Avec 11 schémas d’illustration Jean-Pierre Kengne, Emmanuel Simo
Inspirée de la pédagogie nouvelle, la conception de ce livre se fonde sur deux outils à savoir : le cours et les exercices corrigés Le cours a été conçu selon le projet pédagogique suivant : — Une présentation claire parfaitement lisible qui permet de faciliter le travail de l’apprenant — Un cours bien structuré allant à l
Mathématiques Cours, exercices et problèmes Terminale S
Le polycopié n’est qu’un résumé de cours Il ne contient pas tous les schémas, exercices d’application, algorithmes ou compléments prodigués en classe Il est indispensable de tenir des notes de cours afin de le compléter Compléments Certains passages vont au-delà des objectifs exigibles du programme de terminale S Le
RESUME DU COURS DE MATHEMATIQUES
élément de A est élément de E Alors A est une partie de E Si A B⊂ et B C⊂ alors A C⊂ A B A B B A= ⇔ ⊂ ⊂ et L’ensemble des parties de E est noté P E( ) Intersection de deux parties de E {/ et ∩ = ∈ ∈ ∈ A B x E x A x B} Deux ensembles A et B sont disjoints si ∩A B = Propriétés : A∩B =B ∩A
TERMINALE S LYCEE LOUIS ARMAND
le point de C d’abscisse Soit T a la tangente `a au point A 1 Ecrire une ´´ equation de T a 2 D´eterminer les r´eels a pour lesquels T a passe par l’origine O du rep`ere 3 Donner une ´equation de chacune des tangentes `a C, passant par O Tracer ces tangentes sur la figure Partie III On ´etudie maintenant l’intersection de
Mathématiques terminale S
• De façon récurrente : – à un terme : u0 et un+1 = f(un) – à deux termes : u0 et u1 et un+2 = f(un+1,un) • Par une somme de termes : un = n ∑ k=0 Tn 2 Variation Pour connaître les variations d’une suite (un), on étudie : • Le signe de : un+1 −un • Si les termes sont strictement positifs positifs, on peut comparer de
Livre De Maths Ciam - eartheducationprojectorg
File Type PDF Livre De Maths Ciam Livre De Maths Ciamtimesi font size 14 format Getting the books Livre De Maths Ciam now is not type of inspiring means You could not lonesome going taking into account book accretion or library or borrowing from your connections to right of entry them This is an no
Exo7 - Cours de mathématiques
fonction, et c’est pourquoi vous trouverez dans ce livre de nombreux dessins pour vous aider à comprendre l’intuition cachée derrière les énoncés En fin de volume, deux chapitres explorent les applications des études de fonctions au tracé de courbes paramétrées et à la résolution d’équations différentielles
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COURS DE MATHÉMATIQUES
Terminale S
Valère BONNET(
valere.bonnet@gmail.com)29 mai 2011
Lycée PONTUS DETYARD
13 rue des Gaillardons
71100 CHALON SUR SAÔNE
Tél. : (33) 03 85 46 85 40
Fax : (33) 03 85 46 85 59
FRANCE
iiLYCÉEPONTUS DETYARDTerminale VI
Table des matières
Tabledes matièresiii
I Vocabulairede la logique1
I.1 Qu"est-ce qu"une proposition?. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
I.2 Négation d"une proposition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
I.3 Le " et ». . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 1
I.4 Le " ou ». . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 2
I.5 Propositions et parties d"un ensemble. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
I.6 Lois de MORGAN. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2
I.7 Opérations sur les parties d"un ensemble. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
I.8 Implications. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 5
I.8.1 Introduction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
I.8.2 Réciproque d"une implication. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
I.8.3 Contraposée d"une implication. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
I.8.4 Implication contraire. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
I.9 Double implication ou équivalence. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
I.10 Formules récapitulatives. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
I.11 Raisonnement par récurrence. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
II Révisions9
II.1 Identités remarquables. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
II.2 Éléments de symétries d"une courbe. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
II.2.1 Symétries dans IR. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
II.2.2 Axe de symétrie d"une courbe. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
II.2.3 Centre de symétrie d"une courbe. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
II.3 Trigonométrie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 12
II.3.1 Quelques valeurs remarquables. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
II.3.2 Quelques formules. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
II.3.3 Équations trigonométriques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
II.4 Géométrie du triangle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
II.4.1 Aire d"un triangle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
II.4.2 Théorème des sinus. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
II.4.3 Théorème d"ALKASHI. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
II.4.4 Théorème de la médiane. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
II.5 Polynômes du second degré. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
II.5.1 Forme canonique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
II.5.2 Représentation graphique et sens de variation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
II.5.3 Factorisation et résolution d"équations. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
II.5.4 Signe d"un trinôme. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
II.5.5 Tableau récapitulatif. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
II.5.6 Compléments. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
II.5.7 Travaux dirigés. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
II.5.8 Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 26
II.6 Exercices résolus. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 26
iii ivTable des matièresIII Suites numériques31
III.1 Vocabulaire de l"ordre dans IR. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
III.1.1 Majorants, minorants .... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
III.1.2 Théorème de la borne supérieure (complément). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
III.2 Définitions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 32
III.2.1 Introduction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
III.2.2 Composée d"une suite par une fonction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
III.2.3 Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 32
III.3 Représentation graphique d"une suite. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
III.3.1 Représentation graphique d"une suite définie explicitement. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
III.3.2 Représentation graphique d"une suite définie par récurrence. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
III.3.3 Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 33
III.4 Suites bornées. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 34
III.4.1 Généralités. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .34
III.4.2 Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 34
III.5 Suites monotones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .35
III.5.1 Définitions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .35
III.5.2 Méthodes d"étude du sens de variation d"une suite. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
III.5.3 Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 37
III.6 Suites arithmétiques - suites géométriques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
III.6.1 Suites arithmétiques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
III.6.2 Suites géométriques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
III.6.3 Exercices résolus. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
III.7 Limites de suites. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 42
III.7.1 Limite finie, limite infinie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
III.7.2 Théorèmes de comparaisons. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
III.7.3 Calcul algébrique de limites. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
III.7.4 Limites de suites géométriques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
III.7.5 Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 48
III.8 Suites monotones bornées. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
III.8.1 Théorème de convergence d"une suite monotone. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
III.8.2 Suites adjacentes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
III.8.3 Exercices résolus. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
III.8.4 Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 51
III.9 Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 51
IV Limites de fonctions, continuité53
IV.1 Limite finie (ou réelle). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
IV.1.1 Limite d"une fonction en. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
IV.1.2 Limite d"une fonction en un réela. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
IV.2 Notion de continuité. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
IV.3 Utilisation de la continuité. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
IV.3.1 Continuité et bijection. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
V Exponentielleset équationsdifférentielles57V.1 La fonction exponentielle de base e. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
V.1.1 Propriété fondamentale. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
V.1.2 Sens de variation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
V.1.3 Autres propriétés algébriques de l"exponentielle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
V.1.4 Quelques limites. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
V.2 La fonction logarithme népérien. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
V.2.1 Introduction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
V.2.2 Dérivabilité. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .61
V.2.3 Dérivée de lnu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
V.2.4 Logarithme népérien et calcul intégral. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
V.3 Des exponentielles et des logarithmes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
V.3.1 Notationab, poura,bréels eta0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
V.3.2 Fonctions exponentielles de basea(aveca0). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
V.3.3 Fonctions logarithmes de basea(aveca0 eta?1). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
V.4 Équations différentielles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
V.4.1 Introduction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
LYCÉEPONTUS DETYARDTerminale VI
Table des matièresv
V.4.2 Équations du typeyay0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
V.4.3 Équations du typeyayb. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
V.4.4 Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 68
VI Dérivabilité69
VI.1 Fonctions dérivables. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
VI.1.1 Nombre dérivé, fonction dérivée. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
VI.1.2 Dérivabilité des fonctions usuelles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
VI.1.3 Principaux résultats. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
VI.2 Dérivation d"une fonction composée. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
VI.2.1 Théorème de dérivation d"une fonction composée. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
VI.2.2 Dérivée de la fonctionu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
VI.2.3 Dérivée de la fonctionun(n?). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
VI.3 Dérivation et études de fonctions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
VI.3.1 Sens de variation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
VI.3.2 Extremum local. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
VI.4 Dérivées successives d"une fonction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
VI.5 Exercices résolus. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 73
VII Nombres complexes77
VII.1 Introduction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 77
VII.1.1 Des équations et des ensembles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
VII.1.2 Activités. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 77
VII.1.3 Définitions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .78
VII.1.4 Calcul dans?. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
VII.2 Interprétations géométriques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
VII.2.1 Affixe, point image, vecteur image. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
VII.2.2uu,ku,MM. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
VII.2.3 Écriture complexe de certaines symétries. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
VII.2.4 Coordonnées polaires. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
VII.2.5 Module et arguments. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
VII.3 Propriétés algébriques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
VII.3.1 Propriétés du conjugué. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
VII.3.2 Propriétés du module et des arguments. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
VII.3.3 Formule de MOIVRE(complément). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
VII.4 Notation exponentielle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
VII.4.1 Une équation différentielle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
VII.4.2 Définitions et propriétés. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
VII.4.3 Forme exponentielle et symétries usuelles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
VII.4.4 Formules d"EULER. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
VII.4.5 Racines carrées d"un nombre complexe. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
VII.5 Nombres complexes et polynômes (compléments). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
VII.5.1 Théorème fondamental de l"algèbre. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
VII.5.2 Résolution des équations du second degré. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
VII.6 Utilisation des nombres complexes (compléments). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
VII.6.1 Racinesn-ièmes de l"unité. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
VII.6.2 Racinesn-ièmes d"un nombre complexe non nul. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
VII.6.3 Polynômes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .90
VII.6.4 Forme algébrique des racines carrées d"un nombre complexe. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
VII.6.5 Trigonométrie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
VII.7 Géométrie et nombres complexes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
VII.7.1 Propriétés générales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
VII.7.2 Écriture complexe de quelques transformations usuelles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
VII.7.3 Affixe du barycentre d"un système de points pondérés. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
????-????série S viTable des matièresVIII Intégration97
VIII.1Primitives d"une fonction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
VIII.1.1Introduction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
VIII.1.2Détermination pratique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
VIII.1.3Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 99
VIII.2Premiers calculs. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 99
VIII.2.1Introduction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
VIII.2.2Intégrale d"une fonction constante. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
VIII.2.3Intégrale d"une fonction en escalier. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
VIII.2.4Activité. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 102
VIII.2.5Propriétés des intégrales de fonctions en escalier. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
VIII.3Intégrale de Riemann. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
VIII.3.1Définition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 103
VIII.3.2Sommes de Riemann. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
VIII.3.3Exemple d"intégrale d"une fonction usuelle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
VIII.4Théorème fondamental de l"analyse. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
VIII.4.1Problème ouvert. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
VIII.4.2Théorème fondamental de l"analyse. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
VIII.4.3Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 110
VIII.5Proptiétés algébriques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
VIII.5.1Relation de Chasles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
VIII.5.2Linéarité. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 111
VIII.5.3Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 112
VIII.6Propriétés de comparaison. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
VIII.6.1Signe de l"intégrale. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
VIII.6.2Inégalité de la moyenne. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
VIII.6.3Valeur moyenne d"une fonction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
VIII.6.4Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 116
VIII.7Autres techniques de calcul. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
VIII.7.1Intégration par parties. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
VIII.7.2Intégration et invariance géométrique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
VIII.7.3Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 120
IX Dénombrement121
IX.1 Notions Préliminaires. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
IX.1.1 Rappels et compléments sur les ensembles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
IX.1.2 Produit cartésien d"ensembles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
IX.2 Factorielle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 123
IX.3 Tirage depéléments dans un ensemble ànéléments. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
IX.3.1 Tirages successifs avec remise. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
IX.3.2 Tirages successifs sans remise. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
IX.3.3 Combinaisons - Tirages simultanés. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
IX.3.4 Tableau récapitulatif. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
X Calculdes probabilités131
X.1 Calculs de probabilités. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
X.1.1 Vocabulaire des événements. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
X.1.2 Probabilité d"un événement. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
X.1.3 Probabilités conditionnelles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
X.2 Variable aléatoire. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 138
X.2.1 Introduction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
X.2.2 Fonction de répartition d"une variable aléatoire. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
X.2.3 Caractéristiques d"une variable aléatoire. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
X.2.4 Variables aléatoires indépendantes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
X.3 Lois de probabilités discrètes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
X.3.1 Loi binomiale. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
X.3.2 Loi de Poisson. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
X.4 Lois de probabilités continues. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
X.4.1 Intégrales généralisées. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
X.4.2 Généralités sur lois de probabilités continues. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
X.4.3 Loi uniforme. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
LYCÉEPONTUS DETYARDTerminale VI
Table des matièresvii
X.4.4 Loi exponentielle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
X.5 Adéquation à la loi équirépartie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
XI Barycentre153
XI.1 Barycentre. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 153
XI.1.1 Introduction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
XI.1.2 Activités. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 153
XI.1.3 Définition et propriétés. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
XI.1.4 Propriétés. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 156
XI.1.5 Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 158
Index159
????-????série S viiiTable des matièresLYCÉEPONTUS DETYARDTerminale VI
Chapitre IVocabulaire de la logiqueI.1 Qu"est-ce qu"une proposition?DÉFINITIONI.1.1PROPOSITION
Unepropositionest un énoncé qui est soit vrai soit faux. ExempleConsidérons un quadrilatère ABCD, dans le plan. On peut envisager les propositions, P : " ABCD est un carré »;Q : " ABCD est un parallélogramme ».
Suivant la nature du quadrilatère ABCD la proposition P, comme la proposition Q, est soit vraie, soit fausse.
I.2 Négationd"une proposition
DÉFINITIONI.2.1
La négation d"une proposition P est la proposition, notée " non P » ou "P » ou encore "P », qui est fausse lorsque P
est vraie et vraie lorsque P est fausse.Exemples
1.Reprenons les propositions de l"exemple précédent.
On a, P : " ABCD n"est pas un carré »;Q : " ABCD n"est pas un parallélogramme ».2.Soit
nun nombre entier.La négation de T : "
nest pair »; estT : "nn"est pas pair »; c"est-à-dire : " nest impair ».3.Soit
xun nombre réel.La négation de R : "
x2»; est ,R : "x2».4.La négation de S : " pour tout réel
x:0x2»; estS : " il existe un réelx(au moins) tel que :0x2».Remarques
1.La négation de la négation d"une proposition P, c"est-à-dire
P, estsynonymede la proposition P elle même. Onécrit :
PP.2.Désignons par K l"intervalle
]2;[et parK le complémentaire de K dans?;K est donc l"intervalle];2].Les propositions R et
R s"écrivent alors R : "xK »; etR : "xK ».En effet, les propositions "
xK » et "xK » sont synonymes.I.3 Le " et »
DÉFINITIONI.3.1
12I. Vocabulaire de la logique
Soit Q, P deux propositions.
La proposition (P et Q) est la proposition qui est vraie lorsque P et Q sont toutes deux vraies, et fausse dans le cas
contraire.