>x0f(x)pour la limite à droite et limx!x0x 8 >09 >0x0 Si la fonctionfa une limite enx0, alors ses limites à gauche et à droite enx0coïncident et valent limx0f.Réciproquement, sifa une limite à gauche et une limite à droite enx0et si ces limites valentf(x0)(sifest bien
définie enx0) alorsfadmet une limite enx0. Exemple 8.
Considérons la fonction partie entière au pointx=2 : comme pour toutx2]2,3[on aE(x) =2, on a lim2+E=2 , comme pour toutx2[1,2[on aE(x) =1, on a lim2E=1. Ces deux limites étant différentes, on en déduit queEn"a pas de limite en 2. LIMITES ET FONCTIONS CONTINUES2. LIMITES9xy
0E(x)2limite à gauche lim
2Elimite à droite lim
2+E2.2. Propriétés
Proposition 1.
Si une fonction admet une limite, alors cette limite est unique.On ne donne pas la démonstration de cette proposition, qui est très similaire à celle de l"unicité de la limite pour les
suites (un raisonnement par l"absurde). Soient deux fonctionsfetg. On suppose quex0est un réel, ou quex0=1.Proposition 2. Silimx0f=`2Retlimx0g=`02R, alors :
limx0(f) =`pour tout2R limx0(f+g) =`+`0 limx0(fg) =``0 si`6=0, alorslimx01f =1` De plus, silimx0f= +1(ou1) alorslimx01f
=0. Cette proposition se montre de manière similaire à la proposition analogue sur les limites de suites. Nous n"allons
donc pas donner la démonstration de tous les résultats. Démonstration.Montrons par exemple que siftend enx0vers une limite`non nulle, alors1fquotesdbs_dbs47.pdfusesText_47
On note alors lim
x!x0f(x) =1.xy A x 0x 0+x0Limite en l"infini
Soitf:I!Rune fonction définie sur un intervalle de la formeI=]a,+1[.Définition 9.Soit`2R. On dit quefa pour limite`en+1si
8 >09B>08x2I x>B=) jf(x)`j<
On note alors lim
x!+1f(x) =`ou lim+1f=`.On dit quefa pour limite+1en+1si
8A>09B>08x2I x>B=)f(x)>A
On note alors lim
x!+1f(x) = +1.On définirait de la même manière la limite en1pour des fonctions définies sur les intervalles du type]1,a[.
LIMITES ET FONCTIONS CONTINUES2. LIMITES8xy
Exemple 6.
On a les limites classiques suivantes pour toutn>1 : limx!+1xn= +1et limx!1xn=¨+1sinest pair1sinest impair
1x n 1x n =0.Exemple 7.
SoitP(x) =anxn+an1xn1++a1x+a0avecan>0 etQ(x) =bmxm+bm1xm1++b1x+b0avecbm>0. lim x!+1P(x)Q(x)=8 :+1sin>m a nb msin=m0 sin Limite à gauche et à droite
Soitfune fonction définie sur un ensemble de la forme]a,x0[[]x0,b[.Définition 10. On appellelimite à droiteenx0defla limite de la fonctionf]x0,b[enx0et on la note lim x+ 0f. On définit de même lalimite à gaucheenx0def: la limite de la fonctionf]a,x0[enx0et on la note lim
x 0f. On note aussi limx!x0x>x0f(x)pour la limite à droite et limx!x0x 8 >09 >0x0 Si la fonctionfa une limite enx0, alors ses limites à gauche et à droite enx0coïncident et valent limx0f.Réciproquement, sifa une limite à gauche et une limite à droite enx0et si ces limites valentf(x0)(sifest bien
définie enx0) alorsfadmet une limite enx0. Exemple 8.
Considérons la fonction partie entière au pointx=2 : comme pour toutx2]2,3[on aE(x) =2, on a lim2+E=2 , comme pour toutx2[1,2[on aE(x) =1, on a lim2E=1. Ces deux limites étant différentes, on en déduit queEn"a pas de limite en 2. LIMITES ET FONCTIONS CONTINUES2. LIMITES9xy
0E(x)2limite à gauche lim
2Elimite à droite lim
2+E2.2. Propriétés
Proposition 1.
Si une fonction admet une limite, alors cette limite est unique.On ne donne pas la démonstration de cette proposition, qui est très similaire à celle de l"unicité de la limite pour les
suites (un raisonnement par l"absurde). Soient deux fonctionsfetg. On suppose quex0est un réel, ou quex0=1.Proposition 2. Silimx0f=`2Retlimx0g=`02R, alors :
limx0(f) =`pour tout2R limx0(f+g) =`+`0 limx0(fg) =``0 si`6=0, alorslimx01f =1` De plus, silimx0f= +1(ou1) alorslimx01f
=0. Cette proposition se montre de manière similaire à la proposition analogue sur les limites de suites. Nous n"allons
donc pas donner la démonstration de tous les résultats. Démonstration.Montrons par exemple que siftend enx0vers une limite`non nulle, alors1fquotesdbs_dbs47.pdfusesText_47
Limite à gauche et à droite
Soitfune fonction définie sur un ensemble de la forme]a,x0[[]x0,b[.Définition 10. On appellelimite à droiteenx0defla limite de la fonctionf]x0,b[enx0et on la note lim x+ 0f.On définit de même lalimite à gaucheenx0def: la limite de la fonctionf]a,x0[enx0et on la note lim
x 0f.On note aussi limx!x0x>x0f(x)pour la limite à droite et limx!x0x Si la fonctionfa une limite enx0, alors ses limites à gauche et à droite enx0coïncident et valent limx0f.Réciproquement, sifa une limite à gauche et une limite à droite enx0et si ces limites valentf(x0)(sifest bien Si une fonction admet une limite, alors cette limite est unique.On ne donne pas la démonstration de cette proposition, qui est très similaire à celle de l"unicité de la limite pour les Cette proposition se montre de manière similaire à la proposition analogue sur les limites de suites. Nous n"allons8 >09 >0x0
Exemple 8.
Considérons la fonction partie entière au pointx=2 : comme pour toutx2]2,3[on aE(x) =2, on a lim2+E=2 , comme pour toutx2[1,2[on aE(x) =1, on a lim2E=1. Ces deux limites étant différentes, on en déduit queEn"a pas de limite en 2. LIMITES ET FONCTIONS CONTINUES2. LIMITES9xy
0E(x)2limite à gauche lim
2Elimite à droite lim
2+E2.2. Propriétés
Proposition 1.
Silimx0f=`2Retlimx0g=`02R, alors :
limx0(f) =`pour tout2R limx0(f+g) =`+`0 limx0(fg) =``0 si`6=0, alorslimx01f =1` De plus, silimx0f= +1(ou1) alorslimx01f
=0.