Correction : Les fonctions sinus et cosinus

Limites et intégration I - Limites Rappel : les fonctions sinus et cosinus n’admettent pas de limite en +∞ et en –∞ Les théorèmes de comparaison et le théorème « des gendarmes » doivent être utilisés dans de nombreux cas On rappelle que pour tout x, −1⩽cosx⩽1 et −1⩽sinx⩽1 Limite de référence : lim x→0 sin(x) x

Les fonctions sinus et cosinus - Lycée dAdultes

les fonctions sinus et cosinus sont 2π périodiques : T =2π ∀x ∈ R sin(x +2π)=sinx et cos(x +2π)=cosx Conséquence On étudiera les fonctions sinus et cosinus sur un intervalle de 2π, par exemple ]−π;π] 2 2 3 De sinus à cosinus Théorème 5 : D’après les formules de trigonométrie, on a : sin π 2 − x =cosx et cos π 2 − x

Annexe du chapitre 6: Fonctions trigonométriques

A 1 Limites de fonctions trigonométriques Théorème des deux gendarmes Le théorème suivant implique 3 fonctions f, g et h dont l’une f est "prise en sandwich" entre les deux autres Si g et h ont la même limite lorsque x tend vers a, alors f doit avoir cette même limite Ainsi : • soit l'intervalle ]b; c[ contenant a; • ∈soit h(x

2 Fonctions, Dérivées, Limites et Intégrales

2 8 Limites et dérivées des fonctions trigonométriques Théorème 14 : D’après les fonctions dérivées des fonctions sinus et cosinus, ona: lim x→0 sinx x = 1 et lim x→0 cosx −1 x = 0 Pré-requis : Dérivées des fonctions sinus et cosinus Démonstration : On revient à la déﬁnition du nombre dérivée en 0 sin′ 0 = lim x

I Les fonctions trigonométriques de TS

IV Limites Les fonctions sinus et cosinus n'ont pas de limite en l'infini Pour étudier les limites au voisinage de l'infini de fonctions trigonométriques, on utilise les théorèmes de comparaisons / théorème des gendarmes Exercices : Déterminer les limites suivantes : a) lim x→0 x

MPSI 12 septembre 2008 - Free

2 2 2 Limite a gauche D e nition 11 Soit f, fonction d e nie sur un intervalle I, sauf peut etre en a, avec a interieur a I La limite a gauche, de f en a est, si elle existe, la limite en a de la restriction

Les fonctions sinus et cosinus - AlloSchool

Chapter 1 Limites et Equivalents - INP Toulouse

Limites et Equivalents 1 1 Introduction Savoir qu’une fonction f(x) tend vers ±∞ou vers 0 lorsque xest voisin de x0 ne suﬃt pas: il est souvent indispensable de savoir en plus à quelle vitesse cette convergence a lieu ou encore d’être capable de comparer la façon de converger de plusieurs fonctions Par exemple, les fonctions f(x)=x

Chapitre 11 Fonctions sinus et cosinus

Chapitre 11 Fonctions sinus et cosinus (rappels et compléments) I Rappels On rappelle ici les principaux résultats en trigonométrie établis dans les classes précédentes 1) Enroulement de l’axe réel sur le cercle trigonométrique Le plan est rapporté à un repère orthormé direct ŠO, Ð→ I , Ð→ J ‘ ou encore (OXY)

Correction : Les fonctions sinus et cosinus

Correctionexercices 14 mars 2014 Correction : Les fonctions sinus et cosinus Rappels Exercice1 1) − 5π 6 2) π 4 3) − 2π 3 4) − π 6 5) − π 3 6) π 4 7) −

Correction exercices14 mars 2014

Correction : Les fonctionssinus et cosinus

Rappels

Exercice1

1)-5π6

2)π

43)-2π

4)-π

65)-π

6)π

47)-3π

8)-π

39)-π

Exercice2

1) sinx=-12?sinx=sin?

-π6?

6+k2π

x=-5π

6+k2πk?Z

?-π6 ?-5π6

2) cosx=-⎷3

2?cosx=cos?5π6?

6+k2π

x=-5π

6+k2πk?Z

?5π 6 ?-5π6

3) cos(2x)=cos?

x+π4?

4+k2π

x=-π

12+k2π3k?Z

4 ?-π12 7π 12 ?-3π4

4) sin?

3x+π3?

=sin? x-π6?

4+kπ

x=5π

24+kπ2k?Z

4 -3π4 ?5π 24
?17π 24
?-7π24 ?-19π24

5) 4cos2x-1=0?cos2x=14?cosx=±12

?x=π

3+k2π

x=-π

3+k2π

x=-2π

3+k2πk?Z

3 ?2π 3 ?-π3 ?-2π3

6) 2cos2x+cosx-1=0 on poseX=cosxavec-1?X?1,

l'équation devient : 2X2+X-1=0Δ =9=32d'oùX1=1

2ouX2=-1

On revient àx: cosx=1

2ou cosx=-1

paul milan1 TerminaleS correction exercices ?x=π

3+k2π

x=-π

3+k2πk?Zoux=π+k2πk?Z

3 ?-π3

Exercice3

1)sinx<-⎷2

25π

4=-3π4-π4=7π4

SI=? -3π4;-π4? ;SJ=?5π4;7π4? 2) cosx?-⎷ 3 2

6=11π6π

6SI=? -π;-π6? ??π6;π? ;SJ=?π6;11π6? 3) sinx?-1

27π

6=-5π6-π6=11π60=2ππ=-π

SI=? -π;-5π6? -π6;π? ;SJ=?

0;7π6?

??11π6;2π? 4) cosx>⎷ 2 2

0=2π

4=7π4π

4SI=? -π4;π4? ;SJ=?

0;π4?

??7π4;2π?

Exercice4

Résoudre dans ]-π;π] :

1) voir cours

2) 4sin

2x-3?0?(2sin2x-⎷

3)(2sin2x+⎷3)?0

On cherche les valeurs qui annulent les facteurs dans l'intervalle ]-π;π]. On pose f(x)=4sin2x-3

2sinx-⎷

3=0?sinx=⎷3

2?x=π3oux=2π3

2sinx+⎷

3=0?sinx=-⎷3

2?x=-π3oux=-2π3

On peut remplir le tableau de signes suivant :

paul milan2 TerminaleS correction exercices x

2sinx-⎷

2sinx+⎷

3 f(x) -π-2π3-π3π32π3π --0+0-

0-0+++

0+0-0+0-

On obtient la solution :S=?

-π;-2π 3? -π3;π3? ??2π3;π?

3) On poseX=cosxavec-1?X?1, l'équation devient :

2X2-3X-2=0, on calculeΔ =25=52on obtientX1=2 (impossible) et

X 2=-1 2

On revient àx: cosx=-1

2?x=2π3oux=-2π3

4) D'après 3), on peut en déduire le tableau de signes enX

2X-3X-2

-1-121 0-

On veutX?-1

2alorsS=?

-2π3;2π3?

Étude de fonctions

Exercice5

1)Df=Rcar l'équation 2+cosx=0 n'a pas des solution

2) La fonctionfest paire et 2πpériodique, en effet pour tout réelx,

f(-x)=2

2+cos(-x)=22+cosx=f(x)

f(x+2π)=2

2+cos(x+2π)=22+cosx=f(x)

On étudiera les variations defsur [0;π]

3)f?(x)=2sinx

(2+cosx)2de la forme?1u? =-u?u2

Sur [0;π]

•f?(x)=0?sinx=0?x=0 oux=π •Le signe def?(x) est du signe de sinxdoncf?(x)?0

4) Pour déterminer les variation defsur [-π;0], on utilise la symétrie de la courbe par

rapport à l'axe des ordonnées (fonction paire) paul milan3 TerminaleS correction exercices x f ?(x) f(x)-π0π 0-0+0 22
2 3 2 3 22
-π2 1 2 1

On obtient alors la courbe dans l'intervalle [-π;3π], en utilisant parité et périodicité.

2π3π22π5π23π

2-π

2 3

Exercice6

1) La fonctionfest paire etπpériodique, en effet pour tout réelx,

2) On étudiera la fonctionf, compte tenu de la symétrie et de la périodicité sur?

0;π

3) On dérive la fonction en cherchant à la factoriser.

f =-2sin2x(2cos2x+1) Sur

0;π

2? •f?(x)=0?sin2x=0 ou 2cos2x+1=0?x=0,x=π2,x=π3 •Le signe def?(x) est donné par le signe de-2cos2x-1 car sin2x?0 sur?

0;π2?

-2cos2x-1?0?cos2x?-1

2?2x??2π3;π?

?x??π3,π2?

4) Pour déterminer les variation defsur?

2,π2?

, on utilise la symétrie de la courbe par rapport à l'axe des ordonnées (fonction paire). paul milan4 TerminaleS correction exercices x f ?(x) f(x)-π2-π30π3π2

0-0+0-0+0

-1-1 -54-54 11 -54-54 -1-1

On obtient alors la courbe dans l'intervalle [-π;π], en utilisant parité et périodicité.

1 -1π

32π3π

3-2π3-π

-54π

2-π2

Exercice8

Vrai - Faux

1)Proposition 1 : VraieEn effet :?x?I,sin2x?0 et six??

4;π4?

alors 2x?? -π2;π2? donc cos(2x)? 0

Conclusion :?x?I,f(x)?0

2)Proposition 2 : Vraie

fest dérivable surIcar produit et composition de fonction dérivables surI f ?(x)=2cosxsinxcos(2x)+sin2x(-2sin(2x)) =sin(2x)cos(2x)-2sin2xsin(2x) =sin(2x)[cos(2x)-2sin2x] =sin(2x)(1-2sin2x-2sin2x) =sin(2x)(1-4sin2x)

3)Proposition 3 : VraieSix??π

6;π4?

alors 2x??π3;π2? donc sin(2x)?0

6?x?π4?12?sinx?⎷

2?14?sin2x?12?1?4sin2x?2?

-2?-4sin2x?-1? -1?1-4sin2x?0 paul milan5 TerminaleS correction exercices Doncf?(x)?0 donc la fonctionfest décroissante sur?π6;π4?

4)Proposition 4 : FausseDeux possibilités d'arguments :

•Six?? -π4;-π6? alors 2x?? -π2;-π3? donc sin(2x)?0

4?x?-π6? -⎷

2?sinx?-12?14?sin2x?12?1?4sin2x?2?

-2?-4sin2x?-1? -1?1-4sin2x?0

Doncf?(x)?0 donc la fonctionfest croissante sur?

4;-π6?

•La fonctionfest paire. En effet pourx?? -π4;-π6?

Comme l'intervalle

4;-π6?

est symétrique par rapport à 0 de l'intervalle?π6;π4? comme d'après la question 3)fest décroissante sur?π

6;π4?

alorsfest croissante sur?

4;-π6?

5)Proposition 5 : VraieIl faut déterminer les extremum de la fonctionf. Il faut alors résoudre surI:

f ?(x)=0?sin2x=0 ou sin2x=1

4?x=0 ou sinx=12ou sinx=-12

?x=0 oux=π

6oux=-π6

D'après les résultats des questions 3) et 4), on peut dresserle tableau de variation suivant : x f ?(x) f(x) -π4-π60π6π4

0-0+0-

00 1 8 1 8 00 1 8 1 8 00

On a alors :?x?I,f(x)?18

paul milan6 TerminaleS correction exercices

Annales

Exercice9

Polynésie septembre 2005

1) a) Comme-1?cosx?1? ?R, la fonctionfest donc encadrée par-g(x) etg(x).

b) lim

x→+∞-e-x=limx→+∞e-x=0, d'après le théorème des gendarmes limx→+∞f(x)=0.

[PDF] Correction : Les fonctions sinus et cosinus

Correction exercices14 mars 2014

Correction : Les fonctionssinus et cosinus

Rappels

Exercice1

1)-5π6

2)π

43)-2π

4)-π

65)-π

6)π

47)-3π

8)-π

39)-π

Exercice2

1) sinx=-12?sinx=sin?

6+k2π

6+k2πk?Z

2) cosx=-⎷3

2?cosx=cos?5π6?

6+k2π

6+k2πk?Z

3) cos(2x)=cos?

4+k2π

12+k2π3k?Z

4) sin?

3x+π3?

4+kπ

24+kπ2k?Z

5) 4cos2x-1=0?cos2x=14?cosx=±12

3+k2π

3+k2π

3+k2πk?Z

6) 2cos2x+cosx-1=0 on poseX=cosxavec-1?X?1,

2ouX2=-1

On revient àx: cosx=1

2ou cosx=-1

3+k2π

3+k2πk?Zoux=π+k2πk?Z

Exercice3

1)sinx<-⎷2

25π

4=-3π4-π4=7π4

6=11π6π

27π

6=-5π6-π6=11π60=2ππ=-π

0;7π6?

0=2π

4=7π4π

0;π4?

Exercice4

Résoudre dans ]-π;π] :

1) voir cours

2) 4sin

2x-3?0?(2sin2x-⎷

3)(2sin2x+⎷3)?0

2sinx-⎷

3=0?sinx=⎷3

2?x=π3oux=2π3

2sinx+⎷

3=0?sinx=-⎷3

2?x=-π3oux=-2π3

On peut remplir le tableau de signes suivant :

2sinx-⎷

2sinx+⎷

0-0+++

0+0-0+0-

On obtient la solution :S=?

3) On poseX=cosxavec-1?X?1, l'équation devient :

2X2-3X-2=0, on calculeΔ =25=52on obtientX1=2 (impossible) et

On revient àx: cosx=-1

2?x=2π3oux=-2π3

4) D'après 3), on peut en déduire le tableau de signes enX

2X-3X-2

On veutX?-1

2alorsS=?

Étude de fonctions

Exercice5

1)Df=Rcar l'équation 2+cosx=0 n'a pas des solution

2) La fonctionfest paire et 2πpériodique, en effet pour tout réelx,