Les fonctions sinus et cosinus

Limites et intégration I - Limites Rappel : les fonctions sinus et cosinus n’admettent pas de limite en +∞ et en –∞ Les théorèmes de comparaison et le théorème « des gendarmes » doivent être utilisés dans de nombreux cas On rappelle que pour tout x, −1⩽cosx⩽1 et −1⩽sinx⩽1 Limite de référence : lim x→0 sin(x) x

Les fonctions sinus et cosinus - Lycée dAdultes

les fonctions sinus et cosinus sont 2π périodiques : T =2π ∀x ∈ R sin(x +2π)=sinx et cos(x +2π)=cosx Conséquence On étudiera les fonctions sinus et cosinus sur un intervalle de 2π, par exemple ]−π;π] 2 2 3 De sinus à cosinus Théorème 5 : D’après les formules de trigonométrie, on a : sin π 2 − x =cosx et cos π 2 − x

Annexe du chapitre 6: Fonctions trigonométriques

A 1 Limites de fonctions trigonométriques Théorème des deux gendarmes Le théorème suivant implique 3 fonctions f, g et h dont l’une f est "prise en sandwich" entre les deux autres Si g et h ont la même limite lorsque x tend vers a, alors f doit avoir cette même limite Ainsi : • soit l'intervalle ]b; c[ contenant a; • ∈soit h(x

2 Fonctions, Dérivées, Limites et Intégrales

2 8 Limites et dérivées des fonctions trigonométriques Théorème 14 : D’après les fonctions dérivées des fonctions sinus et cosinus, ona: lim x→0 sinx x = 1 et lim x→0 cosx −1 x = 0 Pré-requis : Dérivées des fonctions sinus et cosinus Démonstration : On revient à la déﬁnition du nombre dérivée en 0 sin′ 0 = lim x

I Les fonctions trigonométriques de TS

IV Limites Les fonctions sinus et cosinus n'ont pas de limite en l'infini Pour étudier les limites au voisinage de l'infini de fonctions trigonométriques, on utilise les théorèmes de comparaisons / théorème des gendarmes Exercices : Déterminer les limites suivantes : a) lim x→0 x

MPSI 12 septembre 2008 - Free

2 2 2 Limite a gauche D e nition 11 Soit f, fonction d e nie sur un intervalle I, sauf peut etre en a, avec a interieur a I La limite a gauche, de f en a est, si elle existe, la limite en a de la restriction

Les fonctions sinus et cosinus - AlloSchool

Chapter 1 Limites et Equivalents - INP Toulouse

Limites et Equivalents 1 1 Introduction Savoir qu’une fonction f(x) tend vers ±∞ou vers 0 lorsque xest voisin de x0 ne suﬃt pas: il est souvent indispensable de savoir en plus à quelle vitesse cette convergence a lieu ou encore d’être capable de comparer la façon de converger de plusieurs fonctions Par exemple, les fonctions f(x)=x

Chapitre 11 Fonctions sinus et cosinus

Chapitre 11 Fonctions sinus et cosinus (rappels et compléments) I Rappels On rappelle ici les principaux résultats en trigonométrie établis dans les classes précédentes 1) Enroulement de l’axe réel sur le cercle trigonométrique Le plan est rapporté à un repère orthormé direct ŠO, Ð→ I , Ð→ J ‘ ou encore (OXY)

Correction : Les fonctions sinus et cosinus

Correctionexercices 14 mars 2014 Correction : Les fonctions sinus et cosinus Rappels Exercice1 1) − 5π 6 2) π 4 3) − 2π 3 4) − π 6 5) − π 3 6) π 4 7) −

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Les fonctions sinus et cosinus

Table des matières

1 Rappels2

1.1 Mesure principale. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2 Résolution d"équations. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.3 Signe des lignes trigonométriques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2 Fonctions sinus et cosinus3

2.1 Définition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2.2 Propriétés. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2.2.1 Parité. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2.2.2 Périodicité. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2.2.3 De sinus à cosinus. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

3 Étude des fonctions sinus et cosinus4

3.1 Dérivées. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

3.2 Application aux calculs de limites. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

3.3 Variation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

3.4 Courbes représentatives. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

3.5 Compléments. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

4 Application aux ondes progressives6

4.1 Onde sonore. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

4.2 Harmoniques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

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1 RAPPELS

1 Rappels

1.1 Mesure principale

Définition 1 :On appelle mesure principale d"un angleα, la mesurexqui se trouve dans l"intervalle]-π;π] Exemple :Trouver la mesure principale des angles dont les mesures sont :

17π

4et-31π6

kde tours (2π) pour obtenir la mesure principale :

17π

4-k2π=π(17-8k)4=π4aveck=2

-31π6est une mesure trop petite(?-π), il faut donc lui rajouter un certain nombrekde tours (2π) pour obtenir la mesure princimale :

31π

6+k2π=π(-31+12k)6=5π6aveck=3

1.2 Résolution d"équations

Théorème 1 :Équations trigonométriques L"équation cosx=cosaadmet les solutions suivantes surR: x=a+k2πoux=-a+k2πaveck?Z L"équation sinx=sinaadmet les solutions suivantes surR: x=a+k2πoux=π-a+k2πaveck?Z Exemple :Résoudre dansRles équations suivantes : a)⎷

2cosx-1=0 b) 2sinx-⎷3=0

On obtient les solutions :x=π

4+k2πoux=-π4+k2πaveck?Z

b) 2sinx-⎷

3=0?sinx=⎷3

2?sinx=sinπ3

On obtient les solutions :

x=π

PAULMILAN2 TERMINALES

1.3 SIGNE DES LIGNES TRIGONOMÉTRIQUES

1.3 Signe des lignes trigonométriques

Théorème 2 :On a sur]-π;π],

sinx>0?x?]0 ;π[ cosx>0?x??

2;π2?

O0π

2 2π sinx>0 cosx>0

2 Fonctions sinus et cosinus

2.1 Définition

Définition 2 :À tout réelx, on as-

socie un point unique M du cercle unité ou cercle trigonométrique de centre O, dont les coordonnées sont :

M(cosx; sinx)

sinx cosx xM O Définition 3 :On appelle fonctions sinus et cosinus les fonctions respectives : x?→sinxetx?→cosx

Remarque :?x?R-1?sinx?1 et-1?cosx?1

2.2 Propriétés

2.2.1 Parité

Théorème 3 :D"après les formules de trigonométrie, La fonction sinus est impaire :?x?Rsin(-x) =-sinx La fonction cosinus est paire :?x?Rcos(-x) =cosx ConséquenceLa courbe représentative de la fonction sinus est symétrique par rapport à l"origine, et la courbe représentative de la fonction cosinus est symé- trique par rapport à l"axe des ordonnées.

PAULMILAN3 TERMINALES

3 ÉTUDE DES FONCTIONS SINUS ET COSINUS

2.2.2 Périodicité

Théorème 4 :D"après la définition des lignes trigonométriques dans le cercle, les fonctions sinus et cosinus sont 2πpériodiques :T=2π ?x?Rsin(x+2π) =sinxet cos(x+2π) =cosx ConséquenceOn étudiera les fonctions sinus et cosinus sur un intervalle de 2π, par exemple]-π;π].

2.2.3 De sinus à cosinus

Théorème 5 :D"après les formules de trigonométrie, on a : sin 2-x? =cosxet cos?π2-x? =sinx Exemple :Résoudre dans l"intervalle]-π;π], l"équation suivante : sin x+π 4? =cosx On transforme par exemple le cosinus en sinus, l"équation devientalors : sin? x+π 4? =sin?π2-x? DansR, on trouve les solutions suivantes :?????x+π

4=π2-x+k2π

x+π

4=π-?π2-x?

+k2π??????2x=π

4+k2π

0x=π-π

2-π4+k2π

La deuxième série de solutions étant impossible, on trouve alors dansR x=π

8+kπ

Dans l"intervalle]-π;π], on prendk=-1 etk=0 , soit les solutions x=-7π

8oux=π8

3 Étude des fonctions sinus et cosinus

3.1 Dérivées

Théorème 6 :Les fonctions sinus et cosinus sont dérivables surR: sin ?x=cosxet cos?x=-sinx

Remarque :On admettra ces résultats.

PAULMILAN4 TERMINALES

3.2 APPLICATION AUX CALCULS DE LIMITES

Exemple :Déterminer la dérivée de la fonction suivante : f(x) =cos2x+cos2x La fonctionfest dérivable surRcar composée et produit de fonctions dérivables surR f ?(x) =-2sin2x-2sinxcosx =-2sin2x-sin2x =-3sin2x

3.2 Application aux calculs de limites

Théorème 7 :D"après les fonctions dérivées des fonctions sinus et cosinus, on a : limx→0sinx x=1 et limx→0cosx-1x=0 ROCDémonstration :On revient à la définition du nombre dérivée en 0. sin ?0=limx→0sinh-sin0 h=limh→0sinhh or on sait que : sin ?0=cos0=1 donc limh→0sinh h=1 de même, on a : cos ?0=limh→0cosh-cos0 h=limh→0cosh-1h or on sait que : cos ?0=-sin0=0 donc limh→0cosh-1 h=0

3.3 Variation

Comme les fonctions sinus et cosinus sont 2πpériodiques, on étudie les varia- tions sur l"intervalle]-π;π]. D"après le signe des fonctions sinus et cosinus, on obtient les tabeaux de variation suivants : x sin ?x= cosx sinx -π-π2π2π 0+0- 00 -1-1 11 00 x cos ?x= -sinx cosx-π0π 0- -1-1 11 -1-1

PAULMILAN5 TERMINALES

4 APPLICATION AUX ONDES PROGRESSIVES

3.4 Courbes représentatives

Les courbes représentatives des fonctions sinus et cosinus sont des sinusoïdes.

De la relation cosx=sin?

x+π2? , on déduit la sinusoïde de cosinus par une translation de vecteur ?u=-π

2?ıde la sinusoïde de sinus.

1 -1π

Période 2π

Osinxcosx

3.5 Compléments

Théorème 8 :aetbsont deux réels.

Les fonctionsfetgdéfinies surRparf(x) =sin(ax+b)etg(x) =cos(ax+b) sont dérivables surRet f ?(x) =acos(ax+b)etg?(x) =-asin(ax+b) Remarque :Les fonctionsfestgsont2πapériodiques : en effet sin a? x+2π a? +b? =sin(ax+b+2π) =sin(ax+b)

4 Application aux ondes progressives

4.1 Onde sonore

Un son pur est une onde sinusoïdale caractérisée par : Sa fréquence F (en Hertz, nombre de pulsations par seconde) qui détermine la hauteur du son. Son amplitude (pression acoustique) P (en Pascal). La fréquence F est relié à la période T de la sinusoïde par la relation : F=1 TLa fonctionfassociée est donc de la forme :f(t) =Psin(2πFt) La note de référence (donnée par un diapason) sur laquelle s"accordent les ins- truments de l"orchestre est le la

3qui vibre à 440 Hz. Pour une amplitude de 1 Pa,

cette note peut être associé à la fonctionfdéfinie par :f(t) =sin(880πt).

L"écran d"un oscilloscope donne alors :

PAULMILAN6 TERMINALES

4.2 HARMONIQUES

0.51.01.5

-0.5 -1.0 période T=1FVariation de pression(Pa) O

0.001 0.002 0.003 0.004-0.004-0.003-0.002-0.001

4.2 Harmoniques

Une bonne technique pour analyser les ondes a été conçu en 1807 parle physi- cien françaisJean-Baptiste Fourier. Il a établi que toute onde rencontrée dans la peut être considérée comme résultant de la superposition d"ondes sinusoïdales. Cela peut se réaliser, dans le cas du son, par un analyseur de spectre et, dans le cas de la lumière, par un prisme. Selon Fourier, toute fonction périodique de fréquence F peut être considérée comme une somme de termes sinusoïdaux avec des amplitudes et des phases appropriées. Le premier d"entre eux a la même fréquence (F

1=F). C"est lefon-

damentalou le premier harmonique. Le terme suivant, de fréquence F2=2F est appelé deuxième harmonique puis vient le troisième terme de fréquence F3=3F, appelé troisième harmonique et ainsi de suite. Notons que, pendantle temps (1/F

1) que met le fondamental pour décrire un cycle complet, le deuxième har-

monique a décrit deux cycles et leneharmoniquencycles.

Exemples :

Le signal en "dents de scie", une des formes d"ondes fréquemmentutilisées pour la synthèse sonore, a pour expresion : f n(t) =2

πn∑

k=1sin [2πkFt+ (k-1)π]kavecn→+∞ Si on s"intéresse aux 5 premières harmoniques avec une fréquence fondamen- tale F=1, on a alors la fonctionf6: f

5(t) =2

sin On observe que deux harmoniques successives sont en opposition dephase. Si on trace la fonctionf5, on observe clairement une courbe qui ressemble à une courbe en "dent de scie". En ajoutant une douzaine d"autres termes,on obtiendrait alors une meilleure approximation.

Algorithme :Tracerf5avec les 5 harmoniques

On observe alors la superposition des 5 harmoniques ainsi que le spectre de fréquence

PAULMILAN7 TERMINALES

4 APPLICATION AUX ONDES PROGRESSIVES

1 -111

Signal en dent de scie

(5 premières harmoniques) 00,5

0 1 2 3 4 5

Amplitude

Amplitude des harmoniques

-11 2 1 2 1 2 1 2 1 2 Deux instruments jouant la même note sont reconnaissables par le timbre : as- semblage unique d"harmoniques. Une note produit par un piano a un spectre de fréquence très différent de celle d"un chanteur et l"oreille distingue facile- ment le chanteur de l"accompagnement piano. Remarque :La deuxième harmonique correspond à l"octave (F2=2F) et la troisième à la quinte (F 3=3F)

0.51.0 220 440 660 880 1100

Spectre de fréquence

du la

2d"un piano

Amplitude relative

OHz

0.51.0 220 440 660 880 1100

Spectre de fréquence

du la

2d"une voix d"alto

Amplitude relative

OHz On obtient les profils suivants des ondes produites par le piano et par une voix d"alto : Algorithme :Tracer ces deux profils d"onde sur votre calculette Un algorithme de synthétiseur permettant de générer un la1de façon aléatoire.

Ecrire un algorithme permettant de :

- générer aléatoirement un nombre entierncompris entre 2 et 5 - générernnombres aléatoiresa1,a2,...,ancompris dans l"intervalle [0;1]

PAULMILAN8 TERMINALES

4.2 HARMONIQUES

- représenter le signalfdéfini par : f(t) =sin(110πt)+a1sin(220πt)+a2sin(330πt)+···+ansin(110(n+1)πt)

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Les fonctions sinus et cosinus

Table des matières

1 Rappels2

1.1 Mesure principale. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2 Résolution d"équations. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.3 Signe des lignes trigonométriques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2 Fonctions sinus et cosinus3

2.1 Définition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2.2 Propriétés. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2.2.1 Parité. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2.2.2 Périodicité. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2.2.3 De sinus à cosinus. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

3 Étude des fonctions sinus et cosinus4

3.1 Dérivées. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

3.2 Application aux calculs de limites. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

3.3 Variation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

3.4 Courbes représentatives. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

3.5 Compléments. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

4 Application aux ondes progressives6

4.1 Onde sonore. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

4.2 Harmoniques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

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1 RAPPELS

1 Rappels

1.1 Mesure principale

17π

4et-31π6

17π

4-k2π=π(17-8k)4=π4aveck=2

31π

6+k2π=π(-31+12k)6=5π6aveck=3

1.2 Résolution d"équations

2cosx-1=0 b) 2sinx-⎷3=0

On obtient les solutions :x=π

4+k2πoux=-π4+k2πaveck?Z

3=0?sinx=⎷3

2?sinx=sinπ3

On obtient les solutions :

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1.3 SIGNE DES LIGNES TRIGONOMÉTRIQUES

1.3 Signe des lignes trigonométriques

Théorème 2 :On a sur]-π;π],

2;π2?

O0π

2 Fonctions sinus et cosinus

2.1 Définition

Définition 2 :À tout réelx, on as-

M(cosx; sinx)

Remarque :?x?R-1?sinx?1 et-1?cosx?1

2.2 Propriétés

2.2.1 Parité

PAULMILAN3 TERMINALES

3 ÉTUDE DES FONCTIONS SINUS ET COSINUS

2.2.2 Périodicité

2.2.3 De sinus à cosinus

4=π2-x+k2π

4=π-?π2-x?

4+k2π

0x=π-π

2-π4+k2π

8+kπ

8oux=π8

3 Étude des fonctions sinus et cosinus

3.1 Dérivées

Remarque :On admettra ces résultats.

PAULMILAN4 TERMINALES

3.2 APPLICATION AUX CALCULS DE LIMITES

3.2 Application aux calculs de limites

3.3 Variation

PAULMILAN5 TERMINALES

4 APPLICATION AUX ONDES PROGRESSIVES

3.4 Courbes représentatives

De la relation cosx=sin?

2?ıde la sinusoïde de sinus.

Période 2π

Osinxcosx

3.5 Compléments

Théorème 8 :aetbsont deux réels.

De la relation cosx=sin?