Feuille 9 Limites et continuité des fonctions
L1 UCBL 2016–2017 Fondamentaux des mathématiques I Exercice 2 1 lim x0 sinx x =1(cours) 2 Non, la fonction f n’admet pas de limite en 0 En effet, lim
LIMITES – EXERCICES CORRIGES
2) Si une fonction f a pour limite 0 en +∞, alors, à condition de prendre x suffisamment grand, tous les nombres réels f(x) sont de même signe 3) Si une fonction f a pour limite -1 en +∞, alors, à condition de prendre x suffisamment grand, tous les nombres réels f(x) sont de même signe Exercice n°5
La fonction logarithme népérien
2 2 Quotient, inverse, puissance et racine carrée Théorème 4 : Pour tous réels strictement positifs a et b, on a : 1) ln a b 3 2 Limite en 0 et en l’infini
Limites de fonctions
Dire qu’une fonction f a pour limite +∞ en a signifie que pour tout intervalle ]A;+∞[ contient toutes les valeurs de f(x) pour x assez proche de a On note alors lim a f(x)=+∞ On définie de façon analogue une limite -∞ en a I 2 2 Conséquence graphique Dans le cas où la limite en un réel a est infinie, c’est à dire : lim a
PRISE EN MAIN DE MAXIMA - wwwmathsaulyceeinfo
5 Limite d’une fonction 10 -4 0/6; ( o4) −0 66666666666667 On sait que la primitive de la fonction carré nulle en 1 est la fonction x
Dérivabilité Prof Smail BOUGUERCH
Dérivabilité à droite ± à gauche , en un point : On dit que f est dérivable à droite en x0 si la limite : 0 0 0 ( ) ( ) lim xx f x f x o xx c est finie Cette limite est nommée le nombre dérivé de la fonction à droite en et on écrit : fxdc()0 On dit que est dérivable à gauche en si la limite : 0 0 0 ( ) ( ) lim xx f x f x o xx c
Chapitre 5 : La th´eorie de l’int´egration de Riemann
ε→0 Z b a fε(x)dx En outre, cette limite est ind´ependante du choix des familles de fonctions en escalier Cette limite est appel´ee int´egrale de f sur [a,b] au sens de Riemann et est not´ee Z b a f(x)dx D´emonstration : On ne va pas d´etailler la preuve compl`ete, mais l’argument principal est le suivant
FONCTION EXPONENTIELLE
Pour une fonction f dérivable en x0, l'approximation affine de f(x0 + h) est f(x 0) + f '(x0) × h L'approximation affine de e h est donc e 0 + e 0 × h = 1 + h Cela revient à dire que la courbe de la fonction exponentielle a pour tangente au point d'abscisse 0 la droite d'équation
cours fonction exponentielle
= 0 « La fonction exp l’emporte en +∞ sur la fonction puissance » « La fonction puissance l’emporte en +∞ sur la fonction logarithme » On admettra que pour tout α ∈ ] 0 ; +∞ [ : lim →3 >? c = +∞ lim →3 ˘ˇ c = 0 Limite de composée avec la fonction exponentielle Soit 6 une fonction définie sur un intervalle I
[PDF] limite sinus en l'infini
[PDF] limite somme suite géométrique
[PDF] limite suite
[PDF] limite suite arithmético géométrique
[PDF] limite suite définie par récurrence
[PDF] limite suite géométrique
[PDF] limite variation
[PDF] limite, fonction exponentielle et démonstration
[PDF] Limiter l'alcoolisme chez les jeunes
[PDF] Limiter l'atteinte à la biodiversité planétaire
[PDF] limiter le droits de greve
[PDF] Limiter les pertes d'énergie dans une habitation
[PDF] limiter les risques de contamination et d'infection en svt
[PDF] limiter nos libertés pour assurer notre sécurité?
1/10
Limites de fonctions
Activités préparatoires : Vers l'infini et au-delà Activité 1 : Limites et représentation graphique On se propose de décrire la courbe représentative de la fonction suivante : f(x)=2x-5x ²+3x-41. Oralement, comment décrire les variations de cette fonction ? Quel outil mathématique permet une description claire et normalisée ?2. Proposer un tableau de variation permettant une description la plus complète
possible.3. Comment pouvons interpréter les objets mathématiques suivants :
limx→-∞f(x),limx→-4f(x), limx→-4f(x), limx→1f(x), limx→1f(x),limx→+∞f(x)4. En donner les valeurs.
5. Pourrions nous retrouver ces résultats par le calcul ? Proposez une méthode de
résolution. Cours de Term_Spé Mathématiques_Analyse2 : Limites de fonctions 2/106.Je vous propose à présent d'établir le tableau de variations pour des fonctions
suivantes :7. Chacun de vous va établir le tableau de variation d'une fonction (tout droit sortie
de votre imagination) et le faire passer à votre voisin de gauche. Celui-ci devra proposer une représentation graphique cohérente avec le tableau qu'il a récupéré.Activité 2 : Un symptôme : l'asymptote
Les droites tracées en orange sur les représentations graphiques précédentes sont appelées asymptotes.1. Donner les équations de chacune de ces droites
2. En faisant le lien entre ces équations et les limites aux bornes de l'ensemble de
définition, proposer un outil mathématique permettant de prédire ou de justifier l'existence de ces droites asymptotes Cours de Term_Spé Mathématiques_Analyse2 : Limites de fonctions 3/10I. Limites de fonctions
I.1. Limites en l'infini
I.1.1.Définitions
Soit A,B et L des réels et f une fonction définie sur ℝ•On dit que la limite de f en +∞ est égale à +∞ ssi tout intervalle ]A;+∞[ contient
toutes les valeurs f(x) dès que x est assez grand. lim+∞f(x)=+∞•On dit que la limite de f en +∞ est égale à -∞ ssi tout intervalle ]-∞;B[ contient
toutes les valeurs f(x) dès que x est assez grand.lim+∞f(x)=-∞•On dit que la limite de f en +∞ est égale à L ssi tout intervalle ouvert contenant
L contient toutes les valeurs de f(x) dès que x est assez grand. lim+∞f(x)=LOn peut énoncer des définitions similaires pour les limites en -∞ en remplaçant " dès
que x est assez grand » par " dès que x est négatif et assez grand en valeur absolue »I.1.2. Conséquence graphique
Dans le cas où la limite en l'infini est finie, c'est à dire :lim∞ f(x)=L, on dit que la droite d'équation y=L est une asymptote à la courbe représentative de la fonction f. Il s'agit dans ce cas d'une asymptote horizontaleI.2. Limites en un réel
I.2.1.Définition
Dire qu'une fonction f a pour limite +∞ en a signifie que pour tout intervalle ]A;+∞[ contient toutes les valeurs de f(x) pour x assez proche de a. On note alors limaf(x)=+∞. On définie de façon analogue une limite -∞ en a.I.2.2. Conséquence graphique
Dans le cas où la limite en un réel a est infinie, c'est à dire : limaf(x)=∞, on dit que la droite d'équation x =a est une asymptote à la courbe représentative de la fonction f. Il s'agit dans ce cas d'une asymptote verticale. Cours de Term_Spé Mathématiques_Analyse2 : Limites de fonctions 4/10 Exercice 1 : Pour chacune des fonctions suivantes, dresser le tableau de variations complet et conjecturer l'existence d'asymptotes Cours de Term_Spé Mathématiques_Analyse2 : Limites de fonctions 5/10II. Calculs de limites
II.1. Limites de fonctions usuelles
x=∞II.2. Opérations sur les limites
Pour la somme :
f(x) lll+∞-∞-∞ g(x)l' Le sigle FI signifie qu'on ne peut pas tirer de conclusion aussi rapide, qu'il s'agit d'une forme indéterminée.Pour le produit
f(x) ll≠0±∞0 g(x)l'±∞±∞±∞ f(x)∗g(x) l∗l'±∞±∞FIPour le quotient
f g(x)l'≠0±∞00 l±∞0 f(x) g(x) l l'0±∞±∞±∞FIFI Exercice 2 : Calculer les limites suivantes1. limx→-∞
x3+2x+3 2. limx→-∞2x²-8x
Cours de Term_Spé Mathématiques_Analyse2 : Limites de fonctions 6/103. limx→0
(1x+2x+3)4. limx→+∞ limx→+∞x²(2+1x)6. limx→0(x-3)(2-1x)Exercice 3 : Soit f et g les fonctions définies sur l'intervalle ]4 ; +∞[ par f
(x)=5 4-x et g (x)=-x x -4. Calculer les limites de f et g en 4 et en +∞. Exercice 4 : f est la fonction définie sur ]3;+∞[ par f (x)=2x-9 3-x1. Calculer la limite de f en 3
2. Démontrer que f
(x)=-2-3 (3-x), puis calculer la limite de f en +∞ Exercice 5 : On donne le tableau de variation d'une fonction f. g est la fonction définie sur l'ensemble des réels par g(x)=1 f(x)Déterminer lim-∞g(x)et lim+∞
g(x)II.3. Calculs par comparaison
II.3.1. Théorèmes de comparaison
Soit f et g deux fonctions telles quef(x)>g(x)pour x suffisamment grand et lim+∞g(x)=+∞alors lim+∞f(x)=+∞.De manière similaire, si f
(x)Exercice 7 : Enchaîner des fonctions
On s'intéresse à présent aux limites suivantes : limx→+∞ 2x -x+3limx→-2 x5et enfin limx→+∞(2x -x+3)51. Expliquer comment on peut déterminer ces 3 limites.
Pour étudier une fonction plus complexe qu'une fonction usuelle, on peut parfois la considérer comme la composition (c'est à dire l'enchaînement) de deux fonctions usuelles. Par exemple la fonction f définie sur [-2;+∞[ par f(x)= l'enchaînement d'une fonction affine et de la fonction racine carré :2. Proposer un schéma expliquant le calcul de limite pour une fonction composée
3. Que devient la fonction composée si on inverse l'ordre d'application des fonctions
usuelles ?4. Proposer deux enchaînements de plusieurs fonctions usuelles et faites les passer à
votre voisin de gauche qui devra trouver les deux fonctions composées recherchées.III. Fonction exponentielle et limites
III.1. Limites en l'infini
On admettra d'une part que
lim-∞ex=0et d'autre part que lim+∞e x=+∞Exercice 8 : Déterminer les limites suivantes 1. lim+∞(5x-1)ex2. lim-∞x+1-3ex
Cours de Term_Spé Mathématiques_Analyse2 : Limites de fonctionsFonction affine2x+4x2x+4Fonction racine carré
8/10 Exercice 9 : f est la fonction définie par f(x)=ex4+ex. Déterminer les limites en +∞
et en -∞III.2. Croissance comparée
En +∞, ex" l'emporte » sur les puissances (xn), c'est à dire que : lim+∞e xx n=+∞Démonstration : Une étude rapide de la fonction f définie sur ℝ par f(x)=e x-x-1 permet de montrer que ∀x∈ℝ,ex≥x+1On peut alors écriree
x n+1≥x n+1+1≥x n+1 Comme les fonctions puissances entières sont croissantes sur ]0;+∞[, on peut aussiécrire (ex
n+1)n+1≥(x n+1)n+1 et donc ex xn≥x (n+1)n+1Comme lim+∞x
(n+1)n+1=+∞, par théorème de comparaison on en déduit lim+∞e xxn=+∞Exercice 10 : f est la fonction définie sur ℝ par f(x)=ex-3x². Étudier la limite
de cette fonction en +∞