Chapitre 11 : Loi à densité - Lycée Paul Rey
Soit f une densité de probabilité définie sur un intervalle I Dire qu’une variable aléatoire X suit la loi de densité f signifie qu’à tout intervalle J inclus dans I, on associe la probabilité PpX P Jq “ airepDJq où DJ est le domaine sous la courbe Cf sur l’intervalle J Donc : ż J fptqdt Définition 4 Exemple 4
6 Lois `a densit´e - UFR SEGMI
Exemple 3 (Loi de Pareto) Soit α>0 et soit f: R → [0,1], telle que f(x) = αx−α−1 si x≥ 1 et f(x) = 0 si x
LOIS À DENSITÉ - maths et tiques
La loi normale centrée réduite, notée N(0;1), est la loi ayant pour densité de probabilité la fonction f définie sur 2 par : f(x)= 1 2π e − x2 La représentation graphique de la fonction densité de la loi N(0;1) est appelée courbe en cloche Elle est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées Contextes d'utilisation :
LOIS À DENSITÉ - maths et tiques
La loi exponentielle de paramètre _ est la loi ayant pour densité de probabilité la fonction 7 [définie sur 0 ; +∞[ par : 7(,)=_‘YaK Contextes d'utilisation : Durée de vie de composants électroniques, tremblement de terre, désintégration d'un noyau radioactif, 2) Fonction de répartition
Lois de probabilité à densité Loi normale
de densité f sur I, est : E(X)= Z (I) t f(t)dt 1 3 Loi uniforme : densité homogène 1 3 1 Définition Définition 3 : Une variable aléatoire X suit une loi uniforme dans l’intervalle I =[a,b], avec a 6=b, lorsque la densité f est constante sur cet intervalle On en déduit alors la fonction f: f(t)= 1 b −a
Lois de probabilités à densité - Maths au LMA
I Lois de probabilités à densité Remarques La loi de probabilité d’une variable aléatoire peut donc être définie grâce à la densité Comme Z x x f(t) dt = 0, on a : P(X < x) = P(x≤ x) Par abus de langage, on peut définir une fonction de densité f sur un intervalle I de R et non R tout entier
Exemples de lois à densité I Loi uniforme
Exemples de lois à densité Nous allons dans ce chapitre faire connaissance avec un certain nombre de lois à densité fondamentales de la théorie des probabilités I Loi uniforme Définition 1 Soient a
LOIS DE PROBABILITE A DENSITE
densité de probabilité qui donne en réalité le modèle de probabilité En effet, choisir un nombre réel entre 1 et 6 de manière complètement aléatoire correspond bien intuitivement à une loi uniforme car on sent bien que chaque nombre réel entre 1 et 6 a autant de chance
Terminale S - Loi uniforme Loi exponentielle
Loi uniforme Loi exponentielle I) Loi uniforme de probabilité sur [a : b] La loi de probabilité qui admet pour densité la fonction ???? constante égale à ???? ????−???? sur [????; ????], est appelée loi uniforme sur [????; ????] Soit [????; ????] un intervalle inclus dans [????; ????] et ???? une variable aléatoire
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DERNIÈRE IMPRESSION LE31 mars 2015 à 14:11
Lois de probabilité à densité
Loi normale
Table des matières
1 Lois à densité2
1.1 Introduction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 Densité de probabilité et espérance mathématique. . . . . . . . . . 2
1.3 Loi uniforme : densité homogène. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.3.1 Définition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.3.2 Espérance mathématique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.3.3 Application : méthode de Monte-Carlo. . . . . . . . . . . . 4
1.4 Loi exponentielle : loi sans mémoire. . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.4.1 Définition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.4.2 Loi sans mémoire ou sans vieillissement. . . . . . . . . . . . 6
1.4.3 Espérance mathématique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.4.4 Un exemple. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.4.5 Application à la physique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.5 Lien entre le discret et le continu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2 La loi normale9
2.1 Du discret au continu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.2 La loi normale centrée réduite. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.2.1 La densité de probabilité de Laplace-Gauss. . . . . . . . . . 9
2.2.2 Loi normale centrée réduite. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.2.3 Calcul de probabilités. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.2.4 Espérance et variance. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.2.5 Probabilité d"intervalle centré en 0. . . . . . . . . . . . . . . 12
2.3 Loi normale générale. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.3.1 Loi normale d"espéranceμet d"écart typeσ. . . . . . . . . 13
2.3.2 Influence de l"écart type. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.3.3 Approximation normale d"une loi binomiale. . . . . . . . . 15
2.3.4 Théorème Central-Limit (hors programme). . . . . . . . . . 17
PAULMILAN1 TERMINALES
TABLE DES MATIÈRES
1 Lois à densité
1.1 Introduction
Lorsque l"on s"intéresse à la durée d"une communication téléphonique, à la durée
de vie d"un composant électronique ou à la température de l"eau d"un lac, la va- riablealéatoireXassociée au temps ou à la température, peut prendre une infinité de valeurs dans un intervalle donné. On dit alors que cette variableX est continue (qui s"oppose à discrète comme c"est le cas par exemple dans la loi binomiale). On ne peut plus parler de probabilité d"événements car les événements élémen- On contourne cette difficulté en associant à la variable X un intervalle deRet en définissant une densité de probabilité.