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LIMITES DES FONCTIONS (Partie 2) - maths et tiques

Donc, comme limite de fonction composée : lim 3→B6 OJB R U=OJ=O 2) Croissance comparée des fonctions exponentielles et puissances Propriétés (croissances comparées) : a) lim 3→56 O+ + =+∞ et pour tout entier n, lim 3→56 O+ +Q=+∞ b) lim 3→B6 +O3=0 3et pour tout entier n, lim 3→B6 +PO=0 Démonstration au programme du a :

Limites et comportement asymptotique Exercices corrigés

Exercice 2 : étude de limites, asymptotes verticales et horizontales Exercice 3 : étude de limites de fonctions composées, formes indéterminées, expression conjuguée, asymptotes horizontales Exercice 4 : limites aux bornes d’un ensemble de définition, asymptote oblique

LIMITES ET CONTINUITE (Partie 2)

LIMITES ET CONTINUITE (Partie 2) I Limite d'une fonction composée Exemple : Soit la fonction f définie sur 1 2;+∞ ⎤ ⎦ ⎥ ⎡ ⎣ ⎢par f(x)=2− 1 x On souhaite calculer la limite de la fonction f en +∞ On considère les fonctions u et v définie par : u(x)=2− 1 x et v(x)=x Alors : f(x)=v(u(x)) On dit alors que f est la

Chapitre 3 TermS Étude de fonctions Limites et continuité

d’une composée de deux fonctions Asymptote parallèle à l’un des axes de coordonnées • Déterminer la limite d’une somme, d’un produit, d’un quotient ou d’une composée de deux fonctions • Déterminer des limites par minoration, majoration et encadrement Interpréter graphiquement les limites obtenues

Fonction exponentielle Limites Exercices corrigés

Limites de fonctions

3/10 I Limites de fonctions I 1 Limites en l’infini I 1 1 Définitions Soit A,B et L des réels et f une fonction définie sur ℝ • On dit que la limite de f en +∞ est égale à +∞ ssi tout intervalle ]A;+∞[ contient

Limites et continuité

Limites et continuité composée, quotient de fonctions usuelles continues sur leur domaine de définition De plus, la limite de

Cours sur les limites de fonctions et la continuité

Limite de fonctions et continuité 2 Règles de calcul sur les limites On considère dans ce paragraphe deux fonctions f et gdéfinies sur un même intervalle I Les limites sont prises en 1, +1, ou en un réel aqui, ou bien appartient à I, ou bien est une borne de I 2 1 Limite d’une somme Si fa pour limite ‘ ‘ ‘ +1 1 +1

Limites et continuité

Exercice 288 Donner le domaine de définition et étudier la continuité des fonctions suivantes : f: x ÞÝÑtxu+(x´txu)2, g: x ÞÝÑ a (x´1)ln(x2 ´3x+2) Corrigé 288 1 f est définie surR en tant que composée de fonctions définies surR Pour tout n P Z, la fonction est continue sur [n; n+1[ en tant que composée de fonctions

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1 Sont abordés dans cette fiche : Exercice 1 : détermination graphique e équation courbe (asymptote verticale et asymptote horizontale) Exercice 2 : étude de limites, asymptotes verticales et horizontales Exercice 3 : étude de limites de fonctions composées, formes indéterminées, expression conjuguée, asymptotes horizontales Exercice 4 : Exercice 5 : On a tracé ci-dessous en vert , la courbe représentative dfonction . Déterminer graphiquement , , puis une équation de chacune des asymptotes à .

Limites et comportement asymptotique Exercices corrigés

Exercice 1 (2 questions) Niveau : facile

0 PROF: ATMANI NAJIB

2 1) Ci-dessous est tracée en vert . -- -- Rappel : Soient un intervalle, une fonction définie (au moins) sur et un réel tel que . Continuité en un point : est continue en si et seulement si admet une limite en égale à : -à-dire et en particulier Continuité sur un intervalle : est continue sur si est continue en tout point de . Graphiquement, on lit : et donc -. et Ainsi, donc -.

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3 Remarque Notation : et 2) Rappel : Asymptotes à une courbe Asymptote horizontale : Soit un réel. Si Alors la courbe représentative de admet une asymptote horizontale en . Si Alors la courbe représentative de admet une asymptote horizontale en . Asymptote verticale : Si ou si ou si Alors la courbe représentative de admet une asymptote verticale . Asymptote oblique : Soit un réel non nul et un réel. Si - ou si - Alors la courbe représentative de admet une asymptote oblique . Graphiquement, on lit : Donc la droite - est asymptote verticale à .

désigne la limite à gauche de en désigne la limite à droite de en PROF: ATMANI NAJIB

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4 Par ailleurs, Donc la droite - est asymptote verticale à Enfin, Donc la droite est asymptote horizontale à en et en .

0 0 tend vers - par valeurs inférieures tend vers - par valeurs supérieures PROF: ATMANI NAJIB

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5 Déterminer les limites suivantes et . - -- (- -(- Remarque préalable : Le verbe " déduire » signifie " partir de propositions prises pour prémisses 1) Déterminons - -- , par quotient, - On en déduit que la courbe représentative de la fonction - admet une asymptote verticale - (représentée ci-dessous en bleu).

Exercice 2 (2 questions) Niveau : facile

0 - Si -, alors : PROF: ATMANI NAJIB

6 Remarque : -- - Cette étude de limite aurait également permis la courbe représentative de la fonction - admet une asymptote verticale - (représentée ci-dessus en bleu). Autre remarque : La courbe représentative de la fonction - admet également une asymptote horizontale (représentée ci-dessous en rose) - en et en . En effet, - -- - --

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7 2) Déterminons - Et , par quotient, Donc la courbe représentative de la fonction admet une asymptote verticale . Remarque : On aurait asymptote verticale à la courbe représentative de la fonction en montrant que : Autre remarque : La courbe représentative de cette fonction admet également une asymptote horizontale en et en . En effet, on a : Rappel : Soient , , et . La limite en définie par : -- est égale à la limite en du quotient de ses monômes de plus haut degré .

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8 3) Déterminons - - , par quotient, Et - Donc, par somme, - On en déduit que la courbe représentative de la fonction - admet une asymptote verticale . Remarque : On pouvait également montrer en étudiant - Autre remarque : La courbe représentative de cette fonction admet également une asymptote oblique - au voisinage de et de . En effet, ----- ----- 4) Déterminons - --- Donc , la courbe représentative de la fonction -, admet une asymptote horizontale - au voisinage de . Remarques : - est une asymptote horizontale à en . . PROF: ATMANI NAJIB

9 5) Déterminons (- (-(- Il résulte de cette étude de limite que la courbe représentative de la fonction -- asymptote horizontale -. Remarque : -. 6) Déterminons -(- -(--(- Donc la courbe représentative de la fonction --- pas horizontale. Remarque : La courbe représentative de cette fonction admet en revanche deux asymptotes verticales respective - et --.

Asymptote verticale -

Asymptote verticale -

Asymptote oblique -

-- Courbe représentative de la fonction PROF: ATMANI NAJIB

10 Déterminer la limite de chacune des fonctions suivantes puis en déduire si la courbe représentative de la fonction admet une asymptote. -((- -- Rappel : Limite d fonction composée de deux fonctions Soit une fonction définie sur un intervalle , soit une fonction définie sur un intervalle , telle que . La fonction définie sur telle que (ou ) est la fonction composée de la fonction suivie de la fonction . , et désignent chacun soit un réel, soit , soit . Si Et si Alors 1) Déterminons est la composée, définie sur , de la fonction suivie de la fonction . Et

Exercice 3 (2 questions) Niveau : moyen PROF: ATMANI NAJIB

11 , par composition, Et , par composition, Donc, par différence, on aboutit à une forme indéterminée de la forme ; en effet : . Pour cela, on la multiplie par son expression conjuguée, afin de mettre en évidence la forme factorisée de ((. est dite " » de . Or, d , par somme, Donc, par quotient, - PROF: ATMANI NAJIB

12 On en déduit que la courbe représentative de la fonction admet une asymptote horizontale - au voisinage de . 2) Déterminons -((- -((--((- , par composition, -((-- Par conséquent, la courbe représentative de la fonction -((- admet une asymptote horizontale - au voisinage de . Remarque : On peut également montrer que la courbe représentative de la fonction -((- admet une - au voisinage de . 3) Déterminons -- - , par composition, - - , par composition, - Donc on aboutit à une forme indéterminée : -- PROF: ATMANI NAJIB

13 n --. Pour cela, on la multiplie par son expression conjuguée. -------- -------- ----- - Et - , par somme, -- Donc -- Par conséquent, la courbe représentative de la fonction -- dmet pas asymptote horizontale au voisinage de . Rappel : Formes indéterminées Les cas de formes indéterminées () nécessitent une étude particulière. Ces cas sont, pour les opérations élémentaires ( ; ; ; ), au nombre de 4 et de la forme : - -- PROF: ATMANI NAJIB

14 Soit la fonction définie sur par : -( 1) Etudier les limites de aux bornes de son ensemble de définition. En déduire les asymptotes éventuelles. 2) Montrer que , la courbe représentative de comme asymptote oblique. 3) Tracer et ses asymptotes afin de contrôler les résultats obtenus aux questions précédentes. Soit la fonction définie sur par : -( 1) Etudions les limites de aux bornes de son ensemble de définition. On a : , , et . Etude en : , par composition, ((

Exercice 4 (4 questions) Niveau : facile PROF: ATMANI NAJIB

15 , par quotient, -(-- -(- Donc, par somme, -( Donc , la courbe représentative de , admet pas horizontale au voisinage de Etude en : - , par composition, ((- , par quotient, -(- -( Donc, par somme, -( Donc , la courbe représentative de , admet la droite comme asymptote verticale. PROF: ATMANI NAJIB

16 Etude en : - , par composition, ((- , par quotient, -(- -( Donc, par somme, -( Donc , la courbe représentative de , admet la droite comme asymptote verticale. (résultat déjà obtenu ci-dessus) Etude en : , par somme, , par composition, (( PROF: ATMANI NAJIB

17 , par quotient, -(-- -(- Donc, par somme, -( Donc , la courbe représentative de , admet pas horizontale au voisinage de 2) Montrons que comme asymptote oblique. Pour tout , --( -(- Donc - Par conséquent, la droite est asymptote oblique à au voisinage de . Remarque : On peut également montrer que la droite est asymptote oblique à au voisinage de PROF: ATMANI NAJIB

18 3) Traçons (en vert) et ses asymptotes. -dessus, on constate que les résultats obtenus aux questions précédentes sont conformes. Soit la fonction définie sur - par : (- On note sa courbe représentative dans un repère orthonormal . 1) Déterminer les réels , et tels que, pour tout réel de , - 2) Déterminer les limites de aux bornes de . En déduire les éventuelles asymptotes à parallèles aux axes du repère. 3) Montrer que Soit la fonction définie sur - par : (-

Exercice 5 (5 questions) Niveau : moyen

0 PROF: ATMANI NAJIB

19 On note sa courbe représentative dans un repère orthonormal . 1) Déterminons les réels , et tels que, pour tout réel de , - Pour tout réel de , -----(----(-- (--- Ainsi, on doit obtenir : (---(- Par identification des coefficients (uniques) des monômes du numérateur, on a : -- Résolvons ce système : --------- -- Donc, pour tout réel de , - 2) Déterminons les limites de aux bornes de déduire les éventuelles asymptotes à parallèles aux axes du repère. Remarque : sont les asymptotes horizontales et verticales. Une asymptote horizontale est par des abscisses ; une asymptote verticale est des ordonnées. : - PROF: ATMANI NAJIB

20 Etudions la limite de en : - , par quotient, -- Donc, par somme, Etudions la limite de en - et en - : -- -- , par quotient, - - Donc, par somme, Par conséquent, - Etudions la limite de en : - PROF: ATMANI NAJIB

21 , par quotient, -- Donc, par somme, 3) Montrer que de , - Ainsi, pour tout réel de , -- Nous avons en outre établi à la question 2) que : -- Donc - Par conséquent au voisinage de . Remarque : On a de surcroît : -- -à-dire que au voisinage de . PROF: ATMANI NAJIB

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