[PDF] LIMITES DES FONCTIONS (Partie 2) - maths et tiques



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LIMITES DES FONCTIONS (Partie 2) - maths et tiques

Donc, comme limite de fonction composée : lim 3→B6 OJB R U=OJ=O 2) Croissance comparée des fonctions exponentielles et puissances Propriétés (croissances comparées) : a) lim 3→56 O+ + =+∞ et pour tout entier n, lim 3→56 O+ +Q=+∞ b) lim 3→B6 +O3=0 3et pour tout entier n, lim 3→B6 +PO=0 Démonstration au programme du a :



Limites et comportement asymptotique Exercices corrigés

Exercice 2 : étude de limites, asymptotes verticales et horizontales Exercice 3 : étude de limites de fonctions composées, formes indéterminées, expression conjuguée, asymptotes horizontales Exercice 4 : limites aux bornes d’un ensemble de définition, asymptote oblique



LIMITES ET CONTINUITE (Partie 2)

LIMITES ET CONTINUITE (Partie 2) I Limite d'une fonction composée Exemple : Soit la fonction f définie sur 1 2;+∞ ⎤ ⎦ ⎥ ⎡ ⎣ ⎢par f(x)=2− 1 x On souhaite calculer la limite de la fonction f en +∞ On considère les fonctions u et v définie par : u(x)=2− 1 x et v(x)=x Alors : f(x)=v(u(x)) On dit alors que f est la



Chapitre 3 TermS Étude de fonctions Limites et continuité

d’une composée de deux fonctions Asymptote parallèle à l’un des axes de coordonnées • Déterminer la limite d’une somme, d’un produit, d’un quotient ou d’une composée de deux fonctions • Déterminer des limites par minoration, majoration et encadrement Interpréter graphiquement les limites obtenues





Limites de fonctions

3/10 I Limites de fonctions I 1 Limites en l’infini I 1 1 Définitions Soit A,B et L des réels et f une fonction définie sur ℝ • On dit que la limite de f en +∞ est égale à +∞ ssi tout intervalle ]A;+∞[ contient



Limites et continuité

Limites et continuité composée, quotient de fonctions usuelles continues sur leur domaine de définition De plus, la limite de



Cours sur les limites de fonctions et la continuité

Limite de fonctions et continuité 2 Règles de calcul sur les limites On considère dans ce paragraphe deux fonctions f et gdéfinies sur un même intervalle I Les limites sont prises en 1, +1, ou en un réel aqui, ou bien appartient à I, ou bien est une borne de I 2 1 Limite d’une somme Si fa pour limite ‘ ‘ ‘ +1 1 +1



Limites et continuité

Exercice 288 Donner le domaine de définition et étudier la continuité des fonctions suivantes : f: x ÞÝÑtxu+(x´txu)2, g: x ÞÝÑ a (x´1)ln(x2 ´3x+2) Corrigé 288 1 f est définie surR en tant que composée de fonctions définies surR Pour tout n P Z, la fonction est continue sur [n; n+1[ en tant que composée de fonctions

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1

LIMITES DES FONCTIONS - Chapitre 2/2

Tout le cours en vidéo : https://youtu.be/YPwJyYDsmxM

Partie 1 : Limite d'une fonction composée

Méthode : Déterminer la limite d'une fonction composée

Vidéo https://youtu.be/DNU1M3Ii76k

Soit la fonction définie sur !

;+∞! par : 2- 1 Calculer la limite de la fonction en +∞.

Correction

On a : lim

1 =0, donc lim 2- 1 =2 Donc, comme limite d'une fonction composée : lim 2- 1 2 En effet, si →+∞, on a : =2- 1 →2 et donc : lim 2.

Partie 2 : Limites et comparaisons

1) Théorèmes de comparaison

Théorèmes : Soit et deux fonctions définies sur un intervalle = - Si pour tout de , on a : 9 lim alors lim =+∞ (Fig.1) - Si pour tout de , on a 9 lim alors lim =-∞ (Fig.2) Remarque : On obtient des théorèmes analogues en -∞.

Figure 1

Par abus de langage, on

pourrait dire que la fonction pousse la fonction vers +∞ pour des valeurs de suffisamment grandes.

Figure 2

2

Démonstration dans le cas de la figure 1 :

lim =+∞ donc tout intervalle , réel, contient toutes les valeurs de () dès que est suffisamment grand, soit : Donc dès que est suffisamment grand, on a :

Et donc lim

2) Théorème d'encadrement

Théorème des gendarmes :

Soit , et ℎ trois fonctions définies sur un intervalle =

Si pour tout de , on a : >

lim lim alors lim Remarque : On obtient un théorème analogue en -∞.

Par abus de langage, on pourrait dire que les fonctions et ℎ (les gendarmes) se resserrent

autour de la fonction pour des valeurs de suffisamment grandes pour la faire tendre vers

la même limite. Ce théorème est également appelé le théorème du sandwich. Méthode : Utiliser les théorèmes de comparaison et d'encadrement

Vidéo https://youtu.be/OAtkpYMdu7Y

Vidéo https://youtu.be/Eo1jvPphja0

Calculer : 1) lim

+sin 2) lim cos 2 +1 3

Correction

1) • lim

sin n'existe pas. Donc sous la forme donnée, la limite cherchée est indéterminée.

Levons l'indétermination :

•lim -1=+∞ donc d'après le théorème de comparaison : lim +sin=+∞

2) • lim

cos n'existe pas. Donc sous la forme donnée, la limite cherchée est indéterminée.

Levons l'indétermination :

Et donc :

+1 cos() +1 +1 +1 F G 1 lim 1 =0 donc lim 1

Et donc : lim

1 1 =0, comme limite d'un quotient.

On a donc :lim

2 +1 =lim 2 +1 =0 D'après le théorème des gendarmes, on a : lim cos() 2 +1 =0.

Partie 3 : Cas de la fonction exponentielle

1) Limites aux bornes

Propriétés :

lim =+∞ et lim =0

Démonstration au programme :

Vidéo https://youtu.be/DDqgEz1Id2s

- La suite est une suite géométrique de raison >1. 4

Donc, on a : lim

Si on prend un réel quelconque (aussi grand que l'on veut), il existe un rang

à partir

duquel tous les termes de la suite dépassent , soit : La fonction exponentielle étant strictement croissante, on a également, pour tout

Donc, pour tout >

, on a :

Ainsi, tout intervalle

contient toutes les valeurs de , dès que est suffisamment grand.

Soit : lim

-lim =lim =lim , en posant =-

Or, lim

=+∞, donc : lim =0, comme limite d'un quotient.

Soit : lim

=0. Méthode : Déterminer la limite d'une fonction contenant des exponentiels

Vidéo https://youtu.be/f5i_u8XVMfc

Calculer les limites suivantes :

a) lim b) lim 1

Correction

a) lim -3=-∞ • Donc, comme limite d'une fonction composée : lim =0 En effet, si →+∞, on a : =-3→-∞ et donc : lim =0. • lim • Comme limite d'une somme : lim b) lim 1 =0, donc : lim 1- 1 =1 Donc, comme limite d'une fonction composée : lim

2) Croissance comparée des fonctions exponentielles et puissances

Exemple :

Observons la fonction exponentielle et la fonction puissance ⟼ dans différentes fenêtres graphiques. 5 Dans cette première fenêtre, la fonction puissance semble l'emporter devant la fonction exponentielle. Mais on constate que pour suffisamment grand, la fonction exponentielle dépasse la fonction puissance ⟼ Remarque : Dans le cas de limites infinies, la fonction exponentielle impose sa limite devant les fonctions puissances. Sa croissance est plus rapide.

Propriétés (croissances comparées) :

a) lim =+∞ et pour tout entier , lim b) lim =0 et pour tout entier , lim =0

Démonstration au programme du a :

Vidéo https://youtu.be/_re6fVWD4b0

- On pose

On a :

6 On calcule la dérivée de la dérivée -1.

Et on note

-1

Pour tout strictement positif,

-1>0.

On dresse alors le tableau de variations :

On en déduit que pour tout strictement positif, >0 et donc

Soit encore :

Comme lim

2 =+∞, on en déduit par comparaison de limites que lim - Dans le cas général, on a :

F

G =N O =N 1 O

Or : lim

=+∞ car on a vu que lim

Donc : lim

=+∞, car est positif.

Et donc lim

Q R =+∞, comme produit de limites infinies.

Soit : lim

Méthode : Calculer une limite par croissance comparée

Vidéo https://youtu.be/GoLYLTZFaz0

Calculer la limite suivante : lim

2

Correction

Le dénominateur comprend une forme indéterminée de type "∞-∞".

Levons l'indétermination :

1+ 1- 1+ 1- 7 Par croissance comparée : lim =+∞ et de même : lim 2

Donc, comme inverse de limites : lim

=lim 2 =0, donc lim 1+ =lim 1- 2 =1. Donc, lim 1+ 1- 2 1 1 =1 et donc lim 2 =1.quotesdbs_dbs47.pdfusesText_47